Matemática
Conheçe as principais Operaçõe com conjuntos e saiba como aplica-las e resolver os exercícios. Nesta aula vocês vai estudar, União de conjuntos, interseção de conjuntos, diferenciamos de conjuntos, Complementar de conjuntos, Elementos do conjunto, Partição de conjuntos e Muito mais.
União de Conjuntos (c)
Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto união A c B = {x; x 0 A ou B x 0}.
Exemplo: {0,1,3} c {3,4,5} = {0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.
Propriedades imediatas:
a) A c A = A
b) A c φ = O
c) A c B = B c A (a união de conjuntos é UMA OPERAÇÃO comutativa)
d) A c U = U, onde U é o conjunto universo.
Interseção de Conjuntos (1)
Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto interseção A 1 B = {x; x 0 A ex 0 B}.
Exemplo: {0,2,4,5} 1 {4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os itens que São comuns os conjuntos A e B.
Propriedades imediatas:
a) A 1 A = A
b) A 1 i = i
c) A 1 B = B 1 A (a interseção é UMA OPERAÇÃO comutativa)
d) A 1 U = A onde U é o conjunto universo.
São importantes tambem as seguintes propriedades das Operaçõe com conjuntos:
P1. A 1 (B c C) = (A 1 B) c (A 1 C) (propriedade distributiva)
P2. A c (B 1 C) = (A c B) 1 (A c C) (propriedade distributiva)
P3. A 1 (A c B) = A (lei da absorção)
P4. A c (A 1 B) = A (lei da absorção)
Obs: Se A 1 B = φ, entao dizemos que os conjuntos A e B São disjuntos.
Diferenciais A - B = {x; x 0 A ex ao B}.
Observe que os itens Diferenciais São aqueles que Pertence ao primeiro conjunto, mas Não Pertence ao segundo.
Exemplos:
{0,5,7} - {0,7,3} = {5}.
{1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.
Propriedades imediatas:
a) A - φ = O
b) φ - A = φ
c) A - A =
d) A - B ≠ B - A (a diferenciamos de conjuntos Não é UMA OPERAÇÃO comutativa).
Complementar de UM conjunto
Quand se estuda Operaçõe com Conjuntos recisa-se entender a complementar de UM conjnto. Trata-se de UM caso da diferenciamos entre Dois conjuntos. Assim é que dados Dois conjuntos A e B, com a condição de que B d A, a diferenciamos A - B chama-se, neste
Caso particular: O complementar de B em relaçao ao conjunto universo U, ou sejas, U - B, é indicado cabelo símbolo B '.Observe que o conjunto B' é formado por todos os elementos que nao Pertence ao conjunto B, ou sejão:
B '= {x; x ao B}. É óbvio, entao, que:
a) B 1 B '= φ
b) B 1 B '= U
c) φ '= U
d) U '= φ_
Partição de UM conjunto
Sejão A UM conjunto Não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por (A), qualque subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por
P (A)), que satisfaz simultaneamente, as seguintes Condições:
1 - nenhuma dos elementos de part (A) é o conjunto vazio.
2 - a interseção de quaisquer Dois elementos de part (A) é o conjunto vazio.
3 - a união de todos os elementos de part (A) é igual ao conjunto A.
Exemplo: sejão A = {2, 3, 5}
Os subconjuntos de A será: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, eo conjunto vazio - o.
Assim, o conjunto das partes de A será:
P (A) = {{2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø}
Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P (A):
X = {{2}, {3,5}}
Observe que X é UMA partição de A - cuja simbologia e parte (A) - pois:
a) nenhum dos elementos de X é a.
b) {2} {1 3, 5} ou = Ø
c) {2} {U 3, 5} = {2, 3, 5} = A
Sendo observadas as Condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é UMA partição do conjunto A.
Observe que Y = {{2,5}, {3}}; W = {{5}, {2} {3}}; S = {{3,2}, {5}} São outros exemplos de partições do conjunto A.
