Matemática

A Reta de Euler

Quando falamos em Euler e os resultados obtidos pelo mesmo não deixamos de nos surpreender com as descobertas desse gênio da matemática, o mesmo contribuiu com a geometria plana, e ele notou que em um triângulo qualquer o Ortocentro (Encontro das alturas relativas as bases), o Circuncentro (Encontro das mediatrizes relativas aos lados do triângulo) e o Baricentro, são colineares, ou seja, existe uma reta que passa pelo ortocentro, circuncentro e baricentro.

Deste modo, enunciamos o seguinte teorema:

Teorema: Em um triângulo ABC qualquer, o baricentro, o ortocentro e o circuncentro são colineares.

Demonstração: Considere um triângulo qualquer, utilizaremos em nossa demonstração um triângulo acutângulo para garantirmos que os três pontos citados se encontram no interior desteg triângulo, entretanto a demontração é análoga para triângulos obtusângulos e retângulos, assim temos:

O Baricentro [;G;]

(contido na mediana) e o circincentro [;O;]

(contido na mediatriz) são pontos distintos, haja vista que a mediana é distinta da mediatriz. Traçamos a reta $[;\ell;]$ que passa por [;G;]

. Seja

um ponto pertecente a semi-reta $[;\vec{OG};]$ tal que $[;\overline{GH'}=2\overline{GO};]$ . Note que [;P;]

é o ponto médio de $[;\overline{BC};]$ , pois o mesmo pertence à mediana relativa a esse lado. Considere a mediana e a mediatriz relativa ao lado $[;\overline{BC};]$ .

Note que $[;\triangle GH'A;]$ e $[;\triangle GOP;]$ são semelhantes, pois:

$[;\overline{GH'}\equiv 2\overline{GO};]$ (por construção);
$[;A\widehat{G}H'\equiv P\widehat{G}O;]$ (o.p.v.) ;
$[;\overline{AG}\equiv 2\overline{GP};]$ (propriedade do baricentro).

Assim, seus ângulos correspondentes, $[;A\widehat{H'}G;]$ e $[;P\widehat{O}G;]$ são congruentes.
Dessa forma a reta suporte que contêm o segmento $[;\overline{AH'};]$ é paralela à mediatriz $[;\overline{OP};]$ , consequentemente, [;H';]

é um ponto pertecente à altura relativa ao lado $[;\overline{BC};]$ .

Analogamente, vamos tomar agora a mediana e a mediatriz relativas ao lado $[;\overline{AC};]$ da figura abaixo:

Seja

o ponto médio do lado $[;\overline{AC};]$ . Veja que $[;\triangle GH'B;]$ e $[;\triangle GOP';]$ são semelhantes, pois:

$[;\overline{GH'}\equiv 2\overline{GO};]$ (por construção );
$[;B\widehat{G}H'\equiv P'\widehat{G}O;]$ (o.p.v.);
$[;\overline{BG}\equiv 2\overline{GP'};]$ (propriedade do baricentro).

Dessa forma, os ângulos correpondentes $[;B\widehat{H'}G;]$ e $[;P'\widehat{O}G;]$ são congruentes. A reta suporte que contêm o segmento [;BH';]

é paralela a mediatriz [;OP';]

. Consequentemente, [;H';]

é um ponto pertencente a altura relativa ao lado $[;\overline{AC};]$ .
Como [;H';]

é a interseção de duas alturas do triangulo $[;\triangle ABC;]$ , temos que [;H'=H;]

(ortocentro).

Concluímos assim que, Circuncentro ( O ), Baricentro ( G ) e Ortocentro ( H )
são colineares e a Reta $[;\ell;]$ é a Reta de Euler do Triângulo $[;\triangle ABC;]$ .

Até mais !

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