A Solução para o Desafio: Tecnologia Extraterrestre!
Por: Francisco Valdir
Blog: Matemágicas e Números
Foi em um dia do ano de 1992, eu, Francisco Valdir, e meus colegas de turma assistíamos a uma aula de cálculo. O professor, querendo mostrar a utilização da integral para obtenção de uma área, criou uma situação problema e para nos incentivar na procura de sua solução, fazia-nos perguntas sobre como deveríamos obter os dados numéricos para a seguinte questão: em um prédio com 100 m de comprimento, 30 m de altura quer-se pintar uma parte de fachada delimitada por duas retas verticais desde o seu cimo e até ao nível do solo, tendo à sua esquerda um afastamento lateral de 5,00 m e à direita 15,00m de afastamento. A pergunta era: qual a capacidade de litros de tinta que seriam gastos nessa pintura onde a camada ficaria com 0,8 mm de espessura? Ele perguntava, qual seria a maneira mais rápida que poderíamos utilizar para delimitar as linhas verticais e paralelas dessa parte da fachada. Depois de ouvir algumas sugestões nossas, ele mesmo apresentou a dele como a mais adequada e que seria dessa maneira: de cima do prédio, operários posicionados nos devidos lugares à esquerda e à direita das laterais do edifício, fariam descer prumos até o solo, quando as linhas desses, seriam fixadas para que o serviço da pintura dessa parte da fachada fosse iniciado.
Quando ele falou que: do cimo do prédio seriam descidos prumos até ao nível do solo e as linhas verticais e paralelas serviram como delimitadoras da parte da fachada a ser pintada, eu fui pego por um pensamento que me assaltou na hora, que me avisava do não paralelismo dessas retas verticais laterais tomadas dessa forma! Deixei que a aula seguisse o seu curso normal e o professor nos mostrou que a área daquele retângulo o qual seria a mesma, caso se calculasse isso, tanto pelo modo clássico (base X altura) ou pelo cálculo integral, este com a vantagem de se determinar áreas onde as linhas horizontais superiores e/ou inferiores do gráfico, não sejam funções lineares!
Quando ele chegou ao resultado da capacidade da quantidade de tinta que seria usada na pintura, eu então levantei a questão que aquele resultado não seria exato! Claro, que ele retrucou, dizendo que o uso do cálculo com integrais era para garantir a exatidão das medidas nos resultados e ele não sabia por que eu contradizia a verdade lógica disso. Falei então, que via que o erro era devido pela afirmação do paralelismo das linhas verticais obtidas através do uso de prumos. Desse modo, a área que tínhamos para calcular não era a de um retângulo e sim a de um trapézio isósceles! Ele demorou um pouco para entender a minha observação, e para ajudá-lo eu falei que se: as paredes são erguidas verticalmente com auxílios de prumos que se dirigem para o centro da Terra! E quanto maior a altura de um edifício e afastamento de suas paredes laterais, a área trapezoidal de sua fachada sempre será maior do que aquela que supomos ser perfeitamente retangular! Os prédios não são prismas retangulares retos e sim, troncos de pirâmides ou tronco de cones em se tratando de edifícios cilíndricos!
Depois disso, o professor entendeu e me deu razão sobre essa minha descoberta, Chamou a atenção dos meus colegas sobre essa curiosidade a qual, confessava ele, nunca ouvira ninguém falar nela, mas, por outro lado, dizia que esse erro para pequenas dimensões, isso era desprezível!
E o assunto foi por mim esquecido, até que em uma conversa que tive com o meu amigo e parceiro de blog, o professor Kleber Kilhian do blog: O Baricentro da Mente e por ocasião da postagem de numero 200, para comemoramos o feito, realizamos um artigo conjunto em parceria e o postamos em ambos os blogs, tendo o título: Desafio: Tecnologia Extraterrestre!
Pedimos que quem tivesse alguma solução para o mesmo, poderia nos contatar através dos nossos endereços de e-mail e/ou nas caixas de comentários dos nossos blogs e prometemos, caso ninguém atinasse com a solução, que postaríamos isso da nossa parte em uma data qualquer no futuro!
Estamos fazendo isso agora, novamente como o da 1ª vez, em um trabalho cooperativo, publicamos simultaneamente em ambos os nossos blogs, a resposta ou solução àquele desafio!
Por fim, digo que: com certeza você agora veja as paisagens dos prédios no mundo, como eu percebia, isto é: uma visão com outros olhos!!!!!
Algumas considerações sobre o problema
Como a base do silo é construída sobre a superfície terrestre, mesmo sendo uma superfície “plana” e “nivelada”, ocorre que para uma área extensa, temos que considerar a curvatura da Terra, analogamente, quando se quer fazer disparos de projéteis a longas distâncias, tem que considerar o movimento da Terra.
Se para cada par de pontos relativamente próximos, temos uma linha reta, quando tomarmos dois pontos extremos, teremos um arco, assemelhando-se com a curvatura da Terra.
[Figura 1]
Desta forma, podemos esboçar um esquema representativo da situação:
[Figura 2]
Vemos que o silo tem a forma de um tronco de cone, cuja base menor coincide com a curvatura da Terra. Então, não seria bem um tronco de cone, mas um tronco de cone no qual foi subtraída uma calota esférica!
Uma forma simplista para o cálculo do volume deste silo seria:
Mas vejam que estamos considerando a plataforma da astronave, que é a base superior do cone, como ideal, ou seja, que fosse totalmente “plana”. No entanto, estamos no mundo das suposições e não sabemos em quais condições esta plataforma foi construída. Devido à sua extensão, com diâmetro igual a 10,1km, se sua construção for feita sobre a superfície do exoplaneta, cujo raio é aproximadamente igual ao da Terra, então o silo possivelmente se assemelhará a um tronco de cone, pois o volume das calotas esféricas se “anulariam”.
Este é um problema curioso e por ser fictício e fora de nossa realidade, deixa muitos pontos em aberto. Podemos nos perder em nossas elucubrações, gerando infinitas possibilidades e detalhes, o que nos levaria a cálculos imprecisos.
Assim, não precisamos resolver numericamente o problema para perceber que o erro está na sutilidade em considerar o silo como um cilindro e não como um tronco de cone.
Veja mais:
Desafio: Tecnologia Extraterrestre
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Este problema fictício é de autoria de nosso parceiro Valdir do blog Matemágicas e Números. Ajudei-lhe em alguns pontos e resolvemos publicar nos dois blogs. Esperamos que gostem do desafio. Corre o ano de 2090, e agora a Terra dispõe de três artefatos...