Matemática
Produtos notáveis são produtos de expressões algébricas que possuem uma forma geral para sua resolução.
Os produtos abaixo são exemplos, em forma geral, de produtos notáveis:
(a + b) . (a + b) = (a + b)2 Quadrado da soma
(a – b) . (a – b) = (a – b)2 Quadrado da diferença
(a + b) . (a – b) Produto da soma pela diferença
(x + p) . (x + q) Produto do tipo
(a + b) . (a + b) . (a + b) = (a + b)3 Cubo da soma
(a – b) . (a – b) . (a – b) = (a – b)3 Cubo da diferença
(a + b)2 é o mesmo que (a + b) . (a + b)
Então, utilizando a propriedade distributiva vamos calcular:
(a + b) . (a + b) ------ utilizando a propriedade distributiva.
a 2 + ab + ab + b 2 ------ operar os termos semelhantes.
a 2 + 2ab + b 2
Concluímos que:
(a + b) . (a + b) = (a + b)2
Concluimos que (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
(a + b)2 = quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo.
Resolvendo algebricamente:
(a – b)2 é o mesmo que (a – b) . (a – b).
Utilizando a propriedade distributiva temos:
(a – b) . (a – b) -------- propriedade distributiva.
a 2 – ab – ab + b2 -------- operar os termos semelhantes
a2 – 2ab + b2
Concluímos que:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a - b)2 = quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo
Resolvendo algebricamente:
(a – b)2 é o mesmo que (a – b) . (a – b).
Utilizando a propriedade distributiva temos:
(a – b) . (a – b) -------- propriedade distributiva.
a 2 – ab – ab + b2 -------- operar os termos semelhantes
a2 – 2ab + b2
Concluímos que:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a - b)2 = quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo
Resolvendo algebricamente:
(a – b)2 é o mesmo que (a – b) . (a – b).
Utilizando a propriedade distributiva temos:
(a – b) . (a – b) -------- propriedade distributiva.
a 2 – ab – ab + b2 -------- operar os termos semelhantes
a2 – 2ab + b2
Concluímos que:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a - b)2 = quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo
Resolvendo algebricamente:
(a – b)2 é o mesmo que (a – b) . (a – b).
Utilizando a propriedade distributiva temos:
(a – b) . (a – b) -------- propriedade distributiva.
a 2 – ab – ab + b2 -------- operar os termos semelhantes
a2 – 2ab + b2
Concluímos que:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a - b)2 = quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo
►Produto da soma pela diferença
(a + b) . (a – b)
Resolvendo algebricamente, temos:
(a + b) . (a – b) -------- aplicando a propriedade distributiva.
a2 + ab – ab + b2 --------- cancelando os termos opostos –ab e +ab.
a2 – b2
Concluímos que:
(a + b) . (a – b) = a 2 – b2
(a + b) . (a – b) = quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
►Produto da forma (x + p) . (x + q)
Resolvendo algebricamente, temos:
(x + p) . (x + q) ------- fazendo a propriedade distributiva
x2 + xq + xp + pq -------- colocando o x em evidência dos termos xq e xp, temos:
x2 + x (q + p) + pq
Concluímos que:
(x + p) . (x + q) = x2 + x (p + q) + pq
Exemplo 1:
(x + 3) . (x + 5) ----- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:
Para p = 3 e q = 5
x2 + x(5 + 3) + 3 . 5
x2 + 8x + 15
Concluímos que (x + 3) . (x + 5) = x2 + 8x + 15.
Exemplo 2:
(x – 3) . (x – 4) ------- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:
Para p = - 3 e q = - 4
x2 + (-3 – 4)x + (-3) . (- 4)
x2 – 7x + 12
Concluímos que (x – 3) . (x – 4) = x2 – 7x + 12
Exemplo 3:
(x – 5) . (x + 4) ---------- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:
Para p = - 5 q = 4
x2 + (-5 + 4)x + (-5) . 4
x2 – x - 20
Concluímos que (x - 5) . (x + 4) = x2 - x - 20
Exemplo 4:
A área desse retângulo pode ser calculada, se for aplicado o produto notável
(x + p) . (x + q). Calcule essa área em cm para o dado 3x -1 =5.
Resolução:
A área do retângulo é base vezes altura. No retângulo acima a
base = x + 7 e a
altura = x – 1, então podemos utilizar o produto notável (x + p) . (x + q).
A = (x + 7) . (x – 1)
A = x2 + (7 – 1)x + 7 . (-1)
A = x2 + 6x – 7, como 3x – 1 = 5, então podemos dizer que:
3x – 1 = 5
3x = 5 + 1
3x = 6
x = 6 : 3
x = 2
Como x = 2, para acharmos o valor da área, basta substituir o valor de x = 2 em
A = x2 + 6x – 7.
