As Leis de Newton
Matemática

As Leis de Newton


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Princípio da Dinâmica

Os filósofos antigos se deparavam com questões como: Todos os movimentos necessitam de uma causa? E se tiver correto, qual é a natureza desta causa? A confusão sobre estas questões persistiu até o século XVII, quando Galileu e Newton desenvolveram uma abordagem para estudar estes movimentos, conhecido como “Mecânico Clássica”.

As Leis de Newton são a base do nosso entendimento sobre o movimento e suas causas, até que suas limitações foram reveladas pelas descobertas no século XX, na Física Quântica e da Relatividade.

1ª Lei de Newton: Lei da Inércia

Segundo Aristóteles, tanto para colocar um corpo em movimento, como para mantê-lo em movimento é necessária a ação de uma força.

Em seu monumental tratado “Os Princípios Matemáticos da Filosofia  Natural”, conhecido como Princípia, publicado em 1687, podemos encontrar enunciado por Newton, sua primeira Lei:

“Todo corpo persiste em seu estado de repouso, ou de movimento retilíneo uniforme, a menos que seja compelido a modificar esse estado pela ação de forças impressas sobre ele.”

2ª Lei de Newton: Lei Fundamental da Dinâmica

Uma das implicações da 1ª Lei de Newton é que qualquer variação da velocidade v de um corpo em relação a um referencial inercial, ou seja, qualquer aceleração diferente de zero deve estar associada à ação de forças.

A força é dada por:

clip_image002[4]

onde:

clip_image002[6] é a força, clip_image002[8] é a aceleração e m é a massa do corpo.

A unidade de massa é definida em termos de um protótipo, padrão de platina iridiada, depositado no Ofício Internacional de Pesos e Medidas em Paris, que representa o quilograma (kg), e foi construído originalmente para corresponder à massa de 1l de água à pressão atmosférica e à temperatura de 4ºC. Por definição, 1kg é a massa desse protótipo. Poderíamos pensar em adotar também unidades atômicas para a massa, mas isto seria atualmente desvantajoso do ponto de vista de precisão nas aplicações práticas, uma vez que não podemos contar diretamente o número de átomos contido num corpo macroscópico, e o número de Avogrado (número de moléculas por mol) é conhecido com precisão muito inferior à precisão com a qual podemos medir massas em termos de quilograma padrão.

A unidade de força no S.I. é o Newton (N). Por definição, 1N é a força que, quando aplicada a um corpo de massa de 1kg, lhe imprime uma aceleração de 1m/s2. Para ter uma idéia concreta da ordem de grandeza do Newton, a aceleração da gravidade clip_image002[42], 1N é a ordem de grandeza da força-peso exercida pela gravidade sobre um corpo de massa de aproximadamente igual a 100g (uma maçã, por exemplo!).

Observação: No sistema CGS de unidade, em que as unidades básicas são: cm, g e s (centímetro, grama e segundo), a unidade de força é 1 dina, a força que comunica uma aceleração de 1cm/s2 é uma massa de 1g. Como:

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e

clip_image002[14]

temos que:

clip_image002[16]

Uma aplicação da 2ª Lei de Newton é que só intervém na dinâmica deslocamentos, velocidades e acelerações das partículas. Não é preciso considerar, por exemplo, derivadas temporais da aceleração, tais como:

clip_image002

Outra implicação importante está relacionada com o caráter vetorial da fórmula:

clip_image002[20]

Como clip_image002[8] é um vetor e m é um escalar, segue-se que a força clip_image002[22] é um vetor. Assim F1, F2, F3, ..., FN, são forças de diferentes origens que atuam sobre a mesma partícula, a força F é a resultante que atua sobre a partícula, ou seja:

clip_image002[24]

onde a soma vetorial (para N = 2), obedece à regra do paralelogramo. Este é um resultado experimental, conhecido como princípio de superposição de forças:

Regra Paralelogramo

Considerando a partícula 1 da figura acima interagindo com outras duas, 2 e 3, e seja F1(2) a força sobre 1 devida à partícula 2, e F1(3) a força sobre 1 devida à partícula 3. A força resultante sobre a partícula 1 será:

clip_image002[4]

Newton não formulou originalmente a força como produto da massa pela aceleração. Newton começou definindo o que chamou de “quantidade de movimento”, também conhecido como momento linear, ou simplesmente momento. A definição de Newton foi:

“A quantidade de movimento é a medida do mesmo, que se origina conjuntamente da velocidade e da massa.”

Ou seja: o momento linear de uma partícula é o produto de sua massa por sua velocidade:

clip_image002[26]

Decorre imediatamente que p é um vetor.

Se m não varia com o tempo, ou seja, se excluirmos sistemas de massa variável, obtemos, derivando em relação ao tempo ambos os membros da equação do momento linear:

clip_image002[28]

clip_image002[6]

clip_image004

Comparando com a equação da força, obtemos:

clip_image002[8]

que corresponde à formulação de Newton da 2ª Lei:

“A variação do momento é proporcional à força impressa e tem a direção da força.”

Ou seja, a força é a taxa de variação do momento linear em relação ao tempo. Embora esta formulação da 2ª Lei pareça inteiramente equivalente a F = m . a, tem algumas vantagens sobre esta. Uma delas é que revela a importância do conceito de momento. Outra é que mesmo na mecânica relativista permanece válida.

3ª Lei de Newton: Conservação do Momento

Todas as forças são parte de interações mútuas entre dois ou mais corpos.

Considere o caso Terra-Lua: A Terra exerce uma força gravitacional sobre a Lua e esta exerce uma força gravitacional sobre a Terra.

As forças que agem sobre um corpo A são devidas a outros corpos da vizinhança. Suponha que um corpo B aja sobre A. A força de ação será:

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Por sua vez, a força que o corpo A exerce sobre B será:

clip_image002[38]

Enunciado da 3ª Lei de Newton:

Quando um corpo exerce uma força sobre o outro, o segundo exerce uma força sobre o primeiro. Essas duas forças são sempre iguais em intensidades e opostas em sentido.

clip_image002[40]

Forma Compacta da 3ª Lei de Newton:

A cada ação existe uma reação igual em intensidade e oposta em sentido.

Veja Mais:

O Movimento de Precessão da Terra
Cálculo Centro de Massa Terra Lua
Gravitação Universal e Campo Gravitacional
Galileu e a Queda dos Corpos
As Velocidades da Terra




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