Matemática

A Demonstração do Quinto Postulado de Euclides - Postulado das Paralelas

Sabe-se muito pouco sobre Euclides. Sabe-se que nasceu depois dos discípulos diretos de Platão, mas antes de Erastóstenes e Arquimedes e que viveu em Alexandria quando Ptolomeu governava o Egito, ou seja, entre 306 e 283 antes de Cristo.

Os Elementos foram escritos por volta do ano 300 a.c com o intuito de formular e organizar os resultados da geometria anterior. Nesta obra, dividida em 13 livros, Euclides não se limita, porém a compilar resultados dos matemáticos que o antecederam, mas tem a preocupação de, em muitos casos, aperfeiçoar as demonstrações. Excetuam-se alguns resultados para os quais considerava não existir demonstração satisfatória e o estudo das cônicas, sobre as quais Euclides teria escrito uma obra intitulada de "Cônicas" que não chegou aos nossos dias.

Embora, antes de Euclides, já outros matemáticos, como Hipócrates de Quios, tenham reunido os conhecimentos disponíveis no seu tempo num único livro, a mestria da obra de Euclides foi tal que suplantou todas as que a antecederam e das quais não sobreviveu uma única cópia. Trata-se de fato de uma obra sem rival que durante séculos atraiu a atenção dos maiores matemáticos e que constituía um modelo de como a lógica pode funcionar.

A obra começa com definições de termos geométricos (embora nem todas sejam atualmente consideradas satisfatórias), definições essas que não eram mais do que descrições que se pretendiam compreensíveis, para que se percebesse do que é que se falava.

Depois das definições, Euclides aponta cinco postulados ou suposições fundamentais sobre objetos geométricos. Esses postulados são:

(É possível) traçar uma e uma só linha reta de qualquer ponto a qualquer outro ponto.
(É possível) prolongar continuamente um segmento, a partir de qualquer das suas extremidades numa linha reta [tanto quanto se queira].
(É possível) traçar uma circunferência com qualquer centro e raio.
Todos os ângulos retos são iguais.
Se uma linha reta cai sobre outras duas de modo que os dois ângulos internos de um mesmo lado sejam nos seus conjuntos [isto é, na sua soma] menores que dois ângulos retos, então as duas linhas retas, se prolongadas indefinidamente, encontram-se num ponto do mesmo lado em que os dois ângulos são inferiores a dois retos.

Euclides apresenta em seguida cinco noções comuns (aquilo a que hoje chamamos axiomas) consideradas evidentes, verdadeiras (não apenas na geometria), e necessárias para as demonstrações:

Coisas iguais à mesma coisa são iguais entre si.
Se a quantidades iguais se adicionam quantidades iguais, obtêm-se quantidades iguais.
Se a quantidades iguais se subtraem quantidades iguais, obtêm-se quantidades iguais.
Coisas que coincidem são iguais.
O todo é maior que a parte.

Uma das razões pelas quais esta obra é tão grandiosa é o fato de tanto ter sido deduzido de tão pouco. Na verdade, demonstrar 465 proposições, partindo de apenas cinco postulados, cinco noções comuns e algumas definições é um grande feito. Contudo, muitos matemáticos posteriores acreditaram que o mesmo podia ser obtido com apenas os primeiros quatro postulados e, que o quinto postulado não era mais do que uma proposição demonstrável a partir dos primeiros quatro postulados. Ou seja, para estes matemáticos não fazia sentido verificarem-se os quatro primeiros postulados e não se verificar o quinto, pois este seria conseqüência lógica dos outros quatro. Daí a idéia de tentar demonstrar o quinto postulado. Aliás, o próprio Euclides também terá visto algo de especial no quinto postulado, razão pela qual não o utiliza na demonstração das primeiras 28 proposições (e só a partir da 32ª todas o utilizam). É quase como se Euclides evitasse a sua utilização tanto quanto possível.

Muitas foram as tentativas de demonstrar o quinto postulado ao longo da história, mas ninguém o conseguiu fazer corretamente, até porque, como mais tarde se viria a provar, essa demonstração é impossível! Dos matemáticos que se embrenharam nesta tarefa impossível, foram vários os que chegaram a acreditar (erradamente) que o tinham conseguido. Em muitos desses casos, o erro estava na utilização (ainda que implícita) de outro postulado equivalente ao quinto postulado dos Elementos de Euclides, como viria a ser descoberto pelos próprios ou por algum matemático posterior.

O Postulado das Paralelas

Embora o enunciado do quinto postulado não fale diretamente em linhas paralelas, ele é também conhecido por Postulado das Paralelas.

