Matemática
- Questão 55 ? Prova Do Estado ? (ofa) 2.014 ? Professor De Educação Básica Ii
Na figura mostrada a seguir, é apresentado um trecho da reta numérica. Os pontos destacados dividem o segmento de reta em intervalos de tamanhos iguais. Se x +2 é o número real correspondente ao ponto K, é correto afirmar que o valor de x é (A)...
- Questão 41 ? Prova Do Estado ? (ofa) 2.014 ? Professor De Educação Básica Ii
Os pares ordenados (0, 0) e (1, 3) pertencem ao gráfico de uma função polinomial do 2.º grau. O máximo dessa função tem abscissa x = 2. Logo, o valor da função no ponto de abscissa x = ?1 é (A) 5.(B) 4.(C) 0.(D) ?4.(E) ?5. Solução: (E) Aplicando...
- Questão 56 ? Concurso See ? 2.010 ? Professor De Educação Básica Ii ? Matemática
A figura representa o planeta Terra e uma montanha cujo ponto mais alto é indicado por A. A semi-reta AB indica a linha do horizonte, e o segmento BC o raio da Terra. Se BC = 100 . AB, então, a altura da montanha, na mesma unidade de BC e AB, é igual...
- Questão 74 ? Formação Básica Do Professor E Formação Específica Do Professor ? 2.007 ? Estado De São Paulo
O conjunto dos pontos do plano cartesiano tais que sua distância ao ponto (1, 2) é sempre igual à metade de sua distância à reta de equação x + 2 = 0 é (A) uma reta. (B) duas retas paralelas distintas. (C) uma elipse. (D) uma parábola. (E) uma...
- Equação Fundamental Da Reta
Com um ponto e um ângulo podemos indicar e construir uma reta. E se a reta formada não for vertical (reta vertical é perpendicular ao eixo Ox) com o ponto pertencente a ela mais o seu coeficiente angular (tangente do ângulo de inclinação) é possível...
Matemática
Questão 80 ? Concurso SEE ? 2.010 ? Professor de Educação Básica II ? Matemática
O triângulo ABC tem vértices A(0,0) e B(36,15). A respeito do vértice C, sabe-se que suas coordenadas são números inteiros. A menor área possível do triângulo ABC é
(A) 1/2.
(B) 1.
(C) 3/2.
(D) 9/2.
(E) 13/2.
Obs: Caderno de Prova ?E05? ? Tipo 001 ? Modelo 1
Solução: (C)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° ? Compreensãodo Problema
Nesta questão temos que determinar para qual ponto C (xc ,yc), com xceyc sendo número inteiro, obtemos a menor área para o triângulo ABC.
Para que esta condição do enunciado seja atendida o ponto C deve estar situado o mais próximo possível da reta suporte do segmento AB.
2° ? Estabelecimento de um Plano
A resolução se resume em determinar o ponto C.
Inicialmente temos que determinara reta suporte do segmento AB. Com a equação da reta determina-se a distância do ponto C a esta reta.
O ponto C pertence a uma reta paralela a reta suporte do segmento AB. A distância (d) que separa estas duas retas equivale a altura do triângulo ABC e pode ser determinada segundo a relação
d (P, reta) = | a ? x + b ? y + c | / [ ?(a2 + b2)]
Sendo a ? x + b ? y + c a equação da reta e x e y são as coordenadas do ponto P (x ,y).
Com o valor da distância d determina-se a área do triângulo ABC, cujabase é o comprimento do segmento AB, segundo a relação
dA,B= ?[(xB ? xA)2 + (yB ? yA)2]
3° ? Execução do Plano
Determinando a equação da reta suporte de AB:
(i) coeficiente angular da reta (m):
m = (yB ? yA) / (xB ? xA) = (15 ? 0 ) / (36 / 0) = 15 / 36 = 5 / 12
(ii) equação da reta considerando o ponto A (0 , 0):
y ? yA = m ? (x ? xA) ? y ? 0 = (5/12) ? (x ? 0) ? y ? 0 = (5/12) ? x ?
? 12 ? y ? 5 ? x = 0? 5 ? x ? 12 ? y = 0
Calculando a distância d:
d (C, AB) = | a ? x + b ? y + c | / [ ?(a2 + b2)]
d (C, AB) = |5 ? x ? 12 ?y| / [ ?(52 + (?12)2)]
d (C, AB) = |5 ? xC ? 12 ? yC| / ?(169) = |5 ? xC ? 12 ? yC| / 13
Calculando o comprimento do seguimento AB:
dA,B= ?[(xB ? xA)2 + (yB ? yA)2] = ?[(36 ? 0)2 + (15 ? 0)2] =
= ?(1296 + 225) = ?(1521) = 39
Calculando a área do triângulo ABC:
A?ABC = (dA,B ? d) / 2 = [39 ? (|5 ? xC ? 12 ? yC| / 13)] / 2
A?ABC = (dA,B ? d) / 2 = [(39 / 13) ? (|5 ? xC ? 12 ? yC|)] / 2
A?ABC = [3 ? (|5 ? xC ? 12 ? yC| / 13)] / 2 = (3 / 2) ? (|5 ? xC ? 12 ? yC|)
Segundo as condições do problema xceyc são números inteiros então o módulo |5 ? xC ? 12 ? yC| é um número inteiro. Para que a área do triângulo ABC seja a mínima possível o módulo |5 ? xC ? 12 ? yC| deve ser o menor número inteiro não nulo, portanto |5 ? xC ? 12 ? yC| = 1
Desta forma a menor área possível do triângulo ABC é 3 / 2.
4° ? Avaliação
Considerando C (?5 ,?2), temos:
A?ABC = (3 / 2) ? (|5 ? (?5) ? 12 ? (?2)|) = 3 / 2 ? 1 = 3 / 2
Temos outros pontos que satisfaz esta condição, como por exemplo, o ponto C (5 , 2).
Todos os pontos pertencentes às retas: p1: 5 ? x ? 12 ? y + 1 = 0 e p2: 5 ? x ? 12 ? y ? 1 = 0, que são retas paralelas a reta suporte AB, satisfazem a relação |5 ? xC ? 12 ? yC| , entretanto somente os pontos cuja suas coordenadas são números inteiros satisfazem as condições do enunciado.
Resolução a pedido da Profª. Ane.
- Questão 55 ? Prova Do Estado ? (ofa) 2.014 ? Professor De Educação Básica Ii
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