Outro exemplo: o conjunto Y = {{0, 2, 4, 6, 8, ...}, {1, 3, 5, 7, ...}} é UMA partição do conjunto N dos números naturais, como {0, 2, 4, 6, 8, ...} {1, 3, 5, 7, ...} = Ø e {0, 2, 4, 6, 8, ...} U {1, 3, 5, 7, ...} = N.
Número de elementos da união de Dois conjuntos
Sejam A e B Dois conjuntos, tais que o número de elementos de A sejão n (A) e número de elementos de B sejão n (B).
Nota: o número de itens de UM conjunto, é tambem conhecido com cardinal do conjunto. Representando o número de elementos da interseção A 1 B por n (A 1 B) e número de elementos da união A c B por n (A c B), podemos escreve a seguinte fórmula: n (A c B) = n (A ) + n (B) - n (A c B)
- Conjunto
Quando falamos de operação lembramos logo de adição, subtração, divisão, multiplicação entre números. É possível também operar conjuntos. Essas operações recebem nomes diferentes, como: União de conjuntos, Intersecção de conjuntos, Diferença...
- Conjuntos
Exemplo de interseção de conjuntos.?Interseção Os elementos que fazem parte do conjunto interseção são os elementos comuns aos conjuntos relacionados. Exemplo 1: Dados dois conjuntos A = {5,6,9,8} e B = {0,1,2,3,4,5}, se pedimos a interseção...
- Conjunto
Ele representa conjuntos da seguinte maneira: a) b) Relação de inclusão – SubconjuntoDados dois conjuntos A e B, diz que A está contido em B ou que A é subconjunto de B, somente se, todo elemento do conjunto A também for elemento de B. Isso será...
- Teoria Dos Conjuntos
Teoria de Conjuntos 1 - Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição. Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }. Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se...
- Conjunto
Quando falamos de operação lembramos logo de adição, subtração, divisão, multiplicação entre números. É possível também operar conjuntos. Essas operações recebem nomes diferentes, como: União de conjuntos, Intersecção de conjuntos, Diferença...
Matemática
Conjunto
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
mail [email protected]
www.ensinodematemtica.blogspot.com .br
www.accbarrosogestar.blogspot.com.br
WWW.profantoniocarneiro.com
União de Conjuntos (c)
Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto união A c B = {x; x 0 A ou B x 0}.
Exemplo: {0,1,3} c {3,4,5} = {0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.
Propriedades imediatas:
a) A c A = A
b) A c φ = O
c) A c B = B c A (a união de conjuntos é UMA OPERAÇÃO comutativa)
d) A c U = U, onde U é o conjunto universo.
Interseção de Conjuntos (1)
Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto interseção A 1 B = {x; x 0 A ex 0 B}.
Exemplo: {0,2,4,5} 1 {4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os itens que São comuns os conjuntos A e B.
Propriedades imediatas:
a) A 1 A = A
b) A 1 i = i
c) A 1 B = B 1 A (a interseção é UMA OPERAÇÃO comutativa)
d) A 1 U = A onde U é o conjunto universo.
São importantes tambem as seguintes propriedades das Operaçõe com conjuntos:
P1. A 1 (B c C) = (A 1 B) c (A 1 C) (propriedade distributiva)
P2. A c (B 1 C) = (A c B) 1 (A c C) (propriedade distributiva)
P3. A 1 (A c B) = A (lei da absorção)
P4. A c (A 1 B) = A (lei da absorção)
Obs: Se A 1 B = φ, entao dizemos que os conjuntos A e B São disjuntos.
Diferenciais A - B = {x; x 0 A ex ao B}.
Observe que os itens Diferenciais São aqueles que Pertence ao primeiro conjunto, mas Não Pertence ao segundo.
Exemplos:
{0,5,7} - {0,7,3} = {5}.
{1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.
Propriedades imediatas:
a) A - φ = O
b) φ - A = φ
c) A - A =
d) A - B ≠ B - A (a diferenciamos de conjuntos Não é UMA OPERAÇÃO comutativa).
