Matemática

A Geometria Analítica e seu verdadeiro Pai

ELENICE DE SOUZA LODRON ZUIN

Departamento de Matemática e Estatística da PUC-MINAS

?... é possível que me engane e que seja talvez um pouco

de cobre e de vidro o que tomo por ouro e diamantes.?

René Descartes

O francês René Descartes (1596-1650) é anunciado como o pai da Geometria Analítica, por ter escrito sua mais famosa obra: o Discours de la méthode por bien conduire sa raison et chercher la verité dans les science (Discurso do método para bem conduzir a razão e procurar a verdade nas ciências). Quase todos os livros didáticos de matemática apontam Descartes como o criador da Geometria Analítica. Mas, até que ponto isto é verdade? Neste artigo, iremos voltar alguns séculos na História para podermos refletir e julgar a quem caberia o título de Pai da Geometria Analítica.

Tudo começa na Antigüidade. Os antigos egípcios, em agrimensura, e os antigos gregos, na elaboração de seus mapas, usavam métodos que, através de coordenadas convenientes, podiam fixar a posição de um ponto. Ao longo da história, vários trabalhos sugerem usos de coordenadas e aplicações de álgebra, ainda que rudimentar, à geometria.

Já, no século XIV vamos encontrar Nicola Oresme (1323-1382), natural da diocese de Bayeux, na França que se tornou bispo de Lisieux, na Normandia, em 1377. Ele foi estudante e professor da Universidade de Paris. Oresme escreveu várias obras. Um tratado sobre a Origem, Natureza e Mudanças das Moedas, que o torna pioneiro como economista político daquela época. Escreveu, também, sobre Astrologia, mas na área da matemática, entre outros, é que ele nos deixou um trabalho original. ?... ocorreu-lhe em algum momento antes de 1361 um pensamento brilhante ? porque não traçar uma figura ou gráfico da maneira pela qual variam as coisas? Vemos aqui, é claro, uma sugestão antiga daquilo que agora chamamos representação gráfica de funções. Tudo o que é mensurável, escreveu Oresme, é imaginável na forma de quantidade contínua; por isso ele traçou um gráfico velocidade-tempo para um corpo que se move com aceleração constante. Ao longo de uma reta horizontal ele marcou pontos representando instantes de tempo (ou longitudes), e para cada instante ele traçou perpendicularmente à reta de longitudes um segmento de reta (latitude) cujo comprimento representava a velocidade. As extremidades desses segmentos, ele percebeu, jazem ao longo de uma reta; e se o movimento uniformemente acelerado parte do repouso, a totalidade dos segmentos velocidade (que chamamos ordenadas) preencherá um triângulo retângulo. Como a área desse triângulo representa a distância percorrida, Oresme forneceu, assim, uma verificação geométrica da regra de Merton1, pois a velocidade no ponto médio do intervalo de tempo é a metade da velocidade final. Além disso, o diagrama leva obviamente à lei de movimento usualmente atribuída a Galileu no século dezessete. (...)

A representação gráfica de funções, conhecida então como a latitude de formas continuou a ser um tópico popular deste o tempo de Oresme até o de Galileu. O Tractatus de latitudinibus formarum, escrito talvez por um estudante de Oresme, senão pelo próprio Oresme, apareceu em numerosas formas manuscritas e foi impresso pelo menos quatro vezes entre 1482 e 1515; mas constituía apenas um resumo de uma obra maior de Oresme intitulada Tractatus de Figuratione potentiarum et mensurarum. Aqui Oresme chegou a sugerir uma extensão a três dimensões de sua ?latitude de formas? em que uma função de duas variáveis independentes era representada como um volume formado de todas as ordenadas erigidas segundo uma reta dada, em pontos numa parte do plano de referência. Encontramos até uma insinuação de uma geometria de quatro dimensões...? 2

Voltando a Descartes, Discours de la méthode contém três apêndices: La dioptrique, Les météores e La géométrie. Descartes diz no seu livro: ?Todo problema de geometria pode facilmente ser reduzido a termos tais que o conhecimento dos comprimentos de certos segmentos basta para a construção?, deste modo, podemos perceber que seu objetivo era, em geral, uma construção geométrica, diferentemente da redução da geometria à álgebra como se pensa. La Géométrie tem duas seções: ?Como os cálculos de aritmética se relacionam com operações e geometria? e ?Como a multiplicação, a divisão e a extração de raízes quadradas são efetuadas geometricamente?, mostrando que as cinco operações aritméticas correspondem a construções com régua e compasso. O que é mais representativo em La géométrie é uma teoria de equações algébricas onde Descartes propõe um método para se determinar o número de raízes falsas (negativas) e verdadeiras (positivas) de uma equação.

