Matemática
- Análise Combinatória
Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século...
- Análise Combinatório
Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalvesemail [email protected] HTTP://ensinodematemtica.blogspot.comhttp://accbarrosogestar.blogspot.com.br WWW.profantoniocarneiro.com Extraido do...
- Anagrama
O anagrama é um jogo de palavras que utiliza a transposição ou rearranjo de letras de uma palavra ou frase, com o intuito de formar outras palavras com ou sem sentido. É calculado através da propriedade fundamental da contagem, utilizando o fatorial...
- Análise Combinatória
Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século...
- Permutação Com Elementos Repetidos
Permutação de elementos repetidos deve seguir uma forma diferente da permutação, pois elementos repetidos permutam entre si. Para compreender como isso acontece veja o exemplo abaixo: A permutação da palavra MATEMÁTICA ficaria da seguinte forma:...
Matemática
Combinatória
Combinatória é a parte da matemática que se preocupa em agrupar e contar coleções de objetos, seguindo certos critérios de contagem.
Tais contagens podem ser feitas de duas maneiras: princípio aditivo e princípio multiplicativo.
Tais contagens podem ser feitas de duas maneiras: princípio aditivo e princípio multiplicativo.
Princípio aditivo
O princípio aditivo ou princípio da Inclusão-Exclusão é uma forma de contagem do número de elementos que pertencem à união de dois ou mais conjuntos não necessariamente disjuntos.
Para dois conjuntos A e B, o número de elementos dessa união é dado por:
n(A
B) = n(A) + n(B) – n(A 
B)
Para três conjuntos A, B e C tem-se que o número da união é dado por:
n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) – n(A C) – n(B C) + n(A B C).
Para dois conjuntos A e B, o número de elementos dessa união é dado por:
n(A
B) = n(A) + n(B) – n(A B)Para três conjuntos A, B e C tem-se que o número da união é dado por:
n(A
B C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) – n(A C) – n(B C) + n(A B C).Princípio multiplicativo
O princípio multiplicativo ou princípio fundamental da contagem diz que se há x modos de se tomar uma decisão A e, tomada essa decisão há y modos de se tomar uma decisão B, então o número de modos de se pode tomar sucessivamente as decisões A e B é x . y.
Considerando x, y, z modos para, respectivamente, três decisões, tem-se x . y . z.
De uma forma geral, tendo-se x1 maneiras de se tomar a decisão 1, x2 maneiras de se tomar a decisão 2, . . . , xn maneiras de se tomar a decisão n, então se terá ao todo:
x1 . x2 . . . xn possibilidades.
Considerando x, y, z modos para, respectivamente, três decisões, tem-se x . y . z.
De uma forma geral, tendo-se x1 maneiras de se tomar a decisão 1, x2 maneiras de se tomar a decisão 2, . . . , xn maneiras de se tomar a decisão n, então se terá ao todo:
x1 . x2 . . . xn possibilidades.
Exemplo:
— Uma pessoa tem em seu guarda-roupa 3 calças, 6 blusas e 2 pares de sapatos, todos diferentes. De quantas maneiras distintas ela poderia se vestir usando uma peça de cada?
— Uma pessoa tem em seu guarda-roupa 3 calças, 6 blusas e 2 pares de sapatos, todos diferentes. De quantas maneiras distintas ela poderia se vestir usando uma peça de cada?
Como ela deve usar uma calça, uma blusa e um par de sapato, então o número total é dado por: 3 . 6 . 2 = 36.
Fatorial (!)
O fatorial de um número natural n, representado por n! (lê-se: “n fatorial ou fatorial de n”), é igual ao produto sucessivo desse número pelos seus antecessores até a unidade.
O fatorial de n é dado por:
n! = n.(n – 1).(n – 2).(n – 3). . .3.2.1
Assim, 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120.
O fatorial de n é dado por:
n! = n.(n – 1).(n – 2).(n – 3). . .3.2.1
Assim, 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120.
Por convenção, 0! = 1 e 1! = 1.
É fácil notar que 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 6 . 5! = 6 . 5. 4 . 3 . 2 . 1 = 6 . 5 . 4! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 6 . 5 . 4 . 3!
Então, se quando se está multiplicando pelos antecessores do número, parar antes do número 1, completa-se com o símbolo do fatorial.
Daí, o fatorial de n, pode ser escrito, por exemplo, como n! = n.(n – 1).(n – 2).(n – 3)! ou n! = n.(n – 1)!
Isto é muito útil para simplificar algumas expressões.
Então, se quando se está multiplicando pelos antecessores do número, parar antes do número 1, completa-se com o símbolo do fatorial.
Daí, o fatorial de n, pode ser escrito, por exemplo, como n! = n.(n – 1).(n – 2).(n – 3)! ou n! = n.(n – 1)!