A = x2 + 6x – 7
A = 2 . 2 + 6 . 2 – 7
A = 4 + 12 – 7
A = 16 – 7
A = 9 cm2
►Produto da soma pela diferença
(a + b) . (a – b)
Resolvendo algebricamente, temos:
(a + b) . (a – b) -------- aplicando a propriedade distributiva.
a2 + ab – ab + b2 --------- cancelando os termos opostos –ab e +ab.
a2 – b2
Concluímos que:
(a + b) . (a – b) = a 2 – b2
(a + b) . (a – b) = quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
►Produto da forma (x + p) . (x + q)
Resolvendo algebricamente, temos:
(x + p) . (x + q) ------- fazendo a propriedade distributiva
x2 + xq + xp + pq -------- colocando o x em evidência dos termos xq e xp, temos:
x2 + x (q + p) + pq
Concluímos que:
(x + p) . (x + q) = x2 + x (p + q) + pq
Exemplo 1:
(x + 3) . (x + 5) ----- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:
Para p = 3 e q = 5
x2 + x(5 + 3) + 3 . 5
x2 + 8x + 15
Concluímos que (x + 3) . (x + 5) = x2 + 8x + 15.
Exemplo 2:
(x – 3) . (x – 4) ------- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:
Para p = - 3 e q = - 4
x2 + (-3 – 4)x + (-3) . (- 4)
x2 – 7x + 12
Concluímos que (x – 3) . (x – 4) = x2 – 7x + 12
Exemplo 3:
(x – 5) . (x + 4) ---------- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:
Para p = - 5 q = 4
x2 + (-5 + 4)x + (-5) . 4
x2 – x - 20
Concluímos que (x - 5) . (x + 4) = x2 - x - 20
Exemplo 4:
A área desse retângulo pode ser calculada, se for aplicado o produto notável
(x + p) . (x + q). Calcule essa área em cm para o dado 3x -1 =5.
Resolução:
A área do retângulo é base vezes altura. No retângulo acima a
base = x + 7 e a
altura = x – 1, então podemos utilizar o produto notável (x + p) . (x + q).
A = (x + 7) . (x – 1)
A = x2 + (7 – 1)x + 7 . (-1)
A = x2 + 6x – 7, como 3x – 1 = 5, então podemos dizer que:
3x – 1 = 5
3x = 5 + 1
3x = 6
x = 6 : 3
x = 2
Como x = 2, para acharmos o valor da área, basta substituir o valor de x = 2 em
A = x2 + 6x – 7.
A = x2 + 6x – 7
A = 2 . 2 + 6 . 2 – 7
A = 4 + 12 – 7
A = 16 – 7
A = 9 cm2
►Produto da soma pela diferença
(a + b) . (a – b)
Resolvendo algebricamente, temos:
(a + b) . (a – b) -------- aplicando a propriedade distributiva.
a2 + ab – ab + b2 --------- cancelando os termos opostos –ab e +ab.
a2 – b2
Concluímos que:
(a + b) . (a – b) = a 2 – b2
(a + b) . (a – b) = quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
►Produto da forma (x + p) . (x + q)
Resolvendo algebricamente, temos:
(x + p) . (x + q) ------- fazendo a propriedade distributiva
x2 + xq + xp + pq -------- colocando o x em evidência dos termos xq e xp, temos:
x2 + x (q + p) + pq
Concluímos que:
(x + p) . (x + q) = x2 + x (p + q) + pq
Exemplo 1:
(x + 3) . (x + 5) ----- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:
Para p = 3 e q = 5
x2 + x(5 + 3) + 3 . 5
x2 + 8x + 15
Concluímos que (x + 3) . (x + 5) = x2 + 8x + 15.
Exemplo 2:
(x – 3) . (x – 4) ------- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:
Para p = - 3 e q = - 4
x2 + (-3 – 4)x + (-3) . (- 4)
x2 – 7x + 12
Concluímos que (x – 3) . (x – 4) = x2 – 7x + 12
Exemplo 3:
(x – 5) . (x + 4) ---------- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:
Para p = - 5 q = 4
x2 + (-5 + 4)x + (-5) . 4
x2 – x - 20
Concluímos que (x - 5) . (x + 4) = x2 - x - 20
Exemplo 4:
A área desse retângulo pode ser calculada, se for aplicado o produto notável
(x + p) . (x + q). Calcule essa área em cm para o dado 3x -1 =5.