Discours de la Methode ? Edição de 1637

Segundo Boyer e Struik, La Géométrie não se assemelha em nada com a geometria analítica, são usadas ordenadas oblíquas, não se encontram eixos perpendiculares, ou coordenadas retangulares (também conhecidas por coordenadas cartesianas, em homenagem a Descartes!). Não se fala de distâncias entre dois pontos, inclinação de uma reta ou mesmo ângulo entre duas retas, não se usa abscissas negativas. Descartes, apesar de colocar algumas equações do segundo grau, que são interpretadas como representativas de seções cônicas, não faz deduções de equações das seções cônicas e nem mesmo de uma simples reta ou circunferência.

Um fato interessante é que a edição original do livro foi publicada sem o nome de Descartes! Apesar disto, segundo os historiadores, todos sabiam quem era o autor. Os três apêndices do Discours de la méthode, para a maioria das pessoas, pareciam textos soltos, e isto ficou tão evidente que foram omitidos em reedições posteriores, uma vez que não se entendia como os mesmos tinham alguma relação com o seu método geral, exposto no livro.

Struik diz, em relação à geometria analítica: ?este ramo da matemática se desenvolveu sob a influência do livro de Descartes, mas dificilmente La Géométrie pode ser considerada um primeiro texto sobre o assunto?, lembrando que ?Apolônio já tinha uma caracterização das seções cônicas por meio daquilo que agora ? com Leibniz ? podemos chamar coordenadas, embora não lhes fossem atribuídos valores numéricos. Porém, a latitude e a longitude na Geographia, de Ptolomeu, eram coordenadas numéricas. Papus, na sua Colecção, tinha um Tesouro de Análise (Analuomenos), no qual temos apenas de modernizar a notação para obter uma aplicação da álgebra à geometria. Mesmo a idéia de representação gráfica tinha ocorrido antes de Descartes, como, por exemplo, nos trabalhos de Oresme?3. Para situar a época na qual estes trabalhos foram desenvolvidos, Apolônio escreveu As cônicas por volta do ano de 225 a.C., Ptolomeu viveu no século II e Papus no século IV.

Como o Tractatus de latitudinibus formarum, ou apenas De latitudinibus formarum, onde Oresme expõe a sua representação gráfica, foi impresso várias vezes, é de se imaginar que este trabalho tenha influenciado tanto Descartes4 como outros matemáticos do Renascimento.

Pierre de Fermat

Contemporâneo de Descartes, o advogado francês Pierre de Fermat (1601-1665) foi um grande nome na História da Matemática. Em geral, os nossos estudantes do Ensino Médio, e mesmo superior, nunca ouviram falar em Fermat. Este homem notável, que tantas contribuições deu ao mundo, se dedicava, nas suas horas livres, à ciência e à matemática; não se preocupou em publicar nenhum de seus estudos e descobertas. Seus trabalhos foram divulgados através de correspondência a amigos e a outros intelectuais. Em 1629, ele iniciou um trabalho de recompor as obras perdidas da Antigüidade, fazendo pesquisas e se baseando em tratados clássicos. Uma das obras reconstruídas por ele foi Lugares Planos, de Apolônio. Acredita-se que ao reconstruir a obra de Apolônio ele se inspirou para chegar ao princípio fundamental da geometria analítica. Ele escreveu Ad locus planos et solidos isagoge (Introdução aos lugares planos e sólidos), que só foi publicado depois da sua morte. Neste pequeno ensaio, ele trata das equações de retas e cônicas, referidas a um sistema de eixos, em geral, perpendiculares. Usando a álgebra resolveu problemas geométricos. No seu livro encontramos as equações gerais de retas, circunferências e equações mais simples de parábolas, elipses e hipérboles, sendo que também apresenta reduções de equações do primeiro e segundo graus através de translações e rotações de eixos.

