Matemática

A Demonstração do Quinto Postulado de Euclides por Nasiraddin At-Tusi

Natural da Pérsia, Nasiraddin (1201-1274) apresenta uma demonstração do quinto postulado cuja parte final utiliza um raciocínio similar ao de Aganis. Nasiraddin começa por assumir o seguinte resultado como óbvio:

Se duas retas AB e CD são cortadas por uma terceira reta PQ, que é perpendicular apenas a uma delas (considere-se que seja CD), então, as distâncias medidas nas perpendiculares de AB para CD são menores do que PQ no lado em que AB faz um ângulo agudo com PQ, e são maiores no lado onde AB faz um ângulo obtuso.

A falha de Nasiraddin está nesta suposição que é equivalente ao quinto postulado e, portanto, como a demonstração de Nasiraddin assenta nesta suposição, acaba por não demonstrar nada.

Esta suposição foi alvo de críticas, nomeadamente de Saccherie Wallis. Wallis teria dito que, se era preciso supor alguma coisa, porque não supor o próprio quinto postulado de Euclides. A partir da referida suposição, Nasiraddin demonstra que, se dois segmentos AC e BD forem traçados das extremidades de um segmento AB para o mesmo lado, iguais um ao outro, de modo a fazer ângulos retos com AB, e depois unir-se C a D, então cada um dos ângulos ACD e BDC será reto e CD será igual a AB.

Demonstração (de acordo com Heath, 1925, p. 209):

Que os ângulos serão retos, é provado por redução ao absurdo. Supõe-se que um ângulo não é reto, logo será agudo ou obtuso. Se o ângulo ACD for agudo, então pela suposição inicial, BD é menor que CA (e se for o ângulo BDC agudo, CA será menor que BD), o que é absurdo por hipótese. De modo análogo atinge-se o absurdo ao supor o ângulo obtuso. Como todos os ângulos são retos, facilmente se prova que DC=AB.

Nasiraddin prova depois que a soma dos ângulos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos. Primeiro utiliza a conclusão acabada de referir, para demonstrar o resultado para triângulos retângulos e, depois, generaliza a todos os triângulos, recorrendo ao fato de todos os triângulos poderem ser divididos em dois triângulos retângulos.

Por fim, Nasiraddin entrega-se à demonstração do quinto postulado propriamente dito (apesar desta demonstração estar comprometida pela suposição inicial). Três casos são distinguidos, mas pode-se reduzir ao caso em que os ângulos internos são um reto e o outro agudo.

Demonstração (de acordo com Heath, 1925, p. 209-210):

Sejam AB e CD duas linhas retas intersectadas pela linha reta FCE, de modo a fazer o ângulo ECD recto e o ângulo CEB agudo.
Tome-se um qualquer ponto G em EB e trace-se GH perpendicular a EC.
Como o ângulo CEG é agudo, a perpendicular GH estará no lado de D em relação a E (estará dentro do ângulo FEB) e coincidirá com CD ou não. Se coincidir, está provada a proposição.
Se GH não coincide com CD mas está do lado de F em relação a CD, então CD estará dentro do triângulo formado por HE, EG e GH, e terá de cortar EG (está a pressupor que se CD for prolongada o suficiente, sairá fora do triângulo e portanto cortará EB)
Se GH estiver no lado de E em relação a CD, então há que prosseguir com o seguinte raciocínio:
Ao longo de HC, coloquem-se HK, KL, etc. todos iguais a EH, até encontrar um ponto M, para lá de C.
Ao longo de GB coloquem-se GN, NO, etc. todos iguais a EG até EP ser o mesmo múltiplo de EG que EM é de EH.
- então, pode-se provar que as perpendiculares de N, O, P para EC intersectam os pontos K, L, M (de EC) respectivamente. Para provar isso, tome-se a perpendicular de N para EC, a linha reta NS.
Trace-se EQ igual a GH com ângulos retos em relação a EH e coloque-se SR sobre SN, também igual a GH. Trace-se QG e GR.
Então, pelo resultado atrás demonstrado, os ângulos EQG e QGH são retos e QG=EG. Do mesmo modo se conclui que os ângulos SRG e RGH são retos e RG=SH.
Assim, RGQ é uma linha reta e os ângulos opostos NGR e EGQ são iguais. Por construção, os ângulos NRG e EQG são ambos retos e NG=GE.
Portanto RG=GQ, onde SH=HE=KH e S coincide com K.
Do mesmo modo se pode proceder com as outras perpendiculares.
Assim, PM é perpendicular a FE. Por isso CD, como é paralela a MP e está dentro do triângulo PME, irá cortar EP, se prolongada o suficiente.

REFERÊNCIAS

Autor do Artigo: MARQUES, Hugo. "As tentativas de demonstração do Quinto Postulado dos Elementosde Euclides". Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa. 2004

BONOLA, Roberto, Non-Euclidean Geometry, tradução inglesa de H. S. Carslaw; New York: Dover Publications Inc, 1955.

LOBACHEVSKY, Nicholas, The Theory of Parallels, tradução inglesa de George Bruce Halsted, in BONOLA, Roberto, Non-Euclidean Geometry, tradução inglesa de H. S. Carslaw; New York: Dover Publications Inc, 1955.

BOLYAI, John, The Science of Absolute Space, tradução inglesa de George Bruce Halsted, in BONOLA, Roberto, Non-Euclidean Geometry, tradução inglesa de H. S. Carslaw; New York: Dover Publications Inc, 1955.

DUDLEY, Underwood, Mathematical Cranks, Washington D.C.: The Mathematical Association of America, 1992 .

HEAT, Thomas, L., The thirteen books of Euclid?s Elements translated with introduction and commentary (volume 1), New York: Dover Publications Inc, 1956 (edição original 1925).

GREENBERG, Marvin Jay, Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, San Francisco: W. H. Freeman and Company, 1980.

PROCLUS, A Commentary on the first book os Euclid?s Elements, tradução inglesa de Glenn R. Morrow, New Jersey: Princeton University Press, 1970.

VELOSO, Eduardo, Geometria, Temas Actuais: Materiais para Professores, Lisboa: IIE, 1998.

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