Isto é muito útil para simplificar algumas expressões.
Exemplos:
= 
= 6 . 5 = 30.
= 
= 
= 7 . 6 + 6 = 42 + 6 = 48.
= = 6 . 5 = 30. = = = 7 . 6 + 6 = 42 + 6 = 48.Análise Combinatória
Permutações Simples
Dado um conjunto com n elementos no qual se deseja ordená-los, o número total de agrupamentos que pode ser feito é igual a:
n(n − 1)(n − 2) . . . 1, pois para a primeira posição pode-se ter n maneiras, para a segunda posição pode-se ter n − 1 maneiras; a terceira posição pode-se ter n − 2 maneiras, e assim sucessivamente até a última posição que só terá uma maneira de se escolher.
Portanto, o número de ordens em que se pode colocar n objetos distintos é n(n − 1)(n − 2) . . . 1 = n!
n(n − 1)(n − 2) . . . 1, pois para a primeira posição pode-se ter n maneiras, para a segunda posição pode-se ter n − 1 maneiras; a terceira posição pode-se ter n − 2 maneiras, e assim sucessivamente até a última posição que só terá uma maneira de se escolher.
Portanto, o número de ordens em que se pode colocar n objetos distintos é n(n − 1)(n − 2) . . . 1 = n!
Chama-se permutação simples de n elementos distintos aos agrupamentos dos n elementos de modo que cada agrupamento difere do outro apenas pela ordem de seus elementos.
O número de permutação simples é dado por: Pn = n!
O número de permutação simples é dado por: Pn = n!
Exemplo:
— Com os dígitos 1, 2, 3 e 5, quantos números de quatro algarismos distintos podem ser formados?
— Com os dígitos 1, 2, 3 e 5, quantos números de quatro algarismos distintos podem ser formados?
Algarismos distintos quer dizer diferentes; qualquer exemplo que se faça tem exatamente 4 elementos e, por exemplo, 3215 e 3251 diferem apenas pela ordem dos elementos.
Logo, trata-se de uma permutação simples de 4 elementos (os números 1, 2, 3 ou 5) e, portanto:
P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24.
Logo, trata-se de uma permutação simples de 4 elementos (os números 1, 2, 3 ou 5) e, portanto:
P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24.
Arranjos Simples
Seja um conjunto com n elementos dos quais, se deseja formar agrupamentos de p elementos distintos, com p 
n, onde cada agrupamento difere do outro pela natureza ou pela ordem de seus elementos.
Neste caso se tem um arranjo simples de n elementos tomados p a p.
O número de arranjos simples é dado por:
= An, p = 
n, onde cada agrupamento difere do outro pela natureza ou pela ordem de seus elementos.Neste caso se tem um arranjo simples de n elementos tomados p a p.
O número de arranjos simples é dado por:
= An, p = Exemplo:
— Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de quatro algarismos distintos podem ser formados?
— Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de quatro algarismos distintos podem ser formados?
Qualquer exemplo usará apenas quatro dos seis elementos. Tanto 2345 é diferente de 2354 (pela ordem) como 2345 é diferente de 2346 (pela natureza dos elementos, pois, neste caso, não foram usados os mesmos elementos) e, portanto, trata-se de um arranjo simples (pois cada exemplo usa algarismos distintos) de 6 elementos tomados 4 a 4.
A6, 4 =
= 
= 6 . 5 . 4 . 3 = 360.
A6, 4 =
= = 6 . 5 . 4 . 3 = 360. Combinação Simples
Seja um conjunto com n elementos dos quais, se deseja formar agrupamentos de p elementos distintos, com p n, onde cada agrupamento difere do outro apenas pela natureza de seus elementos.
Neste caso se tem uma combinação simples de n elementos tomados p a p.
O número dessas combinações simples é dado por:
= 
= Cn, p = 
n, onde cada agrupamento difere do outro apenas pela natureza de seus elementos.Neste caso se tem uma combinação simples de n elementos tomados p a p.
O número dessas combinações simples é dado por:
= = Cn, p = Observações:
= 
ex.: 
= 
= 
Cn,0 = Cn,n = 1 e Cn,1 = n, qualquer que seja o natural n
1.
= ex.: = = Cn,0 = Cn,n = 1 e Cn,1 = n, qualquer que seja o natural n
1.Exemplo:
— Quantos subconjuntos com 2 elementos possui um conjunto com 5 elementos?
— Quantos subconjuntos com 2 elementos possui um conjunto com 5 elementos?
Considerando os elementos a, b, c, d, f, um conjunto com dois seria, por exemplo, {a, b} e ele logicamente é diferente de, por exemplo, de {a, c}, pela natureza de seus elementos, mas os conjuntos {a, b} e {b, a} não são diferentes, mas sim o mesmo conjunto.
