Matemática
Neste artigo, veremos como encontrar a derivada da função exponencial. Para isso utilizaremos limites e o conceito de derivada.
Vamos demonstrar que, se $f(x)=e^x$, então sua derivada será $f '(x)=e^x$.
\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{a^x-1}{x} = \ln(a), \quad \forall a>0
\end{equation}
Fazemos uma mudança de variável:
\begin{equation}
a^x-1=t
\end{equation}
sendo $a \neq1$.
Se $x$ tende a zero, então $t$ também tende a zero, pois:
\begin{equation}
a^0-1=t \Longrightarrow 1-1=t \Longrightarrow t=0
\end{equation}
Fazemos então:
\begin{equation}
a^x=1+t
\end{equation}
Assim, podemos escrever:
\begin{equation}
\ln(a^x)=\ln(1+t) \Longrightarrow x\ln(a) = \ln(1+t) \Longrightarrow x=\frac{\ln(1+t)}{\ln(a)}
\end{equation}
Tomando o limite inicial dado em (1), aplicamos a mudança da variável $x$ para $t$:
\begin{equation*}
\lim_{t \rightarrow 0} \frac{t}{\displaystyle \frac{\ln(1+t)}{\ln(a)}} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{t \cdot \ln(a)}{\ln(1+t)} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\ln(a)}{\displaystyle \frac{1}{t}\cdot \ln(1+t)} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\ln(a)}{\ln(1+t)^{1/t}}
\end{equation*}
Pelo limite fundamental exponencial, o limite tende a $e$:
\begin{equation}
\lim_{t\rightarrow 0} (1+t)^{1/t} = e
\end{equation}
Então, aplicando o limite, obtemos:
\begin{equation}
\frac{\ln(a)}{\ln(e)} = \frac{\ln(a)}{1} = \ln(a)
\end{equation}
Demonstrando assim, o limite inicial dado em $(1)$. Agora, utilizando o conceito de derivada, temos que:
\begin{equation}
f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}
\end{equation}
Para uma função exponencial do tipo:
\begin{equation}
f(x) = a^x , \quad \forall x \in \mathbb{R},\ a>0\ \text{e}\ a \neq 1
\end{equation}
Fazemos as devidas substituições:
\begin{equation}
f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a^{(x+\Delta x)}-a^x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a^x(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}
\end{equation}
Aplicando o limite dado em $(1)$, podemos reescrever $(10)$ como:
\begin{equation}
f'(x) = a^x \cdot \ln(a)
\end{equation}
Podemos dizer que se $f(x) = a^x$, então sua derivada será $f'(x) = a^x \cdot \ln(a)$. Mas, se fizermos $a = e$, obtemos:
\begin{equation}
f'(x) = e^x \cdot \ln(e) = e^x \cdot 1 = e^x
\end{equation}
Demonstração da Derivada da Função Quociente
Demonstração da Derivada da Função Logarítmica
- Integral Indefinida Do Produto De Senos De Monômios De Coeficientes Angulares Diferentes
Neste artigo, veremos como encontrar uma fórmula para calcular a integral do produto de dois senos, cujos argumentos são monômios. Vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \text{sen}(ax) \cdot \text{sen}(bx)\ dx=\frac{\text{sen} [(a-b) x]}{2 (a-b)}...
- Teste Da Integral Para Convergência De Séries
O teorema conhecido como teste da integral (ou teste de Leibniz) para verificar convergências de séries, faz uso da teoria de integrais impróprias. Teorema $1$:Se $f(n)$ representa o termo geral $u_n$ de uma série numérica infinita de termos positivos,...
- Demonstração Da Derivada Do Produto Entre 3 Funções
Já vimos uma demonstração para derivada da função produto entre duas funções. Esta regra pode ser ampliada para o produto entre mais funções. Neste artigo, veremos como proceder para encontrarmos a derivada de um produto entre três funções....
- Demonstração Do Limite Fundamental Exponencial
O número e tem grande importância em diversos ramos das ciências, pois está presente em vários fenômenos naturais como por exemplo: crescimento populacional, crescimento de população de bactérias, datação por carbono, circuitos elétricos,...