Resolução:
A área do retângulo é base vezes altura. No retângulo acima a
base = x + 7 e a
altura = x – 1, então podemos utilizar o produto notável (x + p) . (x + q).
A = (x + 7) . (x – 1)
A = x2 + (7 – 1)x + 7 . (-1)
A = x2 + 6x – 7, como 3x – 1 = 5, então podemos dizer que:
3x – 1 = 5
3x = 5 + 1
3x = 6
x = 6 : 3
x = 2
Como x = 2, para acharmos o valor da área, basta substituir o valor de x = 2 em
A = x2 + 6x – 7.
A = x2 + 6x – 7
A = 2 . 2 + 6 . 2 – 7
A = 4 + 12 – 7
A = 16 – 7
A = 9 cm2
►Cubo da soma (a + b)3
Resolvendo algebricamente, temos:
(a + b)3, podemos escrever assim:
(a + b) . (a + b) . (a + b)
↓
(a + b)2 . (a + b) -------- utilizando o quadrado da soma em
(a + b)2, temos:
(a2 + 2ab + b2) . (a + b) ------ aplicando a propriedade distributiva.
a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 ------- operando os termos semelhantes.
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Concluímos que:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Exemplo:
(x + 5)3 , sendo a = x e b = 5, temos:
x 3 + 3 . x2 . 5 + 3 . x . 53 + 125
x3 + 15x2 + 375x + 125
Concluímos que:
(x + 5)3 = x3 + 15x2 + 375x + 125
►Cubo da diferença (a – b)3
Resolvendo algebricamente, temos:
(a – b)3 , podemos escrever assim:
(a – b) . (a – b) . (a – b)
↓
(a – b)2 . (a – b) ------- aplicando o quadrado da diferença em
(a – b)2, temos:
(a 2 – 2ab + b2) . (a – b) ------ utilizando a propriedade distributiva.
a3 – a2b – 2a2b + 2ab2 + ab2 – b3--------- operando os termos semelhantes.
a 3 – 3a 2b + 3ab2 - b3
Concluímos que:
(a – b)3 = a3 – 3a 2b + 3ab2 - b3
Exemplo:
(x – 3)3, sendo a = x e b = 3, temos:
x3 – 3. x2 . 3 + 3 . x . 32 - 33
x3 – 9x2 + 27x – 27
Concluímos que:
(x – 3)3 = x3 – 9x2 + 27x – 27
►Cubo da soma (a + b)3
Resolvendo algebricamente, temos:
(a + b)3, podemos escrever assim:
(a + b) . (a + b) . (a + b)
↓
(a + b)2 . (a + b) -------- utilizando o quadrado da soma em
(a + b)2, temos:
(a2 + 2ab + b2) . (a + b) ------ aplicando a propriedade distributiva.
a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 ------- operando os termos semelhantes.
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Concluímos que:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Exemplo:
(x + 5)3 , sendo a = x e b = 5, temos:
x 3 + 3 . x2 . 5 + 3 . x . 53 + 125
x3 + 15x2 + 375x + 125
Concluímos que:
(x + 5)3 = x3 + 15x2 + 375x + 125
►Cubo da diferença (a – b)3
Resolvendo algebricamente, temos:
(a – b)3 , podemos escrever assim:
(a – b) . (a – b) . (a – b)
↓
(a – b)2 . (a – b) ------- aplicando o quadrado da diferença em
(a – b)2, temos:
(a 2 – 2ab + b2) . (a – b) ------ utilizando a propriedade distributiva.
a3 – a2b – 2a2b + 2ab2 + ab2 – b3--------- operando os termos semelhantes.
a 3 – 3a 2b + 3ab2 - b3
Concluímos que:
(a – b)3 = a3 – 3a 2b + 3ab2 - b3
Exemplo:
(x – 3)3, sendo a = x e b = 3, temos:
x3 – 3. x2 . 3 + 3 . x . 32 - 33
x3 – 9x2 + 27x – 27
Concluímos que:
(x – 3)3 = x3 – 9x2 + 27x – 27
►Cubo da soma (a + b)3
Resolvendo algebricamente, temos:
(a + b)3, podemos escrever assim:
(a + b) . (a + b) . (a + b)
↓
(a + b)2 . (a + b) -------- utilizando o quadrado da soma em
(a + b)2, temos:
(a2 + 2ab + b2) . (a + b) ------ aplicando a propriedade distributiva.
a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 ------- operando os termos semelhantes.
