Matemática

A existência de "e"

Nesse post iremos tratar do famoso número de Euler [;e;]

, assim chamado em homenagem ao matemático suiço Leonard Euler, e o mesmo é a base dos logaritmos naturais. Iremos mostrar sua existência e que é limitado, [;e<3;]

Definimos

como sendo o seguinte limite

$[;e=\lim_{n\to\infty}{(1+\displaystyle\frac{1}{n})^n};]$

Para isso, iremos provar que esse limite existe.

Considere a quantidade

$[;x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n;]$

Pelo Teorema do Binômio de Newton temos que

$[;x_n=1+n\cdot\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}\cdot\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}\cdot\frac{1}{n^3}+\cdots +\frac{1}{n^n};]$

$[;\displaystyle =1+1+\frac{1}{1\cdot 2}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots +\frac{1}{n^n};]$ (1)

Note que à medida que [;n;]

cresce o número de termos dessa soma cresce, formando uma sequência crescente, assim

$[;x_1<x_2<x_3<\cdots <x_n<x_{n+1}<\cdots;]$ (2)

Afirmação: Para [;n>1;]

é verdade que $[;\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n!}.;]$ .

Demonstração: Basta mostrar que $[;\left(1-\frac{1}{n}\right)<1;]$ ,é óbvio, pois se [;n>1;]

então $[;0<\frac{1}{n}<1;]$ , assim

$[;0<\frac{1}{n}<1 \Rightarrow -1<\frac{-1}{n}<0\Rightarrow 0<1-\frac{1}{n}<1;]$

Portanto, como $[;\frac{1}{n!}>1;]$ , temos $[;\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n!}.;]$ .

De (1), temos que

$[;x_n&lt;1+1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2 \cdot 3}+\cdots +\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n}<1+1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots + \frac{1}{2^{n-1}}\right)<1+1+1=3;]$ (3)

Pois a expressão entre parênteses é parte da série geométrica

$[;\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}+\cdots=1;]$

De (2) e (3), vemos que os [;x_n;]

crescem uniformemente, porém não ultrapassam o valor 3, assim eles tendem, a um valor-limite.Em nosso contexto, esse valor-limite é [;e;]

por definição. Esse argumento prova que

$[;e=\lim_{n\to\infty}{(1+\displaystyle\frac{1}{n})^n};]$

Referência Bibliográfica: Simmons, George F., 1925 - Cálculo comGeometria Analítica - São Paulo: MacGraw- Hill, 1987

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