- Demonstração Da Derivada Da Função Produto
A derivada de uma função pode ser representada geometricamente da seguinte maneira: Se $\Delta x$ for tão pequeno quanto quisermos, a reta que passa pelos pontos $[(x,f(x)),(x+\Delta x, f(x+\Delta x))]$, se confunde com a reta tangente no ponto $x$...
Matemática
Demonstração da Derivada da Função Exponencial
Neste artigo, veremos como encontrar a derivada da função exponencial. Para isso utilizaremos limites e o conceito de derivada.
Vamos demonstrar que, se $f(x)=e^x$, então sua derivada será $f '(x)=e^x$.
Demonstração:
Primeiramente, vamos provar o limite:\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{a^x-1}{x} = \ln(a), \quad \forall a>0
\end{equation}
Fazemos uma mudança de variável:
\begin{equation}
a^x-1=t
\end{equation}
sendo $a \neq1$.
Se $x$ tende a zero, então $t$ também tende a zero, pois:
\begin{equation}
a^0-1=t \Longrightarrow 1-1=t \Longrightarrow t=0
\end{equation}
Fazemos então:
\begin{equation}
a^x=1+t
\end{equation}
Assim, podemos escrever:
\begin{equation}
\ln(a^x)=\ln(1+t) \Longrightarrow x\ln(a) = \ln(1+t) \Longrightarrow x=\frac{\ln(1+t)}{\ln(a)}
\end{equation}
Tomando o limite inicial dado em (1), aplicamos a mudança da variável $x$ para $t$:
\begin{equation*}
\lim_{t \rightarrow 0} \frac{t}{\displaystyle \frac{\ln(1+t)}{\ln(a)}} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{t \cdot \ln(a)}{\ln(1+t)} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\ln(a)}{\displaystyle \frac{1}{t}\cdot \ln(1+t)} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\ln(a)}{\ln(1+t)^{1/t}}
\end{equation*}
Pelo limite fundamental exponencial, o limite tende a $e$:
\begin{equation}
\lim_{t\rightarrow 0} (1+t)^{1/t} = e
\end{equation}
Então, aplicando o limite, obtemos:
\begin{equation}
\frac{\ln(a)}{\ln(e)} = \frac{\ln(a)}{1} = \ln(a)
\end{equation}
Demonstrando assim, o limite inicial dado em $(1)$. Agora, utilizando o conceito de derivada, temos que:
\begin{equation}
f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}
\end{equation}
Para uma função exponencial do tipo:
\begin{equation}
f(x) = a^x , \quad \forall x \in \mathbb{R},\ a>0\ \text{e}\ a \neq 1
\end{equation}
Fazemos as devidas substituições:
\begin{equation}
f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a^{(x+\Delta x)}-a^x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a^x(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}
\end{equation}
Aplicando o limite dado em $(1)$, podemos reescrever $(10)$ como:
\begin{equation}
f'(x) = a^x \cdot \ln(a)
\end{equation}
Podemos dizer que se $f(x) = a^x$, então sua derivada será $f'(x) = a^x \cdot \ln(a)$. Mas, se fizermos $a = e$, obtemos:
\begin{equation}
f'(x) = e^x \cdot \ln(e) = e^x \cdot 1 = e^x
\end{equation}
Veja mais:
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O teorema conhecido como teste da integral (ou teste de Leibniz) para verificar convergências de séries, faz uso da teoria de integrais impróprias. Teorema $1$:Se $f(n)$ representa o termo geral $u_n$ de uma série numérica infinita de termos positivos,...
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Já vimos uma demonstração para derivada da função produto entre duas funções. Esta regra pode ser ampliada para o produto entre mais funções. Neste artigo, veremos como proceder para encontrarmos a derivada de um produto entre três funções....
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A derivada de uma função pode ser representada geometricamente da seguinte maneira: Se $\Delta x$ for tão pequeno quanto quisermos, a reta que passa pelos pontos $[(x,f(x)),(x+\Delta x, f(x+\Delta x))]$, se confunde com a reta tangente no ponto $x$...