A Equação da Hipérbole
Definição: A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença das distâncias, em valores absolutos, a dois pontos fixos desse plano é constante.
Sejam dois pontos distintos F1 e F2 de um plano π, cuja distância d(F1 , F2) = 2c. Seja um número real a tal que 0 < 2a < 2c.
Hipérbole é o conjunto de todos os pontos P do plano, tais que:
ou
[Figura 1: Hipérbole]
Como podemos ver, a hipérbole é uma curva com dois ramos. Analisando a equação (2), podemos ver que um ponto P está na hipérbole se, e somente se:
Quando P está no ramo da direita, a diferença é igual a +2a:
e quando P estiver no ramo da esquerda, a diferença será – 2a:
Considerando a reta que passa por F1 e F2, as intersecções com a hipérbole serão os pontos A1 e A2. Traçamos uma perpendicular a esta reta, passando pelo centro C do segmento F1 e F2.
[Figura 2: Eixos de Simetria da Hipérbole]
A hipérbole é uma curva simétrica em relação às estas duas retas, como também ao ponto C. Se P1 é um ponto da hipérbole, existem outros pontos P2, P3 e P4 tais que: P2 é o simétrico de P1 em relação à reta horizontal; P3 é o simétrico de P1 em relação à reta vertical; P4 é o simétrico a P1 em relação ao ponto C. Pela simetria, concluímos que:
Elementos da Hipérbole
Os principais elementos de uma hipérbole estão relacionados abaixo, considerando a figura 3:
[Figura 3: Elementos da Hipérbole]
Focos: F1 e F2
Distância focal: é a distância 2c entre os focos, onde c = CF1=CF2
Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2
Eixo real ou transverso: é o segmento A1A2, de comprimento 2a, onde a = CA1 = CA2
Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2, de comprimento 2b. O valor de b é definido pela relação pitagórica:
onde a, b e c são as medidas dos lados do triângulo retângulo CA2M.
Assíntotas: são as retas r e s das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que os pontos se afastam dos focos. Esta aproximação é contínua e lenta de forma que a tendência da hipérbole é tangenciar suas assíntotas no infinito.
Considerando uma circunferência de raio CF1 ou CF2, cujo centro C é o mesmo centro da hipérbole, traçamos pelos vértices A1 e A2 cordas perpendiculares ao segmento F1F2 e marcamos as intersecções com a circunferência. Esses pontos são os vértices do retângulo MNPQ inscrito à circunferência. Esse retângulo tem dimensões 2a e 2b.
As retas r e s que contém as diagonais desse retângulo são as assíntotas da hipérbole.
Abertura: o ângulo θ é chamado de abertura da hipérbole
Excentricidade: a excentricidade e da hipérbole é o número dado pela relação:
A excentricidade da hipérbole está intimamente relacionada com sua abertura. Se mantivermos o segmento c fixo e variarmos apenas o comprimento do segmento a, teremos uma abertura maior quando a é menor e vice-versa. Então, se diminuirmos o valor de a teremos uma excentricidade maior e = c / a. Assim os ramos da hipérbole estarão mais abertos.
Quando a = b o retângulo MNPQ se transforma num quadrado, torando as assíntotas perpendiculares e a abertura da hipérbole será igual a θ = 45°. Para este caso específico a hipérbole recebe o nome de Hipérbole Equilátera.
Equação Reduzida da Hipérbole
1º Caso: O Eixo Real está sobre o Eixo dos x:
Tomando um sistema ortogonal, com o centro C da hipérbole na origem do sistema, temos que:
[Figura 4: Eixo rel sobre eixo dos x]
Seja um ponto P(x, y) da hipérbole, cujos focos são os pontos F1(– c,0) e F2( c,0). Por definição temos que:
Em coordenadas:
Quadramos ambos os lados:
Quadramos novamente ambos os lados:
Substituímos a relação (4) na (5), obtendo:
Dividindo ambos os lados por a2b2, resulta em:
Que é a equação da hipérbole.
2º Caso: O Eixo Real está sobre o Eixo dos y:
Tomando um sistema ortogonal, com o centro C da hipérbole na origem do sistema, temos que:
[Figura 5: Eixo real sobre o eixo dos y]
Analogamente ao primeiro caso, chegamos à equação da hipérbole:
Referências
[1] Geometria Analítica – Steinbruch & Winterle
[2] Matemática: Ciência e Aplicações V3 – Iezzi, Dolce, Et al
Veja mais:
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Um modo de Calcular a Integral Indefinida da Hipérbole no blog Fatos Matemáticos
Os Modelos Hiperbólicos de Crochê no blog Matheusmathica
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