Integral indefinida do produto de senos de monômios de coeficientes angulares diferentes
Matemática

Integral indefinida do produto de senos de monômios de coeficientes angulares diferentes


Neste artigo, veremos como encontrar uma fórmula para calcular a integral do produto de dois senos, cujos argumentos são monômios.


Vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\int \text{sen}(ax) \cdot \text{sen}(bx)\ dx=\frac{\text{sen} [(a-b) x]}{2 (a-b)} - \frac{\text{sen}[(a+b) x]}{2 (a+b)}
\end{equation*}
onde $a$ e $b$ são constantes, tal que $a$ e $b$ $\in \mathbb{R}$, sendo $a \neq |b|$.

Demonstração:

 Pelas fórmulas de somas de ângulos, temos:
\begin{equation}
\cos(m+n) = \cos(m) \cos(n) - \text{sen}(m) \text{sen}(n)
\end{equation}
e
\begin{equation}
\cos(m-n) = \cos(m) \cos(n) + \text{sen}(m) \text{sen}(n)
\end{equation}
Subtraindo $1$ de $2$, vem que:
\begin{equation*}
\cos(m-n) - \cos(m+n) = \cos(m)\cos(n) + \text{sen}(m)\text{sen}(n) \\- \cos(m) \cos(n) + \text{sen}(m)\text{sen}(n)\\
\cos(m-n)-\cos(m+n) = 2~\text{sen}(m)\text{sen}(n)
\end{equation*}
Fazendo $m=ax$ e $n=bx$, obtemos:
\begin{equation*}
\cos(ax-bx) - \cos(ax+bx) = 2~\text{sen}(ax)\text{sen}(bx)\\
\frac{1}{2}\cos[(a-b)x] -\frac{1}{2}\cos[(a+b)x] = \text{sen}(ax)\text{sen}(bx)
\end{equation*}
Integrando ambos os lados, na variável $x$:
\begin{equation*}
L=\frac{1}{2} \int \cos [(a-b)x]dx - \frac{1}{2} \int \cos[(a+b)x]dx = \int \text{sen}(ax) \text{sen}(bx)dx
\end{equation*}
\begin{equation}
L=\frac{1}{2}(I-J) = \int \text{sen}(ax) \text{sen}(bx)dx\\
\end{equation}
onde:
\begin{equation}
I = \int \cos[(a-b)x]dx
\end{equation}
e
\begin{equation}
J = \int \cos [(a+b)x]dx
\end{equation}
Seja $u(x) = (a-b)x$. Derivamos o monômio de grau um para utilizarmo-nos do teorema da derivada da função inversa na integral $I$:
\begin{equation*}
u'(x) = a-b \Longrightarrow x'(u) = \frac{dx}{du} = \frac{1}{(a-b)}
\end{equation*}
Multiplicando o diferencial por $\displaystyle 1 = \frac{du}{du}$, o que não altera o resultado da expressão, obtemos:
\begin{equation*}
I = \int \cos [(a-b)x]dx = \int \cos(u)\frac{du}{du} dx = \int \cos (u) \frac{dx}{du} du \\
 I = \int \cos(u) \frac{1}{(a-b)} du
\end{equation*}
Lembrando-nos do fato de que $(a-b)$ é uma constante, pois $a$ e $b$ também os são, o inverso da constante também deve ser, contanto que exista, ou seja $a-b \neq 0 \Longrightarrow a\neq b$.

A primeira integral se resume a:
\begin{equation}
I = \frac{1}{(a-b)} \int \cos (u) du
\end{equation}
Chegamos à simples expressão da integral da função cosseno, que em uma breve consulta às tabelas de integrais notáveis, verificamos que deve ser igual à função seno, mantendo o argumento. Daí:
\begin{equation}
I = \frac{1}{(a-b)} \int \cos(u)du = \frac{1}{(a-b)} \text{sen}(u) = \frac{\text{sen}[(a-b)x]}{(a-b)} + C_1
\end{equation}
Faremos o mesmo processo para encontrar a integral $J$.

Seja $v(x) = (a+b)x$. Assim:
\begin{equation*}
v'(x) = a+b \Longrightarrow x'(v) = \frac{dx}{dv} = \frac{1}{(a+b)}
\end{equation*}
Multiplicando o diferencial por $\displaystyle 1 = \frac{dv}{dv}$, obtemos:
\begin{equation*}
J = \int \cos[(a+b)x]dx = \int \cos(v)\frac{dv}{dv} dx = \int \cos (v) \frac{dx}{dv} dv\\
J = \int \cos(v) \frac{1}{(a+b)}dv = \frac{1}{(a+b)} \int \cos(v)dv
\end{equation*}
Integrando obtemos:
\begin{equation}
J = \frac{1}{(a+b)} \int \cos(v)dv = \frac{1}{(a+b)} \text{sen}(v) = \frac{\text{sen}[(a+b)x]}{(a+b)} + C_2
\end{equation}
Novamente devemos verificar as condições de existência da constante. Uma rápida verificação nos mostra que $a+b \neq 0 \Longrightarrow a \neq -b$.

Unindo as relações $(7)$ e $(8)$ na integral $(3)$, obtemos:
\begin{equation*}
\int \text{sen}(ax) \text{sen}(bx) = \frac{1}{2}(I-J) = \frac{\text{sen}[(a-b)x]}{2(a-b)} - \frac{\text{sen}[(a+b)x]}{2(a+b)} + C
\end{equation*}

Autor: Mikael Marcondes
Graduação em Física pela USP e
Técnico em Eletrônica

Veja mais:

Resolução da integral $\int \text{sen}(3x) \text{sen}(5x)dx$
Fórmula de redução para alguns casos de integrais
Teste da integral para convergência de séries


Imprimir






- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2}dx$
Nesta postagem, vamos provar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{x^2+a^2}\ dx = \frac{1}{a}\text{arctg}\left(\frac{x}{a}\right) + C \end{equation*} onde $a$ é uma constante, tal que $a \in \mathbb{R}^\ast$, sendo $x^2 + a^2 \neq 0$. Seja a integral:...

- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \text{sen}^2 (ax)dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \text{sen}^2(ax)dx = \frac{x}{2} - \frac{\text{sen}(2ax)}{4a} + C \end{equation*} onde $a \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0$. Seja a integral: \begin{equation*} I = \int \text{sen}^2(ax)dx \end{equation*}...

- Resolução Da Integral $\int \frac{x^2}{(4-x^2)^{3/2}}dx$
Li em um livro, talvez no do Simmons ou do Foulis, que integrar é uma arte. E é verdade. Quanto mais resolvo, mais percebo que não basta apenas o trivial. Esta integral foi enviada por um leitor por e-mail. Só consegui resolvê-la com uma ajuda da...

- Resolução Da Integral $ \int \text{sen}(3x) \text{sen}(5x)dx$
Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma produto de senos em uma subtração de cossenos. Seja a integral: \begin{equation} I = \int \text{sen}(3x)...

- Resolução Da Integral $\int \cos(x) \cos(2x)dx$
Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em soma. Seja a integral: \begin{equation} \int \cos(2x) \cos(x) dx \end{equation}...



Matemática








.