Questão 80 ? Concurso SEE ? 2.010 ? Professor de Educação Básica II ? Matemática
Matemática

Questão 80 ? Concurso SEE ? 2.010 ? Professor de Educação Básica II ? Matemática


O triângulo ABC tem vértices A(0,0) e B(36,15). A respeito do vértice C, sabe-se que suas coordenadas são números inteiros. A menor área possível do triângulo ABC é

(A) 1/2.
(B) 1.
(C) 3/2.
(D) 9/2.
(E) 13/2.

Obs: Caderno de Prova ?E05? ? Tipo 001 ? Modelo 1

Solução: (C)

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:

1° ? Compreensãodo Problema

Nesta questão temos que determinar para qual ponto C (xc ,yc), com xceyc sendo número inteiro, obtemos a menor área para o triângulo ABC.

Para que esta condição do enunciado seja atendida o ponto C deve estar situado o mais próximo possível da reta suporte do segmento AB.

2° ? Estabelecimento de um Plano

A resolução se resume em determinar o ponto C.

Inicialmente temos que determinara reta suporte do segmento AB. Com a equação da reta determina-se a distância do ponto C a esta reta.

O ponto C pertence a uma reta paralela a reta suporte do segmento AB. A distância (d) que separa estas duas retas equivale a altura do triângulo ABC e pode ser determinada segundo a relação

d (P, reta) = | a ? x + b ? y + c | / [ ?(a2 + b2)]

Sendo a ? x + b ? y + c a equação da reta e x e y são as coordenadas do ponto P (,y).

Com o valor da distância d determina-se a área do triângulo ABC, cujabase é o comprimento do segmento AB, segundo a relação

dA,B= ?[(xB ? xA)2 + (yB ? yA)2]

3° ? Execução do Plano

Determinando a equação da reta suporte de AB:

(i) coeficiente angular da reta (m):

m = (yB ? yA) / (xB ? xA) = (15 ? 0 ) / (36 / 0) = 15 / 36 = 5 / 12

(ii) equação da reta considerando o ponto A (0 , 0):

y ? yA = m ? (x ? xA) ? y ? 0 = (5/12) ? (x ? 0) ? y ? 0 = (5/12) ? x ?

? 12 ? y ? 5 ? x = 0? 5 ? x ? 12 ? = 0

Calculando a distância d:

d (C, AB) = | a ? x + b ? y + c | / [ ?(a2 + b2)]

d (C, AB) = |5 ? x ? 12 ?y| / [ ?(52 + (?12)2)]

d (C, AB) = |5 ? x? 12 ? yC| / ?(169) = |5 ? xC ? 12 ? yC| / 13

Calculando o comprimento do seguimento AB:

dA,B= ?[(xB ? xA)2 + (yB ? yA)2] = ?[(36 ? 0)2 + (15 ? 0)2] =

= ?(1296 + 225) = ?(1521) = 39

Calculando a área do triângulo ABC:

A?ABC = (dA,B ? d) / 2 = [39 ? (|5 ? x? 12 ? yC| / 13)] / 2

A?ABC = (dA,B ? d) / 2 = [(39 / 13) ? (|5 ? x? 12 ? yC|)] / 2

A?ABC = [3 ? (|5 ? x? 12 ? yC| / 13)] / 2 = (3 / 2) ? (|5 ? x? 12 ? yC|)

Segundo as condições do problema xceyc são números inteiros então o módulo |5 ? x? 12 ? yC| é um número inteiro. Para que a área do triângulo ABC seja a mínima possível o módulo |5 ? x? 12 ? yC| deve ser o menor número inteiro não nulo, portanto |5 ? x? 12 ? yC| = 1

Desta forma a menor área possível do triângulo ABC é 3 / 2.

4° ? Avaliação

Considerando C (?5 ,?2), temos:

A?ABC = (3 / 2) ? (|5 ? (?5) ? 12 ? (?2)|) = 3 / 2 ? 1 = 3 / 2

Temos outros pontos que satisfaz esta condição, como por exemplo, o ponto C (5 , 2).

Todos os pontos pertencentes às retas: p1: 5 ? x ? 12 ? y + 1 = 0 e p2: 5 ? x ? 12 ? y ? 1 = 0, que são retas paralelas a reta suporte AB,  satisfazem a relação |5 ? x? 12 ? yC| , entretanto somente os pontos cuja suas coordenadas são números inteiros satisfazem as condições do enunciado.

Resolução a pedido da Profª. Ane.




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