Complementar de UM conjunto
Quand se estuda Operaçõe com Conjuntos recisa-se entender a complementar de UM conjnto. Trata-se de UM caso da diferenciamos entre Dois conjuntos. Assim é que dados Dois conjuntos A e B, com a condição de que B d A, a diferenciamos A - B chama-se, neste
Caso particular: O complementar de B em relaçao ao conjunto universo U, ou sejas, U - B, é indicado cabelo símbolo B '.Observe que o conjunto B' é formado por todos os elementos que nao Pertence ao conjunto B, ou sejão:
B '= {x; x ao B}. É óbvio, entao, que:
a) B 1 B '= φ
b) B 1 B '= U
c) φ '= U
d) U '= φ_
Partição de UM conjunto
Sejão A UM conjunto Não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por (A), qualque subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por
P (A)), que satisfaz simultaneamente, as seguintes Condições:
1 - nenhuma dos elementos de part (A) é o conjunto vazio.
2 - a interseção de quaisquer Dois elementos de part (A) é o conjunto vazio.
3 - a união de todos os elementos de part (A) é igual ao conjunto A.
Exemplo: sejão A = {2, 3, 5}
Os subconjuntos de A será: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, eo conjunto vazio - o.
Assim, o conjunto das partes de A será:
P (A) = {{2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø}
Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P (A):
X = {{2}, {3,5}}
Observe que X é UMA partição de A - cuja simbologia e parte (A) - pois:
a) nenhum dos elementos de X é a.
b) {2} {1 3, 5} ou = Ø
c) {2} {U 3, 5} = {2, 3, 5} = A
Sendo observadas as Condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é UMA partição do conjunto A.
Observe que Y = {{2,5}, {3}}; W = {{5}, {2} {3}}; S = {{3,2}, {5}} São outros exemplos de partições do conjunto A.
Outro exemplo: o conjunto Y = {{0, 2, 4, 6, 8, ...}, {1, 3, 5, 7, ...}} é UMA partição do conjunto N dos números naturais, como {0, 2, 4, 6, 8, ...} {1, 3, 5, 7, ...} = Ø e {0, 2, 4, 6, 8, ...} U {1, 3, 5, 7, ...} = N.
Número de elementos da união de Dois conjuntos
Sejam A e B Dois conjuntos, tais que o número de elementos de A sejão n (A) e número de elementos de B sejão n (B).
Nota: o número de itens de UM conjunto, é tambem conhecido com cardinal do conjunto. Representando o número de elementos da interseção A 1 B por n (A 1 B) e número de elementos da união A c B por n (A c B), podemos escreve a seguinte fórmula: n (A c B) = n (A ) + n (B) - n (A c B)
- Conjunto
Quando falamos de operação lembramos logo de adição, subtração, divisão, multiplicação entre números. É possível também operar conjuntos. Essas operações recebem nomes diferentes, como: União de conjuntos, Intersecção de conjuntos, Diferença...
- Conjuntos
Exemplo de interseção de conjuntos.?Interseção Os elementos que fazem parte do conjunto interseção são os elementos comuns aos conjuntos relacionados. Exemplo 1: Dados dois conjuntos A = {5,6,9,8} e B = {0,1,2,3,4,5}, se pedimos a interseção...
- Conjunto
Ele representa conjuntos da seguinte maneira: a) b) Relação de inclusão – SubconjuntoDados dois conjuntos A e B, diz que A está contido em B ou que A é subconjunto de B, somente se, todo elemento do conjunto A também for elemento de B. Isso será...
- Teoria Dos Conjuntos
Teoria de Conjuntos 1 - Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição. Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }. Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se...
- Conjunto
Quando falamos de operação lembramos logo de adição, subtração, divisão, multiplicação entre números. É possível também operar conjuntos. Essas operações recebem nomes diferentes, como: União de conjuntos, Intersecção de conjuntos, Diferença...