Matemática
Se $\Delta x$ for tão pequeno quanto quisermos, a reta que passa pelos pontos $[(x,f(x)),(x+\Delta x, f(x+\Delta x))]$, se confunde com a reta tangente no ponto $x$ Quando isso acontece, dizemos que é a derivada da função no ponto $x$. Então:
\begin{equation}
f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}~\frac{f(x+ \Delta x)-f(x)}{\Delta x}
\end{equation}
Se uma função produto é do tipo:
\begin{equation*}
f(x)=u(x)\cdot v(x)
\end{equation*}
podemos reescrevê-la utilizando o conceito de derivada, como:
\begin{equation}
f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}~~\frac{u(x+\Delta x)\cdot v(x+\Delta x)-u(x)\cdot v(x)}{\Delta x}
\end{equation}
Numa expressão algébrica, se somarmos e subtrairmos uma mesma quantidade arbitrária, a mesma não sofrerá alteração no seu valor final.
Utilizando-se deste artifício, podemos somar e subtrair uma quantidade conveniente em $(2)$, que será:
\begin{equation*}
u(x+\Delta x) \cdot v(x)
\end{equation*}
Temos então que:
$
f^{\prime}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{u(x+\Delta x) v(x+\Delta x)-u(x)v(x)-u(x+\Delta x)v(x)+u(x+\Delta x)v(x)}{\Delta x}
$
Agrupando os termos semelhantes, fica:
\begin{equation*}
f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{u(x+\Delta x)[v(x+\Delta x)-v(x)]+v(x)[u(x+\Delta x)-v(x)]}{\Delta x}
\end{equation*}
Como o limite da soma é igual à soma dos limites, fazemos:
\begin{equation}
f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{[v(x+\Delta x)-v(x)]}{\Delta x}\cdot u(x+\Delta x)+
\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{[u(x+\Delta x)-u(x)]}{\Delta x}\cdot v(x)
\end{equation}
Se compararmos $(3)$ com $(1)$, vemos algumas semelhanças. Podemos destacar duas delas:
\begin{equation*}
v^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}
\end{equation*}
\begin{equation*}
u^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}
\end{equation*}
Então, reescrevemos $(3)$, aplicando o limite em que $\Delta x \rightarrow 0$, como:
\begin{equation*}
f^{\prime}(x)=v^{\prime}(x)\cdot u(x)+u^{\prime}(x)\cdot v(x)\\
f^{\prime}(x)=v^{\prime}u+u^{\prime}v
\end{equation*}
Que é a derivada da função produto.
Demonstração da Derivada da Função Cosseno
Demonstração da Derivada da Função Seno
Demonstração da Derivada da Função Exponencial
Demonstração da Derivada da Função Logarítmica
Demonstração da Derivada da Função Quociente
- Funções Compostas E A Regra Da Cadeia
A regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função composta de duas ou mais funções. Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Seu desenvolvimento foi devido à...
- O Problema Inverso
Em Física é comum problemas em que conhecemos a velocidade instantânea $v(t)$ entre um da instante de tempo $t_a$ e um instante final $t_b$ e termos que descobrir o espaço percorrido. Este problema é chamado de problema inverso ao estudarmos movimento...
- Usando Derivadas Para Aproximar Funções
O simples fato geométrico de que a tangente a uma curva é uma boa aproximação da curva próximo ao ponto de tangência $P$, pode ser usado para obter valores aproximados de funções. [Figura 1] Vamos estimar o valor de uma função $f(x)$ quando...
- Demonstração Da Derivada Da Função Exponencial
Neste artigo, veremos como encontrar a derivada da função exponencial. Para isso utilizaremos limites e o conceito de derivada. Vamos demonstrar que, se $f(x)=e^x$, então sua derivada será $f '(x)=e^x$. Demonstração:Primeiramente, vamos provar...
- Demonstração Do Limite Fundamental Exponencial
O número e tem grande importância em diversos ramos das ciências, pois está presente em vários fenômenos naturais como por exemplo: crescimento populacional, crescimento de população de bactérias, datação por carbono, circuitos elétricos,...
Matemática
Demonstração da Derivada da Função Produto
A derivada de uma função pode ser representada geometricamente da seguinte maneira:
Se $\Delta x$ for tão pequeno quanto quisermos, a reta que passa pelos pontos $[(x,f(x)),(x+\Delta x, f(x+\Delta x))]$, se confunde com a reta tangente no ponto $x$ Quando isso acontece, dizemos que é a derivada da função no ponto $x$. Então:
\begin{equation}
f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}~\frac{f(x+ \Delta x)-f(x)}{\Delta x}
\end{equation}
Se uma função produto é do tipo:
\begin{equation*}
f(x)=u(x)\cdot v(x)
\end{equation*}
podemos reescrevê-la utilizando o conceito de derivada, como:
\begin{equation}
f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}~~\frac{u(x+\Delta x)\cdot v(x+\Delta x)-u(x)\cdot v(x)}{\Delta x}
\end{equation}
Numa expressão algébrica, se somarmos e subtrairmos uma mesma quantidade arbitrária, a mesma não sofrerá alteração no seu valor final.
Utilizando-se deste artifício, podemos somar e subtrair uma quantidade conveniente em $(2)$, que será:
\begin{equation*}
u(x+\Delta x) \cdot v(x)
\end{equation*}
Temos então que:
$
f^{\prime}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{u(x+\Delta x) v(x+\Delta x)-u(x)v(x)-u(x+\Delta x)v(x)+u(x+\Delta x)v(x)}{\Delta x}
$
Agrupando os termos semelhantes, fica:
\begin{equation*}
f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{u(x+\Delta x)[v(x+\Delta x)-v(x)]+v(x)[u(x+\Delta x)-v(x)]}{\Delta x}
\end{equation*}
Como o limite da soma é igual à soma dos limites, fazemos:
\begin{equation}
f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{[v(x+\Delta x)-v(x)]}{\Delta x}\cdot u(x+\Delta x)+
\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{[u(x+\Delta x)-u(x)]}{\Delta x}\cdot v(x)
\end{equation}
Se compararmos $(3)$ com $(1)$, vemos algumas semelhanças. Podemos destacar duas delas:
\begin{equation*}
v^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}
\end{equation*}
\begin{equation*}
u^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}
\end{equation*}
Então, reescrevemos $(3)$, aplicando o limite em que $\Delta x \rightarrow 0$, como:
\begin{equation*}
f^{\prime}(x)=v^{\prime}(x)\cdot u(x)+u^{\prime}(x)\cdot v(x)\\
f^{\prime}(x)=v^{\prime}u+u^{\prime}v
\end{equation*}
Que é a derivada da função produto.
Veja mais:
Demonstração da Derivada da Função Cosseno
Demonstração da Derivada da Função Seno
Demonstração da Derivada da Função Exponencial
Demonstração da Derivada da Função Logarítmica
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Em Física é comum problemas em que conhecemos a velocidade instantânea $v(t)$ entre um da instante de tempo $t_a$ e um instante final $t_b$ e termos que descobrir o espaço percorrido. Este problema é chamado de problema inverso ao estudarmos movimento...
- Usando Derivadas Para Aproximar Funções
O simples fato geométrico de que a tangente a uma curva é uma boa aproximação da curva próximo ao ponto de tangência $P$, pode ser usado para obter valores aproximados de funções. [Figura 1] Vamos estimar o valor de uma função $f(x)$ quando...
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