Então, trata-se de uma combinação simples de 5 elementos tomados 2 a 2.
C5, 2 =
= 
= 
= 20 / 2 = 10.
Então, trata-se de uma combinação simples de 5 elementos tomados 2 a 2.
C5, 2 =
= = = 20 / 2 = 10.Permutação Circular ou Cíclica
Dado um conjunto com n elementos onde se deseja ordená-los de maneira que o primeiro e o último se encontrem, isto é, tenham a forma.
Neste caso se tem uma permutação circular que é diferente das permutações simples, pelo fato de que rodando os elementos não se tem outro agrupamento, pois, por exemplo, com os elementos A, B, C e D, em círculo, tem-se que ABCD, BCDA, CDAB e DABC são todos iguais e, portanto, correspondem a um único agrupamento.
O número de permutações cíclicas é dado por: PCn = (n – 1)!
Neste caso se tem uma permutação circular que é diferente das permutações simples, pelo fato de que rodando os elementos não se tem outro agrupamento, pois, por exemplo, com os elementos A, B, C e D, em círculo, tem-se que ABCD, BCDA, CDAB e DABC são todos iguais e, portanto, correspondem a um único agrupamento.
O número de permutações cíclicas é dado por: PCn = (n – 1)!
Exemplo:
— Quantas rodas de ciranda podem ser formadas com 5 crianças?
— Quantas rodas de ciranda podem ser formadas com 5 crianças?
Como a primeira e a última estarão se encontrando em circulo tem-se uma permutação circular dos 5 elementos, isto é, PC5 = (5 – 1)! = 4! = 24.
Permutação com Repetição
Supondo que se tem n elementos para permutar, sendo que q1 desses elementos são de um mesmo tipo, q2 de outro tipo, q3 de outro tipo, e assim por diante, onde q1 + q2 + . . . + qp n.
Neste caso se tem um permutação com repetição de n elementos onde se tem q1 iguais a tipo, q2 de outro tipo, . . .
O número de permutações com repetição é dado por:
= 
n.Neste caso se tem um permutação com repetição de n elementos onde se tem q1 iguais a tipo, q2 de outro tipo, . . .
O número de permutações com repetição é dado por:
= Exemplo:
— Quantos são os anagramas da palavra ARARAS?
— Quantos são os anagramas da palavra ARARAS?
Anagrama é a junção de letras tendo significado ou não (se fizer sentido é uma palavra), neste caso há seis elementos que serão permutados, porém 3 são de um mesmo tipo (letra A) e 2 de outro tipo (letra R), portanto tem-se uma permutação com repetição de 6 elementos com 3 e 2 tipos de repetições, logo há: 
= 
= 
= 6 . 5 . 4 / 2 = 120 / 2 = 60.
= = = 6 . 5 . 4 / 2 = 120 / 2 = 60.Arranjo com Repetição
Seja um conjunto com n elementos e sendo p um número inteiro positivo menor ou igual a n, chama-se arranjo com repetição dos n elementos tomados p a p, a qualquer sequência de p elementos, onde pode haver repetições de elementos e sendo p o número máximo de repetições.
O número desses arranjos é dado por: ARn,p = np (n elevado a p).
O número desses arranjos é dado por: ARn,p = np (n elevado a p).
Exemplo:
Com os dígitos 1, 2, 4, 5, 7, e 9; quantos números de 3 algarismos podem ser formados?
Com os dígitos 1, 2, 4, 5, 7, e 9; quantos números de 3 algarismos podem ser formados?
Como não foi dito que os três algarismo devem ser distintos, então, por exemplo, 242 pode ser um desses números, e um número difere do outro tanto pela natureza com pela ordem de seus elementos, então se trata de um arranjo com repetição de 6 elementos 3 a 3.
AR6,3 = 63 = 6 . 6 . 6 = 216.
AR6,3 = 63 = 6 . 6 . 6 = 216.
Combinação com Repetição
Seja um conjunto com n elementos dos quais, se deseja formar agrupamentos de p elementos não necessariamente distintos, onde cada agrupamento difere do outro apenas pela natureza de seus elemento, então se tem uma combinação com repetição de n elementos tomados p a p.
O número dessas combinações é dado por:
= CRn,p = 
= Cn + p – 1,p
O número dessas combinações é dado por:
= CRn,p = = Cn + p – 1,pExemplo:
— Quantas são as soluções inteiras e não-negativas da equação x + y + z = 4?
— Quantas são as soluções inteiras e não-negativas da equação x + y + z = 4?
De uma forma geral, pode-se considerar a equação como x1 + x2 + . . . + xn = p.
Assim, n é o número de incógnitas e p o resultado da soma, então tem-se:
CR3,4 = C3 + 4 – 1,4 = C6,4 = C6,2 =
= 
= 6 . 5 / 2 = 30 / 2 = 15.
