Matemática

Ainda outro erro sutil (sobre funções)

Na linha das postagens anteriores, vejamos mais um erro comum, que às vezes passa despercebido.

Suponho que o leitor saiba o básico sobre alguns conceitos relacionados às funções de variável real.

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Definição: Diz-se que uma função f : ??? é estritamente crescente quando x? < x? ? f(x?) < f(x?), para quaisquer que sejam os reais x? e x?.

Seja f : ??? tal que f(x) = 2x. Pergunta: f(x) é estritamente crescente ou não?

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Se você prontamente respondeu que sim e não notou nada de estranho na questão acima é conveniente relembrar algo sobre as funções.

Uma função pode ser vista como uma associação (ou correspondência) feita entre os elementos de dois conjuntos (eventualmente, mas não necessariamente, iguais).

No caso em que os conjuntos são numéricos (o que ocorre com frequência em matemática) muitas vezes esta correspondência é dada por uma regra. Mas devemos ficar atentos, pois uma regra se trata de uma função somente se a cada elemento de um determinado conjunto fizer corresponder um único elemento do outro conjunto - mas este não é caso em questão.

Por exemplo, podemos definir uma função criando a seguinte regra da associação: a cada elemento do conjunto dos números naturais associamos o seu dobro. Assim:

ao 0 associamos o 0
ao 1 associamos o 2
ao 2 associamos o 4
ao 4 associamos o 8
ao 5 associamos o 10

E de uma maneira genérica:

ao elemento x associamos o elemento 2x

Então, de um modo geral, diz-se que temos uma função quando dados dois conjuntos A e B temos uma regra que permite a cada elemento de A associar um único elemento de B. O conjunto A é chamado o domínio da função e o conjunto B é chamado o contradomínio da função. O símbolo (geralmente o x) que representa um elemento qualquer do domínio é chamado de variável independente e o símbolo (geralmente o y) que representa um elemento qualquer do contradomínio é chamado de variável dependente.

O nosso exemplo estabelece, portanto, uma correspondência entre o conjunto ? dos números naturais e o conjunto ? dos números pares. Para significar isso diz-se, geralmente, que esta correspondência é "uma função de ? em ?" ou que a "função leva ? em ?" ou ainda que a "função mapeia ? em ?" e escreve-se

f : ???

A expressão acima também é, por vezes, lida apenas como "efe de ? em ?". Observe que no nosso exemplo o domínio é ? e o contradomínio é ?.

Geralmente, utiliza-se letras maiúsculas para representarem o domínio e o contradomínio e as letras minúsculas f, g e h para denotar uma função:

f : A?B g : X?Y h : C?D

Afim de deixar clara qual é a regra de associação, utiliza-se a notação x?f(x) para significar que ao elemento x de A fazemos corresponder o elemento f(x) de B. Alternativamente pode-se dizer que esta notação indica que a função "transforma x em f(x)", ou seja, você toma um elemento x que está no domínio, aplica a regra e obtém um novo valor f(x) que está no contradomínio. Para este fim, também pode-se escrever y = f(x) que indica o valor do elemento y do contradomínio que corresponde ao valor x do domínio.

Então, no nosso exemplo, para explicitar qual é a regra de associação, pode-se dizer que a função transforma um número no seu dobro ou que o valor correspondente ao elemento x é 2x e escrever uma das duas expressões abaixo:

x?2x y = 2x

Uma outra notação muito utilizada é a seguinte:

f(x) = 2x

Com relação a esta última notação, quando escrevemos f(x) e lemos "o valor de f em x", ou simplesmente, "f de xis" estamos nos referindo ao valor que a função assume quando aplicamos a regra de associação ao elemento x. Deste modo, no exemplo dado, temos:

f(2) = 4, ou seja, quando aplicamos a regra ao elemento 2 obtemos 4. Deste modo, dizemos que 4 é o valor que a função assume em 2 (ou no ponto 2). Dizemos também que 4 é a imagem de 2 por f.

Analogamente, dizemos que 10 é o valor que a função assume no ponto 5 ou que f(5) = 10 ou que 10 é a imagem de 5 por f; e assim por diante.

Assim, para uma função qualquer, diz-se que f(x) é a imagem do elemento x por f. O conjunto que tem como elementos apenas a imagem de cada um dos elementos de A é chamado a imagem de A por f (observe que, no nosso exemplo, a imagem de A por f é igual ao conjunto formado pelos números pares positivos mais o zero).

Como já fizemos acima, mas não explicamos, ao nos referirmos à nossa função, em vez de dizer "a função de ? em ?" e escrever f : ??? podemos apenas dizer "efe" e escrever f (ficando os conjuntos ? e ? subtendidos - pois a função já foi definida previamente).

Resumindo o que nos interessa: o símbolo f designa a função enquanto que o símbolo f(x) designa a imagem de um elemento qualquer do domínio.

Aparentemente qualquer livro que trata sobre funções - desde o mais elementar até o mais sofisticado - explica algo sobre estas notações, e em particular deixam claro o significado de f(x), mas curiosa e frequentemente as pessoas insistem em chamar uma função de f(x) quando na verdade o símbolo f(x) representa apenas um ponto no contradomínio da função.

Há, portanto, quem se refira a uma determinada função como f(x) escrevendo coisas do tipo:

... f(x) é crescente...
... o gráfico de f(x)...
... seja f(x) uma função...

Acontece, porém, que esta terminologia é bastante inadequada. Com base no exposto acima, mais correto seria escrever

... f é crescente...
... o gráfico de f...
... seja f uma função...

A notação f(x) representa, como vimos, o valor que a função assume quando aplicamos a regra de associação ao elemento x. Deste modo, estritamente falando e de acordo com a notação difundida, nenhuma das afirmações acima tem sentido se colocarmos f(x) em vez de f. Portanto, uma maneira de responder à questão inicial é a seguinte: a pergunta é descabida e não tem sentido.

O que fizemos acima foi alegar que confundir f com f(x) é falta de precisão (uma característica fundamental da matemática). Mas é claro que, por outro lado, alguns podem argumentar que fazer distinção entre f(x) e f é excesso de rigor. Contudo a diferença existe e , talvez, após ver a diferença passamos a compreender melhor o conceito de função.

[veja + erros consultando o índice]

Referências: Livros de Cálculo (Guidorizzi; Leithold; Larson; Stewart); Livros de Análise (Elon L. Lima; Cassio Neri); Livros de Álgebra Linear (Lipschutz; Anton); Livros de Ensino Médio (Matemática: construção e significado; Matemática do Ensino Médio; Matemática Aula por Aula).

Erros (de qualquer natureza) encontrados no conteúdo acima podem ser relatados aqui.

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