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Concluímos que:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Exemplo:
(x + 5)3 , sendo a = x e b = 5, temos:
x 3 + 3 . x2 . 5 + 3 . x . 53 + 125
x3 + 15x2 + 375x + 125
Concluímos que:
(x + 5)3 = x3 + 15x2 + 375x + 125
►Cubo da diferença (a – b)3
Resolvendo algebricamente, temos:
(a – b)3 , podemos escrever assim:
(a – b) . (a – b) . (a – b)
↓
(a – b)2 . (a – b) ------- aplicando o quadrado da diferença em
(a – b)2, temos:
(a 2 – 2ab + b2) . (a – b) ------ utilizando a propriedade distributiva.
a3 – a2b – 2a2b + 2ab2 + ab2 – b3--------- operando os termos semelhantes.
a 3 – 3a 2b + 3ab2 - b3
Concluímos que:
(a – b)3 = a3 – 3a 2b + 3ab2 - b3
Exemplo:
(x – 3)3, sendo a = x e b = 3, temos:
x3 – 3. x2 . 3 + 3 . x . 32 - 33
x3 – 9x2 + 27x – 27
Concluímos que:
(x – 3)3 = x3 – 9x2 + 27x – 27
►Cubo da soma (a + b)3
Resolvendo algebricamente, temos:
(a + b)3, podemos escrever assim:
(a + b) . (a + b) . (a + b)
↓
(a + b)2 . (a + b) -------- utilizando o quadrado da soma em
(a + b)2, temos:
(a2 + 2ab + b2) . (a + b) ------ aplicando a propriedade distributiva.
a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 ------- operando os termos semelhantes.
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Concluímos que:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Exemplo:
(x + 5)3 , sendo a = x e b = 5, temos:
x 3 + 3 . x2 . 5 + 3 . x . 53 + 125
x3 + 15x2 + 375x + 125
Concluímos que:
(x + 5)3 = x3 + 15x2 + 375x + 125
►Cubo da diferença (a – b)3
Resolvendo algebricamente, temos:
(a – b)3 , podemos escrever assim:
(a – b) . (a – b) . (a – b)
↓
(a – b)2 . (a – b) ------- aplicando o quadrado da diferença em
(a – b)2, temos:
(a 2 – 2ab + b2) . (a – b) ------ utilizando a propriedade distributiva.
a3 – a2b – 2a2b + 2ab2 + ab2 – b3--------- operando os termos semelhantes.
a 3 – 3a 2b + 3ab2 - b3
Concluímos que:
(a – b)3 = a3 – 3a 2b + 3ab2 - b3
Exemplo:
(x – 3)3, sendo a = x e b = 3, temos:
x3 – 3. x2 . 3 + 3 . x . 32 - 33
x3 – 9x2 + 27x – 27
Concluímos que:
(x – 3)3 = x3 – 9x2 + 27x – 27
►Cubo da soma (a + b)3
Resolvendo algebricamente, temos:
(a + b)3, podemos escrever assim:
(a + b) . (a + b) . (a + b)
↓
(a + b)2 . (a + b) -------- utilizando o quadrado da soma em
(a + b)2, temos:
(a2 + 2ab + b2) . (a + b) ------ aplicando a propriedade distributiva.
a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 ------- operando os termos semelhantes.
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Concluímos que:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Exemplo:
(x + 5)3 , sendo a = x e b = 5, temos:
x 3 + 3 . x2 . 5 + 3 . x . 53 + 125
x3 + 15x2 + 375x + 125
Concluímos que:
(x + 5)3 = x3 + 15x2 + 375x + 125
►Cubo da diferença (a – b)3
Resolvendo algebricamente, temos:
(a – b)3 , podemos escrever assim:
(a – b) . (a – b) . (a – b)
↓
(a – b)2 . (a – b) ------- aplicando o quadrado da diferença em
(a – b)2, temos:
(a 2 – 2ab + b2) . (a – b) ------ utilizando a propriedade distributiva.
a3 – a2b – 2a2b + 2ab2 + ab2 – b3--------- operando os termos semelhantes.
a 3 – 3a 2b + 3ab2 - b3
Concluímos que:
(a – b)3 = a3 – 3a 2b + 3ab2 - b3
Exemplo:
(x – 3)3, sendo a = x e b = 3, temos:
x3 – 3. x2 . 3 + 3 . x . 32 - 33
x3 – 9x2 + 27x – 27
Concluímos que:
(x – 3)3 = x3 – 9x2 + 27x – 27
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- Quadrado Da Diferença
Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalvesemail [email protected] HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com http://accbarrosogestar.blogspot.com.br Algumas multiplicações envolvendo expressões...