Assim, n é o número de incógnitas e p o resultado da soma, então tem-se:
CR3,4 = C3 + 4 – 1,4 = C6,4 = C6,2 =
= = 6 . 5 / 2 = 30 / 2 = 15.Se a questão fosse: quantas são as soluções inteiras positivas da equação x + y + z = 4?
Se tomaria x = a + 1, y = b + 1, z = c + 1, pois não poderia ter zero já que teria que ser positiva, daí a equação ficava:
a + 1 + b + 1 + c + 1 = 4 ou a + b + c = 4 – 3 ou a + b + c = 1, assim se teria n = 3 e p = 1, daí:
CR3,1 = C3+1–1,1 = C3,1 = 3, que seriam {(1, 1, 2)}; (1, 2, 1); (2, 1, 1)}.
Se tomaria x = a + 1, y = b + 1, z = c + 1, pois não poderia ter zero já que teria que ser positiva, daí a equação ficava:
a + 1 + b + 1 + c + 1 = 4 ou a + b + c = 4 – 3 ou a + b + c = 1, assim se teria n = 3 e p = 1, daí:
CR3,1 = C3+1–1,1 = C3,1 = 3, que seriam {(1, 1, 2)}; (1, 2, 1); (2, 1, 1)}.
Observação:
A principal diferença entre arranjo e combinação é que no arranjo, os agrupamentos, por exemplo, ABC e ACB são diferentes, ou seja, a ordem importa e na combinação a ordem nãoimporta.
Assim, se em um grupo de 5 pessoas, 2 forem escolhidas para ir a igreja, falar dos escolhidos tanto faz dizer Ana e Bia como Bia e Ana.
Logo, trata-se de uma combinação.
Porém, se 2 forem escolhidos para presidente e vice, Ana e Bia (Ana é a presidente), já Bia e Ana (Bia é que é a presidente).
Logo, trata-se de um arranjo.
A principal diferença entre arranjo e combinação é que no arranjo, os agrupamentos, por exemplo, ABC e ACB são diferentes, ou seja, a ordem importa e na combinação a ordem nãoimporta.
Assim, se em um grupo de 5 pessoas, 2 forem escolhidas para ir a igreja, falar dos escolhidos tanto faz dizer Ana e Bia como Bia e Ana.
Logo, trata-se de uma combinação.
Porém, se 2 forem escolhidos para presidente e vice, Ana e Bia (Ana é a presidente), já Bia e Ana (Bia é que é a presidente).
Logo, trata-se de um arranjo.
Exercícios Resolvidos
R01 — Quantos são os divisores de 210 . 39? Quantos divisores são pares?
Cada potência de 2 multiplicada por cada potência de 3 representa um divisor, assim 20 . 30= 1 . 1 = 1 é um divisor, 21 . 30 = 2 . 1 = 2, outro, 20 . 31 = 1 . 3 = 3 e, assim por diante, então os divisores dependem das potências, isto é, no caso do 2 os expoentes podem ser E(2) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} e os de 3, E(3) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Então, há 11 possibilidades para a base 2 e 10 possibilidades para a base 3, então 11 . 10 = 110 divisores.
Para que o divisor seja para é necessário que o 2 não desapareça, isto é, que o expoente do 2 não seja zero, assim haverá 10 possibilidades para cada e, 10 . 10 = 100 divisores.
Então, há 11 possibilidades para a base 2 e 10 possibilidades para a base 3, então 11 . 10 = 110 divisores.
Para que o divisor seja para é necessário que o 2 não desapareça, isto é, que o expoente do 2 não seja zero, assim haverá 10 possibilidades para cada e, 10 . 10 = 100 divisores.
R02 — De quantas formas podemos pintar o quadro abaixo com as cores amarelo, preto e vermelho, sem que dois quadrados consecutivos tenham a mesma cor e que nem o primeiro nem o último sejam pintados de amarelo?
Começa-se pelas condições impostas que é para o primeiro e o sexto há apenas duas opções (vermelho ou preto), a segunda posição pode-se pintar com qualquer uma das três cores exceto a que foi pintada a primeira, para terceira e quarta a mesma coisa, porém na quinta posição não se poder pintar com a mesma cor da quarta nem da sexta, então só há uma opção.
Assim tem-se: 2 . 2 . 2 . 2 . 1 . 2 = 32 modos diferentes.
Assim tem-se: 2 . 2 . 2 . 2 . 1 . 2 = 32 modos diferentes.
R03 — Quantos são os anagramas da palavra “PRATO” que começam por consoante?
Cada anagrama corresponde a uma ordem das 5 letras. Para formar um anagrama começando por consoante se deve começar por P, R ou T.
