Questão 74 ? Formação Básica do Professor e Formação Específica do Professor ? 2.007 ? Estado de São Paulo
Matemática

Questão 74 ? Formação Básica do Professor e Formação Específica do Professor ? 2.007 ? Estado de São Paulo


O conjunto dos pontos do plano cartesiano tais que sua distância ao ponto (1, 2) é sempre igual à metade de sua distância à reta de equação x + 2 = 0 é

(A) uma reta.
(B) duas retas paralelas distintas.
(C) uma elipse.
(D) uma parábola.
(E) uma hipérbole.

Solução: (C)

A reta r: x + 2 = 0 é paralela ao eixo y, logo a distância entre o ponto P (1 , 2) e a reta r é dado pelo modulo do valor de x, ou seja, x = ? 2, logo a distância entre o ponto P e a reta r é 2.

O problema pede o conjunto formado pelos pontos que estão à mesma distância do ponto P, então:

[d(P, PP)]2= (x ? xP)2 + (y ? yP)2 

Segundo o enunciado d(P, PP) = d(P, r) / 2 = 1, temos então:

(1)2= (x ? 1)2 + (y ? 2)2 

1 = (x ? 1)2+ (y ? 2)2 

Segundo a equação obtida o conjunto formado é uma circunferência de raio 1 e cento no ponto P, observe que a circunferência é um tipo especial de elipse.

A equação de elipse é dado por: 

[(x ? xP)2/ a2]+ [(y ? yP)2 / b2] = 1 

Onde a é o comprimento do semi-eixo maior e b é o comprimento do semi-eixo menor. No caso de uma circunferência os semi-eixos a e b possuem o mesmo valor sendo denominado raio.

Resolução a pedido da Profª. Cleonice. 




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