Irracionalidade do número "e"
Matemática

Irracionalidade do número "e"


Na postagem anterior mostramos a existência do número de Euler, agora prosseguiremos avançando nosso estudo desse número tão fascinante, e iremos mostrar que o número [;e;] é irracional, começaremos definindo irracionalidade.

Definição: Um número da forma [;$$\frac{a}{b}$$;], com [;a,b\in\mathbb{Z};][;b\neq 0;], é chamado racionalUm número é irracional quando não é racional.

Exemplo: O número [;\sqrt{2};] é irracional.

Prova: Se [;\sqrt{2};] fosse racional então existiriam [;a,b\in\mathbb{Z};] , com [;mdc(a,b)=1;]tal que 

[;\sqrt{2}=\frac{a}{b};] 
Assim, elevando ambos os membros ao quadrados temos:

[;2=\displaystyle\frac{a^2}{b^2};] 
Portanto, [;a^2=2b^2;]  [;(1);], isso significa que [;a^2;] é par, logo [;a;] também é par (olhe a Observação 1), desse modo [;a=2k;], [;k\in\mathbb{Z};], substituido em [;(1);], temos:

[;4k=2b^2;]
[;2k=b^2;]
Assim, [;b^2;] também é par, e analogamente ao caso anterior, [;b;] é par.

Absurdo, pois [;mdc(a,b)=1;] , logo [;\sqrt{2};] não pode ser expresso na forma [;\frac{a}{b};], logo [;\sqrt{2};] é irracional.
  
Observação 1: Dado [;x\in\mathbb{Z};], se [;x^2;] é par, então [; x ;] também é par.
Demonstração: Suponha que [; x;] fosse ímpar, assim [;x=2k +1;],[;k\in\mathbb{Z};], e elevando essa última igualdade ao quadrado temos que:

[;x^2=\left(2k+1\right)^2;]
[;x^2=4k^2+4k+1;] 
[;x^2=2\left(2k^2+2k\right) +1;]
[;x^2=2j+1;], onde  [;j\in\mathbb{Z};] e [;j=2k^2+2k;]

Logo, [;x^2;]  é ímpar, contradição, pois [;x^2;] é par, essa contradição partiu do momento em que consideramos [; x;] sendo ímpar, logo, se [;x^2;] é par, então [; x;] também é par.

Lema: O número de Euler pode ser calculado através da seguinte sequência

 [;e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots;] 

Demonstração: Sabemos que [;\displaystyle e=lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n;] (Se não se lembra clique aqui), considere o seguinte número:

[;x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n;] 
Note que [;lim_{n\to\infty}x_n=e;] , assim, usando o teorema do binõmio de Newton, temos que:

                                              [;x_n=1+n\cdot\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}\cdot\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}\cdot\frac{1}{n^3}+\cdots +\frac{1}{n^n};] 
                                         [;\displaystyle =1+1+\frac{1}{1\cdot 2}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots +\frac{1}{n^n};]     
Se [;n\to\infty;] , então [;\frac{1}{n}\to 0;], logo [;1-\frac{1}{n}\rightarrow 1;], assim

[;lim_{n\to\infty}{x_n}= 1+1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\cdots;]

                                      [;e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots;] 
 
Teorema: O número de Euler, [;e;], é irracional.

Demonstração:   Pelo Lema anterior, o número de Euler pode ser calculado através da sequência:

[;e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots;] 

 Suponhamos, por absurdo que [;e;] seja racional, dessa forma, [;e=\frac{p}{q};], com [;p,q\in\mathbb{Z},q\neq 1;] (pois [;e;] não é inteiro). Assim, cada termo da série inicial é racional, logo o resto da série, dado por:

[;e-\sum_{n=0}^{q} \frac{1}{n!}=\sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{1}{n!};] 
também é racional.

Assim, para [;n \geq q+1;] temos que:

[;\frac{1}{n!}=\frac{1}{q!}\frac{1}{(q+1)\cdots n}\leq \frac{1}{q!}\frac{1}{(q+1)^{n-q}};] 
Isso nos diz que

[;\sum_{n=q+1}^{\infty}\frac{1}{n!}\leq \frac{1}{q!}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(q+1)^k=\frac{1}{q!}\frac{1}{q}};] 
A última igualdade decorre da fórmula  para a soma de uma série geométrica. Portanto,

[;0<e-\sum_{n=0}^{q}\frac{1}{n!}\leq \frac{1}{q!}\frac{1}{q};]
Multiplicando por [;q!;] temos:






[;0<q!\left(e-\sum_{n=0}^{q}\frac{1}{n!}\right)\leq\frac{1}{q}<1;]

O termo central, pela nossa hipótese, é inteiro pois todos os denominadores da expressão entre parênteses são cancelados por [;q!;]. Mas isso é um absurdo, pois não existe inteiro entre [;0;] e [;1;]. Dessa forma, temos que [;e;] é irracional.


Até mais !




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