Se começar por P significa que ele não irá trocar de lugar com as demais, P __ __ __ __ e apenas quatro elementos irão permutar.
O mesmo ocorre, com o fato de se começar por R __ __ __ __ ou T __ __ __ __, totalizando “três casos” iguais, logo se tem:
P4 + P4 + P4 = 3 . P4 = 3 . 4! = 3 . 24 = 72.
Se começar por P significa que ele não irá trocar de lugar com as demais, P __ __ __ __ e apenas quatro elementos irão permutar.
O mesmo ocorre, com o fato de se começar por R __ __ __ __ ou T __ __ __ __, totalizando “três casos” iguais, logo se tem:
P4 + P4 + P4 = 3 . P4 = 3 . 4! = 3 . 24 = 72.
R04 — De quantas formas pode-se ordenar 8 pessoas de modo que duas determinadas pessoas não fiquem juntas?
O número total que se pode ordenar é dado pela permutação de todos os oito elementos P8, mas isto inclui os casos em que duas determinadas estejam juntas.
Supondo que Ana e Bia, por exemplo, sempre ficassem juntas, elas formariam apenas um elemento ficando as duas mais seis, totalizando então sete: P7, mas as duas também poderiam permutar entre si, neste caso, permutação das duas: P2.
O número que as duas ficariam juntas é P7 . P2.
Então, para que duas não fiquem juntas tem-se o número total menos os casos em que estão juntas. Logo, se tem:
P8 – P2 . P7 = 8! – 2! . 7! = 8 . 7! – 2 . 7! = 7!(8 – 2) = 6 . 7! = 6 . 7 . 6! = 42 . 720 = 30 240.
Supondo que Ana e Bia, por exemplo, sempre ficassem juntas, elas formariam apenas um elemento ficando as duas mais seis, totalizando então sete: P7, mas as duas também poderiam permutar entre si, neste caso, permutação das duas: P2.
O número que as duas ficariam juntas é P7 . P2.
Então, para que duas não fiquem juntas tem-se o número total menos os casos em que estão juntas. Logo, se tem:
P8 – P2 . P7 = 8! – 2! . 7! = 8 . 7! – 2 . 7! = 7!(8 – 2) = 6 . 7! = 6 . 7 . 6! = 42 . 720 = 30 240.
R05 — De quantas formas podemos acomodar 3 pessoas em 5 cadeiras?
Neste caso, tem-se cinco cadeiras: A, B, C, D, E das quais se usará apenas 3 (onde sentarão as três pessoas).
Claro que a escolha ABC é diferente de ABD, pois são cadeiras diferentes.
ABC e ACB embora sejam as mesmas cadeiras são agrupamentos diferentes, pois as pessoas são distintas e sentando em posições diferentes formam outro agrupamento.
Logo, tem-se um arranjo simples de 5 elementos tomados 3 a 3.
A5,3 =
= 
= 5 . 4 . 3 = 60.
Claro que a escolha ABC é diferente de ABD, pois são cadeiras diferentes.
ABC e ACB embora sejam as mesmas cadeiras são agrupamentos diferentes, pois as pessoas são distintas e sentando em posições diferentes formam outro agrupamento.
Logo, tem-se um arranjo simples de 5 elementos tomados 3 a 3.
A5,3 =
= = 5 . 4 . 3 = 60.R06 — Numa reta há 6 pontos e em outra reta paralela a esta, 5 pontos. Quantos triângulos podem ser formados com esses pontos? E quantos quadriláteros?
Como as retas são paralelas, pegando dois pontos de uma reta e um ponto da outra reta forma-se um triângulo, e como, por exemplo, os vértices A e B da primeira reta forma com o vértice C da segunda reta um triângulo e o vértice C da segunda reta forma com os vértices A e B da primeira reta o mesmo triângulo. Logo, trata-se de uma combinação simples onde se escolhe 2 pontos na primeira reta e 1 na segunda reta (como é 'e' então multiplica-se) ou(como é 'ou' soma-se) 1 ponto na primeira reta e 2 pontos na segunda reta.
Daí, C6,2 . C5,1 + C6,1 . C5,2 = . 5 + 6 . = 15 . 5 + 6 . 10 = 75 + 60 = 135.
Para formar quadriláteros, é preciso escolher 2 pontos em cada reta e portanto, C6,2 . C5,2 = . = 15 . 10 = 150.
Daí, C6,2 . C5,1 + C6,1 . C5,2 =
. 5 + 6 . = 15 . 5 + 6 . 10 = 75 + 60 = 135.Para formar quadriláteros, é preciso escolher 2 pontos em cada reta e portanto, C6,2 . C5,2 =
. = 15 . 10 = 150.R07 — Quantos são os anagramas da palavra ANAGRAMA, que mantêm juntas as letras ANGM nesta ordem? E que tenham as letras NGRM juntas?