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- Quadrado Da Soma
Tem duas formas de provar como resolver o quadrado da soma. A primeira é resolvendo algebricamente, veja como: (a + b)2 é o mesmo que (a + b) . (a + b) Então, utilizando a propriedade distributiva vamos calcular: (a + b) . (a + b) ------ utilizando...
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Matemática
Produtos notaveis
Produtos notáveis são produtos de expressões algébricas que possuem uma forma geral para sua resolução.
Os produtos abaixo são exemplos, em forma geral, de produtos notáveis:
(a + b) . (a + b) = (a + b)2 Quadrado da soma
(a – b) . (a – b) = (a – b)2 Quadrado da diferença
(a + b) . (a – b) Produto da soma pela diferença
(x + p) . (x + q) Produto do tipo
(a + b) . (a + b) . (a + b) = (a + b)3 Cubo da soma
(a – b) . (a – b) . (a – b) = (a – b)3 Cubo da diferença
(a + b)2 é o mesmo que (a + b) . (a + b)
Então, utilizando a propriedade distributiva vamos calcular:
(a + b) . (a + b) ------ utilizando a propriedade distributiva.
a 2 + ab + ab + b 2 ------ operar os termos semelhantes.
a 2 + 2ab + b 2
Concluímos que:
(a + b) . (a + b) = (a + b)2
Concluimos que (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
(a + b)2 = quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo.
Resolvendo algebricamente:
(a – b)2 é o mesmo que (a – b) . (a – b).
Utilizando a propriedade distributiva temos:
(a – b) . (a – b) -------- propriedade distributiva.
a 2 – ab – ab + b2 -------- operar os termos semelhantes
a2 – 2ab + b2
Concluímos que:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a - b)2 = quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo
Resolvendo algebricamente:
(a – b)2 é o mesmo que (a – b) . (a – b).
Utilizando a propriedade distributiva temos:
(a – b) . (a – b) -------- propriedade distributiva.
a 2 – ab – ab + b2 -------- operar os termos semelhantes
a2 – 2ab + b2
Concluímos que:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a - b)2 = quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo
Resolvendo algebricamente:
(a – b)2 é o mesmo que (a – b) . (a – b).
Utilizando a propriedade distributiva temos:
(a – b) . (a – b) -------- propriedade distributiva.
a 2 – ab – ab + b2 -------- operar os termos semelhantes
a2 – 2ab + b2
Concluímos que:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a - b)2 = quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo
Resolvendo algebricamente:
(a – b)2 é o mesmo que (a – b) . (a – b).
Utilizando a propriedade distributiva temos:
(a – b) . (a – b) -------- propriedade distributiva.
a 2 – ab – ab + b2 -------- operar os termos semelhantes
a2 – 2ab + b2
Concluímos que:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a - b)2 = quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo
►Produto da soma pela diferença
(a + b) . (a – b)
Resolvendo algebricamente, temos:
(a + b) . (a – b) -------- aplicando a propriedade distributiva.
a2 + ab – ab + b2 --------- cancelando os termos opostos –ab e +ab.
a2 – b2
Concluímos que:
(a + b) . (a – b) = a 2 – b2
(a + b) . (a – b) = quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
►Produto da forma (x + p) . (x + q)
Resolvendo algebricamente, temos:
(x + p) . (x + q) ------- fazendo a propriedade distributiva
x2 + xq + xp + pq -------- colocando o x em evidência dos termos xq e xp, temos:
x2 + x (q + p) + pq
Concluímos que:
(x + p) . (x + q) = x2 + x (p + q) + pq
Exemplo 1:
(x + 3) . (x + 5) ----- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:
Para p = 3 e q = 5
x2 + x(5 + 3) + 3 . 5
x2 + 8x + 15
Concluímos que (x + 3) . (x + 5) = x2 + 8x + 15.
Exemplo 2:
(x – 3) . (x – 4) ------- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:
Para p = - 3 e q = - 4
x2 + (-3 – 4)x + (-3) . (- 4)
x2 – 7x + 12
Concluímos que (x – 3) . (x – 4) = x2 – 7x + 12
Exemplo 3:
(x – 5) . (x + 4) ---------- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:
Para p = - 5 q = 4
x2 + (-5 + 4)x + (-5) . 4
x2 – x - 20
Concluímos que (x - 5) . (x + 4) = x2 - x - 20
Exemplo 4:
A área desse retângulo pode ser calculada, se for aplicado o produto notável
(x + p) . (x + q). Calcule essa área em cm para o dado 3x -1 =5.
Resolução:
A área do retângulo é base vezes altura. No retângulo acima a
base = x + 7 e a
altura = x – 1, então podemos utilizar o produto notável (x + p) . (x + q).