Um outro fato importante é que o monge franciscano Marin Mersenne5, que vivia em Paris, interessado em Filosofia, Ciência e Matemática, formou um grupo de intelectuais que se reuniam freqüentemente. Estavam entre eles, Gilles Persone de Roberval6, Blaise Pascal, Girard Desargues, Pierre Gassendi7, e mesmo o inglês Thomas Hobbes, que estava sempre na França. O monge mantinha correspondência com diversas pessoas que desenvolviam trabalhos expressivos na época: na Itália com Galileu Galilei, Boaventura Cavalieri e Evangelista Torricelli; em Toulousse com Fermat; com Descartes, que na época morava na Holanda. Neste fantástico grupo, as grandes idéias e descobertas sempre transitavam e eram discutidas; Mersenne se encarregava de se fazer conhecer o conteúdo de suas correspondências ao grupo e transmitir tudo que circulava de novidade aos seus correspondentes. Descartes, muito antes de publicar o Discours de la méthode, em 1637, já tinha lido o manunscrito original do trabalho de Fermat, escrito em 1629. Como as informações circulavam através de Mersenne, este provavelmente, lhe encaminhou as idéias de Fermat, mesmo antes de Descartes ter oportunidade de ler a Introdução a lugares planos e sólidos (assunto para se refletir!).

Marin Mersenne

O trabalho de Fermat só foi publicado em 1679, após a sua morte, e o livro de Descartes em 1637. Este fato pode ter gerado a idéia de que Descartes, realmente, foi o criador da Geometria Analítica. Outro ponto, a ser destacado, é que Fermat utilizou a álgebra de Viète (1540-1603), o que fazia parecer sua obra não tão moderna como a de Descartes, uma vez que este introduziu diversas notações que ainda são usuais.8

Agora, você tem informações suficientes para ajudar a Geometria Analítica a encontrar o seu verdadeiro Pai (!).

A partir desta pequena viagem pela História da Matemática, nos convencemos da importância de se pesquisar fatos que, mesmo durante muitos séculos, são colocados como verdadeiros. E dentro da Educação e, também, no nosso dia-a-dia, cada um de nós deve começar refletir a respeito das palavras do próprio Descartes: ?O bom senso é a coisa mais bem repartida deste mundo...? 9. ?Todavia é possível que me engane e que seja talvez um pouco de cobre e vidro o que tomo por ouro e diamantes?

" Artigo publicado na Revista MatNews 2, 1998. p.48-51.

1 No século XIV o estudo das mudanças, em geral, e do movimento, em particular, foram estudados nas universidades em Oxford e Paris. Em Merton College, Oxford, foi deduzida uma formulação para o movimento de velocidade com variação uniforme, que ficou conhecido como regra de Merton. A regra expressa em termos de tempo e distância, diz essencialmente que se um corpo se move com movimento uniformemente acelerado a distância coberta será igual à que seria percorrido por outro corpo que se deslocasse com movimento uniforme durante o mesmo intervalo de tempo com velocidade igual à do primeiro no ponto médio do intervalo de tempo. (Boyer, 1996, p. 178).

2 Boyer, 1994, p. 180-182.

3 IStruik, 1989, p.161-162.

4 Boyer acredita que mesmo que Descartes tivesse conhecimento da obra de Oresme, ele não conseguiu fazer qualquer relação entre a latitude de formas e a sua classificação das construções geométricas. (Boyer, 1996, p.237).

5 Mersenne (1588-1648) é autor de trabalhos na área de Física e Matemática.

6 Roberval, entre outros trabalhos, fez um estudo a ciclóide provando que a área sob um arco da curva é igual a três vezes a área do círculo gerador; em 1638, descobriu como traçar a tangente à curva em qualquer ponto.

7 Gassendi filósofo francês, foi um dos proponentes da teoria atomista. Defendia a idéia de que o Universo é formado por minúsculas partículas, cujos movimentos e interações podem ser estudados e previstos matematicamente.

8 Usando a notação algébrica de Viète, Fermat escrevia em latim ?D in A aequetur B in E?, o que hoje escreveríamos como Dx = By, para representar o caso mais simples de uma equação linear.

Descartes introduziu uma nova notação para as equações algébricas, usa as primeiras letras do alfabeto, a, b, c para designar as constantes e x, y, z para denotar as variáveis, notação preservada até hoje.

9 In Discurso do Método, p.39.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

BOYER, Carl B. História da Matemática. 2. ed. Trad.Elza Furtado Gomide. São Paulo: Blücher, 1996.

DESCARTES, René. Discurso do método. Trad. João Cruz Costa. Rio de Janeiro: Ediouro, [s.d].

EVES, Howard. História da Geometria. Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1992.

STRUIK, Dirk. História concisa das matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1989.

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