Como as letras ANMG devem ficar juntas elas formam apenas um elemento que com as letras AAAN restantes, formam 5 elementos que serão permutadas, mas há repetição da letra A (3 vezes, já que a letra A que está formando um elemento em ANMG não está sozinha).
Logo, trata-se de uma permutação com repetição de 5 elementos com 3 repetidos.
PR5,3 =
= 
= 5 . 4 = 20.
Considerando que as letras NMGR, podem ser permutadas entre si, tem-se P4 maneiras e, como elas formam um elemento que junto das demais AAAA, formam 5 elementos com repetição das quatro letras A, tem-se PR5,4 maneiras.
Como acontece uma coisa e outra, tem-se, portanto o produto dos dois, isto é:
P4 . PR5,4 = 4! .
= 5! = 120.
Logo, trata-se de uma permutação com repetição de 5 elementos com 3 repetidos.
PR5,3 =
= = 5 . 4 = 20.Considerando que as letras NMGR, podem ser permutadas entre si, tem-se P4 maneiras e, como elas formam um elemento que junto das demais AAAA, formam 5 elementos com repetição das quatro letras A, tem-se PR5,4 maneiras.
Como acontece uma coisa e outra, tem-se, portanto o produto dos dois, isto é:
P4 . PR5,4 = 4! .
= 5! = 120.R08 — Seja A um conjunto com 4 elementos e outro B, com 3 elementos. Quantas são as funções de A em B? E quantas são sobrejetoras?
Para ser função, nenhum elemento do primeiro conjunto pode sobrar, contudo eles podem ter o mesmo correspondente e portanto, no máximo quatro repetições e daí, AR3,4 = 34 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81.
Supondo A = {1, 2, 3, 4} e B = {6, 7, 8} tais conjuntos e como para ser sobrejetora, não pode sobrar elementos no segundo conjunto tem-se que do total de funções deve-se retirar aquelas que não se correspondem com os 3 elementos de B, ou seja, aquelas que se correspondem apenas com 1 ou com 2 elementos.
Para que todos os elementos do conjunto A se correspondam com 2 de B, tem-se C3,2 (para a escolha dos dois dentre os 3) e um dos dois seria repetido no máximo 4 vezes, daí AR2,4, mas nesse caso conta-se duas vezes {(1, 6); (2, 6); (3, 6); (4, 6)}, {(1, 7); (2, 7); (3, 7); (4, 7)} e {(1, 8); (2, 8); (3, 8); (4, 8)}, quando se escolheu dso três elementos de o {6,7}, {7, 8} e {6, 8}. Para que todos os elementos do conjunto A se correspondam com 1 de B, tem-se C3,1(para escolher um dos três) e este seria repetido no máximo 4 vezes, daí AR1,4.
Assim, C3,2 . AR2,4 – C3,1 . AR1,4 = 3 . 24 – 3 . 14 = 3 . 16 – 3 . 1 = 48 – 3 = 45.
Então, o número de funções sobrejetoras é 81 – 45 = 36.
Supondo A = {1, 2, 3, 4} e B = {6, 7, 8} tais conjuntos e como para ser sobrejetora, não pode sobrar elementos no segundo conjunto tem-se que do total de funções deve-se retirar aquelas que não se correspondem com os 3 elementos de B, ou seja, aquelas que se correspondem apenas com 1 ou com 2 elementos.
Para que todos os elementos do conjunto A se correspondam com 2 de B, tem-se C3,2 (para a escolha dos dois dentre os 3) e um dos dois seria repetido no máximo 4 vezes, daí AR2,4, mas nesse caso conta-se duas vezes {(1, 6); (2, 6); (3, 6); (4, 6)}, {(1, 7); (2, 7); (3, 7); (4, 7)} e {(1, 8); (2, 8); (3, 8); (4, 8)}, quando se escolheu dso três elementos de o {6,7}, {7, 8} e {6, 8}. Para que todos os elementos do conjunto A se correspondam com 1 de B, tem-se C3,1(para escolher um dos três) e este seria repetido no máximo 4 vezes, daí AR1,4.
Assim, C3,2 . AR2,4 – C3,1 . AR1,4 = 3 . 24 – 3 . 14 = 3 . 16 – 3 . 1 = 48 – 3 = 45.
Então, o número de funções sobrejetoras é 81 – 45 = 36.
De uma forma geral se n(A) = m e n(B) = n o número de funções sobrejetoras de A em B é dado por:
. Cn,n – p . (n – p)m.
. Cn,n – p . (n – p)m.R09 — Num parque há 5 tipos de brinquedos que podem usar o mesmo bilhete de entrada. Com 3 bilhetes de quantas formas se pode brincar neste parque usando todos os bilhetes?