A = (x + 7) . (x – 1)
A = x2 + (7 – 1)x + 7 . (-1)
A = x2 + 6x – 7, como 3x – 1 = 5, então podemos dizer que:
3x – 1 = 5
3x = 5 + 1
3x = 6
x = 6 : 3
x = 2
Como x = 2, para acharmos o valor da área, basta substituir o valor de x = 2 em
A = x2 + 6x – 7.
A = x2 + 6x – 7
A = 2 . 2 + 6 . 2 – 7
A = 4 + 12 – 7
A = 16 – 7
A = 9 cm2
►Produto da soma pela diferença
(a + b) . (a – b)
Resolvendo algebricamente, temos:
(a + b) . (a – b) -------- aplicando a propriedade distributiva.
a2 + ab – ab + b2 --------- cancelando os termos opostos –ab e +ab.
a2 – b2
Concluímos que:
(a + b) . (a – b) = a 2 – b2
(a + b) . (a – b) = quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
►Produto da forma (x + p) . (x + q)
Resolvendo algebricamente, temos:
(x + p) . (x + q) ------- fazendo a propriedade distributiva
x2 + xq + xp + pq -------- colocando o x em evidência dos termos xq e xp, temos:
x2 + x (q + p) + pq
Concluímos que:
(x + p) . (x + q) = x2 + x (p + q) + pq
Exemplo 1:
(x + 3) . (x + 5) ----- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:
Para p = 3 e q = 5
x2 + x(5 + 3) + 3 . 5
x2 + 8x + 15
Concluímos que (x + 3) . (x + 5) = x2 + 8x + 15.
Exemplo 2:
(x – 3) . (x – 4) ------- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:
Para p = - 3 e q = - 4
x2 + (-3 – 4)x + (-3) . (- 4)
x2 – 7x + 12
Concluímos que (x – 3) . (x – 4) = x2 – 7x + 12
Exemplo 3:
(x – 5) . (x + 4) ---------- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:
Para p = - 5 q = 4
x2 + (-5 + 4)x + (-5) . 4
x2 – x - 20
Concluímos que (x - 5) . (x + 4) = x2 - x - 20
Exemplo 4:
A área desse retângulo pode ser calculada, se for aplicado o produto notável
(x + p) . (x + q). Calcule essa área em cm para o dado 3x -1 =5.
Resolução:
A área do retângulo é base vezes altura. No retângulo acima a
base = x + 7 e a
altura = x – 1, então podemos utilizar o produto notável (x + p) . (x + q).
A = (x + 7) . (x – 1)
A = x2 + (7 – 1)x + 7 . (-1)
A = x2 + 6x – 7, como 3x – 1 = 5, então podemos dizer que:
3x – 1 = 5
3x = 5 + 1
3x = 6
x = 6 : 3
x = 2
Como x = 2, para acharmos o valor da área, basta substituir o valor de x = 2 em
A = x2 + 6x – 7.
A = x2 + 6x – 7
A = 2 . 2 + 6 . 2 – 7
A = 4 + 12 – 7
A = 16 – 7
A = 9 cm2
►Produto da soma pela diferença
(a + b) . (a – b)
Resolvendo algebricamente, temos:
(a + b) . (a – b) -------- aplicando a propriedade distributiva.
a2 + ab – ab + b2 --------- cancelando os termos opostos –ab e +ab.
a2 – b2
Concluímos que:
(a + b) . (a – b) = a 2 – b2
(a + b) . (a – b) = quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
►Produto da forma (x + p) . (x + q)
Resolvendo algebricamente, temos:
(x + p) . (x + q) ------- fazendo a propriedade distributiva
x2 + xq + xp + pq -------- colocando o x em evidência dos termos xq e xp, temos:
x2 + x (q + p) + pq
Concluímos que:
(x + p) . (x + q) = x2 + x (p + q) + pq
Exemplo 1:
(x + 3) . (x + 5) ----- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:
Para p = 3 e q = 5
x2 + x(5 + 3) + 3 . 5
x2 + 8x + 15
Concluímos que (x + 3) . (x + 5) = x2 + 8x + 15.
Exemplo 2:
(x – 3) . (x – 4) ------- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:
Para p = - 3 e q = - 4
x2 + (-3 – 4)x + (-3) . (- 4)
x2 – 7x + 12
Concluímos que (x – 3) . (x – 4) = x2 – 7x + 12
Exemplo 3:
(x – 5) . (x + 4) ---------- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:
Para p = - 5 q = 4
x2 + (-5 + 4)x + (-5) . 4
x2 – x - 20
Concluímos que (x - 5) . (x + 4) = x2 - x - 20
Exemplo 4:
A área desse retângulo pode ser calculada, se for aplicado o produto notável
(x + p) . (x + q). Calcule essa área em cm para o dado 3x -1 =5.
