Matemática
Se você somar 1 ao produto de quatro números inteiros consecutivos, o resultado sempre será um quadrado perfeito.
Em outros termos, o que devemos demonstrar é:
Dado um número x inteiro qualquer o resultado da operação R = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 será sempre um quadrado perfeito, isto é, um número inteiro elevado ao quadrado.
Então, vamos começar, como não poderia deixar de ser, realizando umas “continhas” utilizando-se da propriedade distributiva da multiplicação, para reescrever R:
R = (x2 + x)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x3 + 2x2 + x2 + 2x)(x + 3) + 1 =>
R = (x3 + 3x2 + 2x)(x + 3) + 1 = x4 + 3x3 + 3x3 + 9x2 + 2x2 + 6x + 1
Agrupando os termos de R, na expressão acima, obtemos:
R = (x4 + 6x3 + 9x2) + 2(x2 + 3x) + 1
Agora, repare bem, bem mesmo, na primeira expressão entre parêntesis, lembre-se do velho e conhecido Produtos Notáveis e conclua comigo que:
R = (x2 + 3x)2 + 2(x2 + 3x) + 1 [1]
Para facilitar o entendimento final da demonstração, vamos definir y como:
y = (x2 + 3x) [2]
e substituir em [1] para concluir que:
R = y2 + 2y + 1 = (y + 1)2 [3]
é um quadrado perfeito, onde em [3], mais uma vez, utilizamos a propriedade dos produtos notáveis: Quadrado da soma de dois números. Tem dúvidas, consulte o artigo indicado no link acima sobre o tema.
Para finalizar, vamos a um exemplo: dado x = 4 vem que R = (4×5×6×7) + 1 = 841. Tudo bem, até aí está fácil. Mas como saber se 841 ou um número bem maior é um quadrado perfeito sem muito esforço – extração da raiz quadrada.
Tranquilo. Utilize a expressão [2] para determinar y = (16 + 12) = 28 e substitua em [3] para concluir que R = 292 = 841.
- 3º Caso De Fatoração: Trinômio Do Quadrado Perfeito
A terceira maneira de fatorar expressões algébricas é utilizando a regra do trinômio do quadrado perfeito. Para que possa fatorar uma expressão algébrica utilizando esse 3º caso a expressão deverá ser um trinômio e formar um quadrado perfeito....
- Produtos Notáveis
Produtos Notáveis Mais Comuns PN1. Quadrado da soma de dois números reais a e b quaisquer – a mais b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Demonstração:...
- 4º Caso De Fatoração: Trinômio Do Tipo X² + Sx + P
O quarto caso de fatoração, assim como o terceiro, é a fatoração de uma expressão algébrica em forma de trinômio. A diferença dos dois é que nesse quarto caso o trinômio não tem que formar um quadrado perfeito e sim somar o produto dos dois...
- Raiz Quadrada
Chama-se raiz quadrada de um número natural, um segundo número natural cujo o quadrado é igual ao número dado. Exemplos: a) √49 = 7 porque 7² = 49 b) √100 = 10 porque 10² = 100 NÚMEROS QUADRADOS PERFEITOS Vamos calcular os quadrados dos primeiros...
- Produtos Notaveis
Produtos Notáveis Antes de iniciarmos o estudo de produtos notáveis, vamos recordar a propriedade distributiva. (a+b).(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b² (a-b).(a-b) = a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b² (a+b+c).(a+b+c)=a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c² Somando...
Matemática
Curiosidade
Se você somar 1 ao produto de quatro números inteiros consecutivos, o resultado sempre será um quadrado perfeito.
Em outros termos, o que devemos demonstrar é:
Dado um número x inteiro qualquer o resultado da operação R = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 será sempre um quadrado perfeito, isto é, um número inteiro elevado ao quadrado.
Então, vamos começar, como não poderia deixar de ser, realizando umas “continhas” utilizando-se da propriedade distributiva da multiplicação, para reescrever R:
R = (x2 + x)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x3 + 2x2 + x2 + 2x)(x + 3) + 1 =>
R = (x3 + 3x2 + 2x)(x + 3) + 1 = x4 + 3x3 + 3x3 + 9x2 + 2x2 + 6x + 1
Agrupando os termos de R, na expressão acima, obtemos:
R = (x4 + 6x3 + 9x2) + 2(x2 + 3x) + 1
Agora, repare bem, bem mesmo, na primeira expressão entre parêntesis, lembre-se do velho e conhecido Produtos Notáveis e conclua comigo que:
R = (x2 + 3x)2 + 2(x2 + 3x) + 1 [1]
Para facilitar o entendimento final da demonstração, vamos definir y como:
y = (x2 + 3x) [2]
e substituir em [1] para concluir que:
R = y2 + 2y + 1 = (y + 1)2 [3]
é um quadrado perfeito, onde em [3], mais uma vez, utilizamos a propriedade dos produtos notáveis: Quadrado da soma de dois números. Tem dúvidas, consulte o artigo indicado no link acima sobre o tema.
Para finalizar, vamos a um exemplo: dado x = 4 vem que R = (4×5×6×7) + 1 = 841. Tudo bem, até aí está fácil. Mas como saber se 841 ou um número bem maior é um quadrado perfeito sem muito esforço – extração da raiz quadrada.
Tranquilo. Utilize a expressão [2] para determinar y = (16 + 12) = 28 e substitua em [3] para concluir que R = 292 = 841.
- 3º Caso De Fatoração: Trinômio Do Quadrado Perfeito
A terceira maneira de fatorar expressões algébricas é utilizando a regra do trinômio do quadrado perfeito. Para que possa fatorar uma expressão algébrica utilizando esse 3º caso a expressão deverá ser um trinômio e formar um quadrado perfeito....
- Produtos Notáveis
Produtos Notáveis Mais Comuns PN1. Quadrado da soma de dois números reais a e b quaisquer – a mais b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Demonstração:...
- 4º Caso De Fatoração: Trinômio Do Tipo X² + Sx + P
O quarto caso de fatoração, assim como o terceiro, é a fatoração de uma expressão algébrica em forma de trinômio. A diferença dos dois é que nesse quarto caso o trinômio não tem que formar um quadrado perfeito e sim somar o produto dos dois...
- Raiz Quadrada
Chama-se raiz quadrada de um número natural, um segundo número natural cujo o quadrado é igual ao número dado. Exemplos: a) √49 = 7 porque 7² = 49 b) √100 = 10 porque 10² = 100 NÚMEROS QUADRADOS PERFEITOS Vamos calcular os quadrados dos primeiros...
- Produtos Notaveis
Produtos Notáveis Antes de iniciarmos o estudo de produtos notáveis, vamos recordar a propriedade distributiva. (a+b).(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b² (a-b).(a-b) = a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b² (a+b+c).(a+b+c)=a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c² Somando...