Sendo os brinquedos A, B, C, D, E, se os bilhetes forem utilizados na forma ABC ou BAC dá no mesmo, pois são os mesmos brinquedos. Então, trata-se de uma combinação, mas pode-se brincar no mesmo brinquedo até 3 vezes, logo é com repetição.
Portanto, uma combinação com repetição de 5 tomados 3 a 3.
CR5,3 = C5 + 3 – 1,3 = C7,3 = 7! / 3! . (7–3)! = 7 . 6 . 5 . 4! / 3! . 4! = 7 . 6 . 5 / 3 . 2 . 1 = 35.
Portanto, uma combinação com repetição de 5 tomados 3 a 3.
CR5,3 = C5 + 3 – 1,3 = C7,3 = 7! / 3! . (7–3)! = 7 . 6 . 5 . 4! / 3! . 4! = 7 . 6 . 5 / 3 . 2 . 1 = 35.
R10 — Para jogar dominó em uma mesa retangular é preciso 4 pessoas. Tendo de pessoas, de quantas maneiras pode-se realizar esse jogo?
Para escolher as quatro pessoas que irão jogar tem-se uma combinação de 6 tomados 4 a 4 (pois na escolha tanto faz ABCD com ACBD) e para os quatro que irão jogar tem-se uma permutação circular destes.
Como C6,4 = C6,2, tem-se:
C6,2 . PC4 = . (4 – 1)! = 6 . 5 / 2 . 3! = 15 . 6 = 90.
Como C6,4 = C6,2, tem-se:
C6,2 . PC4 =
. (4 – 1)! = 6 . 5 / 2 . 3! = 15 . 6 = 90.R11 — Sabendo-se que C8,p+2 / C8,p+1 = 2, determine o valor de p.
Como – (p + 2) = – p – 2 e – (p + 1) = – p – 1, tem-se:
/ 
= . 
= 
. 
= 
= 2, e dai tem-se:
7 – p = 2.(p + 2)
7 – p = 2p + 4 7 – 4 = 2p + p 3 = 3p e, portanto, p = 1.
/ = . = . = = 2, e dai tem-se:7 – p = 2.(p + 2)
7 – p = 2p + 4 7 – 4 = 2p + p 3 = 3p e, portanto, p = 1.R12 — Quantos coquetéis (mistura de duas ou mais bebidas) podem ser feitos a partir de 7 ingredientes distintos?
Como é para se formar os coquetéis com pelo menos dois ingredientes, tem-se com 2, 3, 4, 5, 6 ou 7 vitaminas diferentes, ou seja,
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
= 7 . 6 / 2! + 7 . 6 . 5 / 3! + 7 . 6 . 5 / 3! + 7 . 6 / 2! + 7 + 1 = 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 120.
Observações:
= = = 
= 7 = 
= 1
+ + + + + = 7 . 6 / 2! + 7 . 6 . 5 / 3! + 7 . 6 . 5 / 3! + 7 . 6 / 2! + 7 + 1 = 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 120.Observações:
= = = = 7 = = 1Exercícios Propostos
P01 — Quantos divisores de 210 . 39 formam quadrados perfeitos?
P02 — Em uma sala há 6 lâmpadas com seis interruptores distintos. De quantos modos pode ser iluminada essa sala?
P03 — De quantas maneiras pode-se dispor 4 homens e 4 mulheres em uma fila, sem que dois homens fiquem juntos?
P04 — Lançam-se três dados. Em quantos dos resultados possíveis, a soma dos pontos é 12?
P05 — Quantos inteiros entre 1000 e 10000 inclusive, não são divisíveis por 2 nem por 5?
P06 — De quantas formas pode-se ter o 1o, 2o e 3o lugares de um campeonato com 10 times?
P07 — Com as letras da palavra ADEUS, se pode formar:
a) quantos anagramas?
b) quantos anagramas que começam com a letra D?
c) quantos anagramas que começam com vogal?
d) quantos anagramas que começam com consoante e terminam em vogal?
a) quantos anagramas?
b) quantos anagramas que começam com a letra D?
c) quantos anagramas que começam com vogal?
d) quantos anagramas que começam com consoante e terminam em vogal?
P08 — De quantos modos pode-se ordenar 2 livros de matemática, 3 de português e 4 de física, de modo que os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos e, além disso, os de física fiquem sempre na mesma ordem?
P09 — Quantos são os anagramas da palavra INDEPENDENTE:
a) começados por IND?
b) começados por IND e terminados em T?
c) que contenham as letras I e P sempre juntas?
d) que contenham as letras I e P sempre juntas nesta ordem?
e) que contenham as letras I e P sempre juntas e termine em TE?
a) começados por IND?
b) começados por IND e terminados em T?
c) que contenham as letras I e P sempre juntas?
d) que contenham as letras I e P sempre juntas nesta ordem?
e) que contenham as letras I e P sempre juntas e termine em TE?