Resolução:
A área do retângulo é base vezes altura. No retângulo acima a
base = x + 7 e a
altura = x – 1, então podemos utilizar o produto notável (x + p) . (x + q).
A = (x + 7) . (x – 1)
A = x2 + (7 – 1)x + 7 . (-1)
A = x2 + 6x – 7, como 3x – 1 = 5, então podemos dizer que:
3x – 1 = 5
3x = 5 + 1
3x = 6
x = 6 : 3
x = 2
Como x = 2, para acharmos o valor da área, basta substituir o valor de x = 2 em
A = x2 + 6x – 7.
A = x2 + 6x – 7
A = 2 . 2 + 6 . 2 – 7
A = 4 + 12 – 7
A = 16 – 7
A = 9 cm2
►Cubo da soma (a + b)3
Resolvendo algebricamente, temos:
(a + b)3, podemos escrever assim:
(a + b) . (a + b) . (a + b)
↓
(a + b)2 . (a + b) -------- utilizando o quadrado da soma em
(a + b)2, temos:
(a2 + 2ab + b2) . (a + b) ------ aplicando a propriedade distributiva.
a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 ------- operando os termos semelhantes.
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Concluímos que:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Exemplo:
(x + 5)3 , sendo a = x e b = 5, temos:
x 3 + 3 . x2 . 5 + 3 . x . 53 + 125
x3 + 15x2 + 375x + 125
Concluímos que:
(x + 5)3 = x3 + 15x2 + 375x + 125
►Cubo da diferença (a – b)3
Resolvendo algebricamente, temos:
(a – b)3 , podemos escrever assim:
(a – b) . (a – b) . (a – b)
↓
(a – b)2 . (a – b) ------- aplicando o quadrado da diferença em
(a – b)2, temos:
(a 2 – 2ab + b2) . (a – b) ------ utilizando a propriedade distributiva.
a3 – a2b – 2a2b + 2ab2 + ab2 – b3--------- operando os termos semelhantes.
a 3 – 3a 2b + 3ab2 - b3
Concluímos que:
(a – b)3 = a3 – 3a 2b + 3ab2 - b3
Exemplo:
(x – 3)3, sendo a = x e b = 3, temos:
x3 – 3. x2 . 3 + 3 . x . 32 - 33
x3 – 9x2 + 27x – 27
Concluímos que:
(x – 3)3 = x3 – 9x2 + 27x – 27
►Cubo da soma (a + b)3
Resolvendo algebricamente, temos:
(a + b)3, podemos escrever assim:
(a + b) . (a + b) . (a + b)
↓
(a + b)2 . (a + b) -------- utilizando o quadrado da soma em
(a + b)2, temos:
(a2 + 2ab + b2) . (a + b) ------ aplicando a propriedade distributiva.
a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 ------- operando os termos semelhantes.
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Concluímos que:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Exemplo:
(x + 5)3 , sendo a = x e b = 5, temos:
x 3 + 3 . x2 . 5 + 3 . x . 53 + 125
x3 + 15x2 + 375x + 125
Concluímos que:
(x + 5)3 = x3 + 15x2 + 375x + 125
►Cubo da diferença (a – b)3
Resolvendo algebricamente, temos:
(a – b)3 , podemos escrever assim:
(a – b) . (a – b) . (a – b)
↓
(a – b)2 . (a – b) ------- aplicando o quadrado da diferença em
(a – b)2, temos:
(a 2 – 2ab + b2) . (a – b) ------ utilizando a propriedade distributiva.
a3 – a2b – 2a2b + 2ab2 + ab2 – b3--------- operando os termos semelhantes.
a 3 – 3a 2b + 3ab2 - b3
Concluímos que:
(a – b)3 = a3 – 3a 2b + 3ab2 - b3
Exemplo:
(x – 3)3, sendo a = x e b = 3, temos:
x3 – 3. x2 . 3 + 3 . x . 32 - 33
x3 – 9x2 + 27x – 27
Concluímos que:
(x – 3)3 = x3 – 9x2 + 27x – 27
►Cubo da soma (a + b)3
Resolvendo algebricamente, temos:
(a + b)3, podemos escrever assim:
(a + b) . (a + b) . (a + b)
↓
(a + b)2 . (a + b) -------- utilizando o quadrado da soma em
(a + b)2, temos:
(a2 + 2ab + b2) . (a + b) ------ aplicando a propriedade distributiva.
a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 ------- operando os termos semelhantes.