Nos Elementos, as linhas retas paralelas são definidas como linhas retas que estão no mesmo plano e, se prolongadas indefinidamente em ambas as direções, não se encontram em nenhuma delas. Transpondo para linguagem corrente, pode-se considerar que a definição diz que retas paralelas são retas definidas no mesmo plano que não se intersectam.

No âmbito da geometria euclidiana, é impossível demonstrar a 29ª proposição sem o quinto postulado:

Proposição 29 - uma linha reta que corta duas linhas retas paralelas faz os ângulos alternos iguais entre si, o ângulo externo igual ao ângulo interno oposto e a soma dos ângulos internos do mesmo lado igual a dois ângulos retos.

A demonstração desta proposição é talvez a primeira relação do postulado com o paralelismo (até porque a 29ª proposição é a primeira em cuja demonstração é utilizado este postulado). Foi por aqui que enveredaram alguns dos matemáticos que tentaram demonstrar o quinto postulado (como Ptolomeu). Contudo, ao provarem corretamente esta proposição tinham de necessariamente utilizar um postulado equivalente ao quinto.

Esta dificuldade em demonstrar a 29ª proposição sem o quinto postulado foi incorretamente ultrapassada, com a utilização de uma definição especial de paralelismo. Para Posidônio(século I a.C), "linhas paralelas são linhas num único plano que não convergem nem divergem, mas têm todas as perpendiculares, desenhadas dos pontos de uma para os da outra, iguais" (Proclus, séc. V, 176.5-176.11). Isto é, duas retas são paralelas se forem eqüidistantes, ou seja, se a distância medida numa qualquer perpendicular de uma delas for sempre igual, independentemente da perpendicular escolhida.

À primeira vista, muitos dirão que esta nova definição nada tem de errado e que, de fato, duas retas não se intersectam se e só se estiverem sempre à mesma distância. Contudo, se não for suposto o quinto postulado, isso não se verificará, ou seja, será possível haver retas que não se intersectam, mas que não são eqüidistantes.

Para infortúnio dos que recorreram a esta definição, ou a uma similar, para demonstrar o quinto postulado, afirmar que retas paralelas são eqüidistantes é equivalente a afirmar o próprio quinto postulado de Euclides.

Apesar de acreditar na demonstrabilidade do quinto postulado, Proclus percebe que a definição de paralelismo de Posidônionão é correta e refere a existência de linhas que se aproximam cada vez mais, mas não se chegam a intersetar, como o caso da hipérbole.

Ao longo da história, vários matemáticos voltaram a insistir em definições de paralelismo deste tipo e, com base nesse erro, foram propostas várias demonstrações do quinto postulado.

A designação de Postulado das Paralelas torna-se mais intuitiva se considerarmos o axioma de Playfair, equivalente ao quinto postulado de Euclides: dada uma reta e um ponto exterior, existe uma e uma só reta contendo o ponto e paralela à reta dada.

John Playfair (1748-1819)

O axioma de Playfair foi proposto em 1796 por John Playfaire, desde então, substitui geralmente o quinto postulado de Euclides na construção axiomática da geometria euclidiana. Por essa razão, o axioma de Playfair é mais conhecido do que propriamente o quinto postulado dos Elementosde Euclides.

REFERÊNCIAS

Autor do Artigo: MARQUES, Hugo. "As tentativas de demonstração do Quinto Postulado dos Elementos de Euclides". Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa. 2004
BONOLA, Roberto, Non-Euclidean Geometry, tradução inglesa de H. S. Carslaw; New York: Dover Publications Inc, 1955.
LOBACHEVSKY, Nicholas, The Theory of Parallels, tradução inglesa de George Bruce Halsted, in BONOLA, Roberto, Non-Euclidean Geometry, tradução inglesa de H. S. Carslaw; New York: Dover Publications Inc, 1955.
BOLYAI, John, The Science of Absolute Space, tradução inglesa de George Bruce Halsted, in BONOLA, Roberto, Non-Euclidean Geometry, tradução inglesa de H. S. Carslaw; New York: Dover Publications Inc, 1955.
DUDLEY, Underwood, Mathematical Cranks, Washington D.C.: The Mathematical Association of America, 1992 .
HEAT, Thomas, L., The thirteen books of Euclid?s Elements translated with introduction and commentary (volume 1), New York: Dover Publications Inc, 1956 (edição original 1925).
GREENBERG, Marvin Jay, Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, San Francisco: W. H. Freeman and Company, 1980.
PROCLUS, A Commentary on the first book os Euclid?s Elements, tradução inglesa de Glenn R. Morrow, New Jersey: Princeton University Press, 1970.
VELOSO, Eduardo, Geometria, Temas Actuais: Materiais para Professores, Lisboa: IIE, 1998.

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