P10 — Com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números de 5 algarismos distintos e maiores que 30 000 se pode formar?
P11 — Quantos números pares de três algarismos distintos pode-se formar com os dígitos 1, 3, 5, 6, 8 e 9?
P12 — Quantos números ímpares, compreendidos entre 300 e 4 000 e com todos os algarismos distintos, pode-se formar com os dígitos 1, 3, 5, 6, 7 e 9?
P13 — Quantas matrizes quadradas de ordem 3 pode-se formar usando os dígitos 1, 2 e 3, cada um uma vez e seis zeros?
P14 — Um trem é constituído de 1 locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão-restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, encontre o número de modos diferentes para montar a composição?
P15 — Quantos números de 3 algarismos distintos pode-se formar com os 10 primeiros números naturais?
P16 — De quantas maneiras pode-se escolher 3 representantes de um grupo de 10 pessoas?
P17 — Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem se formadas contendo no mínimo 1 diretor?
P18 — Uma sociedade tem um conselho administrativo formado por 12 membros, sendo 3/4 de brasileiros e os demais estrangeiros. Quantas comissões de 5 conselheiros podem ser formadas com 3 brasileiros?
P19 — De quantas maneiras distintas um grupo de 10 pessoas pode ser divididos em 3 grupos de 5, 3 e 2 pessoas?
P20 — Com os dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de 4 algarismos distintos. Quantos são divisíveis por 5?
P21 — Com os dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de 4 algarismos. Quantos são divisíveis por 5?
P22 — Qual o número de diagonais do decágono?
P23 — Calcular o número de múltiplos de 9 com 4 algarismos distintos que podem ser formados com os dígitos 2, 3, 4, 6 e 9?
P24 — Considerando que a loteria esportiva tenha 13 jogos, quantos são os possíveis resultados?
P25 — Sabendo que as placas de carro são formadas por 3 letras e 4 números, qual o número máximo de carros que podem ser emplacados em uma cidade onde só pode começar por K ou L?
P26 — Colocando em ordem crescente todos os números de 5 algarismos distintos obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, que posição ocupa o número 61 473?
P27 — Quantos são os naturais ímpares com 5 algarismos distintos?
P28 — Quantos são os anagramas da palavra ESTUDAR que começam com vogal? Que começam e terminam em vogal? Que tenham as vogais juntas?
P29 — De quantas maneiras pode-se ordenar 5 livros de Matemática, 3 livros de Química e 2 livros de Física, todos diferentes, de forma que os livros de uma mesma disciplina fiquem juntos?
P30 — De quantas formas pode-se ordenar 6 moças e 4 rapazes de modo que as moças permaneçam juntas?
P31 — De quantas formas pode-se ordenar 8 pessoas de modo que duas determinadas pessoas não fiquem juntas?
P32 — Quantos são os anagramas da palavra MATEMÁTICA de forma que as vogais e as consoantes sempre fiquem alternadas?
P33 — Quantos são os anagramas da palavra ÁLGEBRA que não possuem 2 vogais juntas?
P34 — De quantas formas podemos pintar o quadro abaixo com as cores: verde, amarelo, azul e branco, sem que dois quadrados consecutivos tenham a mesma cor?
P35 — Quantas são as raízes inteiras não negativas da equação x + y + z = 6?
P36 — Quantas são as raízes inteiras positivas da equação x + y + z = 7?
P37 — Quantos subconjuntos com 3 elementos possui um conjunto com n elementos?
P38 — Quantos são os anagramas da palavra COMBINATÓRIA? Que alternam consoantes e vogais? Que possuem as vogais juntas?
P39 — Quantos segmentos de reta podem ser formados com extremidades em 15 pontos dados?
P40 — Quantas diagonais possui um polígono convexo com 8 lados?
P41 — De quantas maneiras podemos pedir um sorvete de três bolas se dispomos de 5 sabores diferentes?
P42 — Quantos são os anagramas da palavra ESCOLA que terminam em vogal?
P43 — Quantos são os números com 5 algarismos não repetidos formados com 1, 2, 3, 4, 5? E que sejam ímpares? E que sejam maiores que 34 125?
P44 — Quantos são os números com 10 algarismos? E se os algarismos forem distintos?
P45 — De quantas maneiras podemos arrumar 9 pessoas em 3 quartos cada quarto com 3 pessoas?
fonte:hpdemat.apphb.com
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- Permutação Com Elementos Repetidos
Permutação de elementos repetidos deve seguir uma forma diferente da permutação, pois elementos repetidos permutam entre si. Para compreender como isso acontece veja o exemplo abaixo: A permutação da palavra MATEMÁTICA ficaria da seguinte forma:...