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Concluímos que:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Exemplo:
(x + 5)3 , sendo a = x e b = 5, temos:
x 3 + 3 . x2 . 5 + 3 . x . 53 + 125
x3 + 15x2 + 375x + 125
Concluímos que:
(x + 5)3 = x3 + 15x2 + 375x + 125
►Cubo da diferença (a – b)3
Resolvendo algebricamente, temos:
(a – b)3 , podemos escrever assim:
(a – b) . (a – b) . (a – b)
↓
(a – b)2 . (a – b) ------- aplicando o quadrado da diferença em
(a – b)2, temos:
(a 2 – 2ab + b2) . (a – b) ------ utilizando a propriedade distributiva.
a3 – a2b – 2a2b + 2ab2 + ab2 – b3--------- operando os termos semelhantes.
a 3 – 3a 2b + 3ab2 - b3
Concluímos que:
(a – b)3 = a3 – 3a 2b + 3ab2 - b3
Exemplo:
(x – 3)3, sendo a = x e b = 3, temos:
x3 – 3. x2 . 3 + 3 . x . 32 - 33
x3 – 9x2 + 27x – 27
Concluímos que:
(x – 3)3 = x3 – 9x2 + 27x – 27
►Cubo da soma (a + b)3
Resolvendo algebricamente, temos:
(a + b)3, podemos escrever assim:
(a + b) . (a + b) . (a + b)
↓
(a + b)2 . (a + b) -------- utilizando o quadrado da soma em
(a + b)2, temos:
(a2 + 2ab + b2) . (a + b) ------ aplicando a propriedade distributiva.
a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 ------- operando os termos semelhantes.
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Concluímos que:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Exemplo:
(x + 5)3 , sendo a = x e b = 5, temos:
x 3 + 3 . x2 . 5 + 3 . x . 53 + 125
x3 + 15x2 + 375x + 125
Concluímos que:
(x + 5)3 = x3 + 15x2 + 375x + 125
►Cubo da diferença (a – b)3
Resolvendo algebricamente, temos:
(a – b)3 , podemos escrever assim:
(a – b) . (a – b) . (a – b)
↓
(a – b)2 . (a – b) ------- aplicando o quadrado da diferença em
(a – b)2, temos:
(a 2 – 2ab + b2) . (a – b) ------ utilizando a propriedade distributiva.
a3 – a2b – 2a2b + 2ab2 + ab2 – b3--------- operando os termos semelhantes.
a 3 – 3a 2b + 3ab2 - b3
Concluímos que:
(a – b)3 = a3 – 3a 2b + 3ab2 - b3
Exemplo:
(x – 3)3, sendo a = x e b = 3, temos:
x3 – 3. x2 . 3 + 3 . x . 32 - 33
x3 – 9x2 + 27x – 27
Concluímos que:
(x – 3)3 = x3 – 9x2 + 27x – 27
►Cubo da soma (a + b)3
Resolvendo algebricamente, temos:
(a + b)3, podemos escrever assim:
(a + b) . (a + b) . (a + b)
↓
(a + b)2 . (a + b) -------- utilizando o quadrado da soma em
(a + b)2, temos:
(a2 + 2ab + b2) . (a + b) ------ aplicando a propriedade distributiva.
a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 ------- operando os termos semelhantes.
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Concluímos que:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Exemplo:
(x + 5)3 , sendo a = x e b = 5, temos:
x 3 + 3 . x2 . 5 + 3 . x . 53 + 125
x3 + 15x2 + 375x + 125
Concluímos que:
(x + 5)3 = x3 + 15x2 + 375x + 125
►Cubo da diferença (a – b)3
Resolvendo algebricamente, temos:
(a – b)3 , podemos escrever assim:
(a – b) . (a – b) . (a – b)
↓
(a – b)2 . (a – b) ------- aplicando o quadrado da diferença em
(a – b)2, temos:
(a 2 – 2ab + b2) . (a – b) ------ utilizando a propriedade distributiva.
a3 – a2b – 2a2b + 2ab2 + ab2 – b3--------- operando os termos semelhantes.
a 3 – 3a 2b + 3ab2 - b3
Concluímos que:
(a – b)3 = a3 – 3a 2b + 3ab2 - b3
Exemplo:
(x – 3)3, sendo a = x e b = 3, temos:
x3 – 3. x2 . 3 + 3 . x . 32 - 33
x3 – 9x2 + 27x – 27
Concluímos que:
(x – 3)3 = x3 – 9x2 + 27x – 27
http://carlinho.blig.ig.com.br
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