Matemática
Produtos Notáveis Mais Comuns
PN1. Quadrado da soma de dois números reais a e b quaisquer – a mais b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Demonstração:
Pela definição de potenciação temos que:
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
Utilizando-se da propriedade distributiva da multiplicação:
(a + b)2 = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ba + b2
E, finalmente pela propriedade comutativa vem:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
PN2. Quadrado da diferença de dois números reais a e b quaisquer – a menos b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
PN3. O Produto da soma pela diferença de dois números reais a e b quaisquer é igual ao quadrado do primeiro termo (a) menos o quadrado do segundo (b):
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Demonstração:
Novamente é decorrência das propriedades distributiva e comutativa da multiplicação:
(a + b)(a – b) = a(a – b) + b(a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – b2
PN4. Cubo da soma de dois números reais a e b quaisquer – a mais b ao cubo é igual ao cubo do primeiro mais três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Demonstração:
Da definição de potenciação:
(a + b)3 = (a + b)(a + b)2
Pela propriedade PN1:
(a + b)3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)
Da propriedade distributiva da multiplicação vem:
(a + b)3 = a(a2 + 2ab + b2) + b(a2 + 2ab + b2)
=> (a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3
Somando os termos comuns com o uso da propriedade comutativa:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
PN5. Cubo da diferença de dois números reais a e b quaisquer – a menos b ao cubo é igual ao cubo do primeiro menos três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, menos o cubo do segundo:
(a + b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
PN6. Produto de Stevin:
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
PN7. Produtos de Warring:
[1] a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
[2] a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Demonstração de [1]:
Da propriedade PN4 temos que:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Por outro lado:
(a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)
Substituindo na igualdade anterior vem:
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)
Ajustando a igualdade e colocando os termos comuns em evidência:
a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) – 3a2b – 3ab2
=> a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) – 3ab(a + b)
=> a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2 – 3ab) = (a + b)(a2 – ab + b2)
- Quadrado Da Diferença
Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalvesemail [email protected] HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com http://accbarrosogestar.blogspot.com.br Algumas multiplicações envolvendo expressões...
- Cubo Da Soma E Cubo Da Diferença
As técnicas resolutivas de produtos notáveis são de grande importância na resolução de expressões onde o expoente possui valor numérico igual a 3. As expressões (a + b)³ e (a – b)³ podem ser resolvidas pelo método da distribuição ou pelo...
- Produtos Notaveis
Produtos notáveis são produtos de expressões algébricas que possuem uma forma geral para sua resolução. Os produtos abaixo são exemplos, em forma geral, de produtos notáveis: (a + b) . (a + b) = (a + b)2 Quadrado da soma (a – b) . (a –...
- Produtos Notaveis
Produtos Notáveis Antes de iniciarmos o estudo de produtos notáveis, vamos recordar a propriedade distributiva. (a+b).(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b² (a-b).(a-b) = a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b² (a+b+c).(a+b+c)=a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c² Somando...
- Produtos Notáveis
Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia Professor Antonio Carlos carneiro Barroso email [email protected] HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com e HTTP://accbarroso60.wordpress.comhttp://accbarrosogestar.blogspot.com.br ...
Matemática
Produtos Notáveis
Produtos Notáveis Mais Comuns
PN1. Quadrado da soma de dois números reais a e b quaisquer – a mais b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Demonstração:
Pela definição de potenciação temos que:
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
Utilizando-se da propriedade distributiva da multiplicação:
(a + b)2 = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ba + b2
E, finalmente pela propriedade comutativa vem:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
PN2. Quadrado da diferença de dois números reais a e b quaisquer – a menos b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
PN3. O Produto da soma pela diferença de dois números reais a e b quaisquer é igual ao quadrado do primeiro termo (a) menos o quadrado do segundo (b):
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Demonstração:
Novamente é decorrência das propriedades distributiva e comutativa da multiplicação:
(a + b)(a – b) = a(a – b) + b(a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – b2
PN4. Cubo da soma de dois números reais a e b quaisquer – a mais b ao cubo é igual ao cubo do primeiro mais três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Demonstração:
Da definição de potenciação:
(a + b)3 = (a + b)(a + b)2
Pela propriedade PN1:
(a + b)3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)
Da propriedade distributiva da multiplicação vem:
(a + b)3 = a(a2 + 2ab + b2) + b(a2 + 2ab + b2)
=> (a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3
Somando os termos comuns com o uso da propriedade comutativa:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
PN5. Cubo da diferença de dois números reais a e b quaisquer – a menos b ao cubo é igual ao cubo do primeiro menos três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, menos o cubo do segundo:
(a + b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
PN6. Produto de Stevin:
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
PN7. Produtos de Warring:
[1] a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
[2] a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Demonstração de [1]:
Da propriedade PN4 temos que:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Por outro lado:
(a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)
Substituindo na igualdade anterior vem:
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)
Ajustando a igualdade e colocando os termos comuns em evidência:
a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) – 3a2b – 3ab2
=> a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) – 3ab(a + b)
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