Matemática
Li em um livro, talvez no do Simmons ou do Foulis, que integrar é uma arte. E é verdade. Quanto mais resolvo, mais percebo que não basta apenas o trivial.
Esta integral foi enviada por um leitor por e-mail. Só consegui resolvê-la com uma ajuda da Wolfram. Ao resolvermos esta integral, faremos uma substituição nada trivial. No entanto, após uma manipulação de identidades trigonométricas, chegamos a um resultado satisfatório.
Seja a integral:
\begin{equation}
I = \int \frac{x^2}{(4-x^2)^{3/2}}dx = \int \frac{x^2}{\sqrt{(4-x^2)^3}} dx
\end{equation}
Fazemos a substituição no integrando: $x=2\text{sen}(u)$ e $dx=2\cos (u)du$, de modo que o denominador fica:
\begin{equation*}
\sqrt{(4-x^2)^3} = \sqrt{(4-(2\text{sen}(u))^2)^3} = \sqrt{(4-4\text{sen}^2(u))^3} =(4-4\text{sen}^2(u))\sqrt{(4-4\text{sen}^2(u)} =4(1-\text{sen}^2(u))\sqrt{4(1-\text{sen}^2(u))} = 8\cos ^2(u) \cdot \cos(u) = 8\cos ^3(u)
\end{equation*}
Assim, a integral inicial fica:
\begin{equation*}
I = \int \frac{(2 \text{sen}(u))^2 \cdot 2\cos (u)}{8 \cos ^3(u)}du\\
\ \\
I = \int \frac{4 \text{sen}^2(u) \cdot 2\cos (u)}{8 \cos ^3(u)}du\\
\ \\
I = \int \frac{\text{sen}^2(u)}{\cos ^2(u)}du\\
\ \\
I = \int \text{tg}^2(u)du
\end{equation*}
Podemos escrever $\text{tg}^2(u) = \sec ^2(u)-1$:
\begin{equation*}
I = \int \left(\sec ^2(u) - 1 \right) du\\
\ \\
I = \int \sec ^2(u) du - \int 1 du\\
\ \\
I = \text{tg}(u) - u + C
\end{equation*}
Mas $\displaystyle u= \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right)$:
\begin{equation*}
I = \text{tg}\left(\text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) \right) - \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + C
\end{equation*}
No entanto, $\displaystyle \text{tg} \left( \text{arcsen}(t)\right) = \frac{t}{\sqrt{1-t^2}}$:
\begin{equation*}
I = \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\displaystyle \sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}} - \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + C \\
\ \\
I = \frac{x}{\displaystyle 2 \sqrt{1-\frac{x^2}{4}}} - \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + C \\
\ \\
I = \frac{x}{\displaystyle \sqrt{4\left( \frac{4 - x^2}{4}\right)}}- \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + C \\
\ \\
I = \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} - \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + C
\end{equation*}
Como resultado do processo de integração acima, temos que:
\begin{equation*}
\int \frac{x^2}{(4-x^2)^{3/2}}dx = \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} - \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + C
\end{equation*}
Aplicando os limites de integração, obtemos:
\begin{equation*}
I = \int_0^1 \frac{x^2}{(4-x^2)^{3/2}}dx = \left[\frac{x}{\sqrt{4-x^2}} - \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right)\right]_0^1\\
\ \\
I = \frac{1}{\sqrt{3}} - \text{arcsen}\left(\frac{1}{2}\right) \\
\ \\
I = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\pi}{6} \approx 0,053751 \ u.a.
\end{equation*}
Graficamente, temos:
Método de integração por substituição trigonométrica
Funções trigonométricas inversas: a função arco seno
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a}\ Dx$
Nesta postagem, vamos provar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{x^2+a}\ dx = \frac{\displaystyle \text{arctg}\left( \frac{x}{\sqrt{a}}\right)}{\sqrt{a}}+C \end{equation*} onde $a$ é uma constante, tal que $a \in \mathbb{R}^\ast$, sendo $x^2+a \neq...
- Resolução Da Integral $ \int \text{sen}(3x) \text{sen}(5x)dx$
Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma produto de senos em uma subtração de cossenos. Seja a integral: \begin{equation} I = \int \text{sen}(3x)...
- Resolução Da Integral $\int \cos(x) \cos(2x)dx$
Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em soma. Seja a integral: \begin{equation} \int \cos(2x) \cos(x) dx \end{equation}...
- Integral De $\displaystyle \frac{\sqrt{16-x^2}}{4x^2}dx$
Às vezes surgem dúvidas de leitores que valem um post. A resolução desta integral é interessante e usa o método de substituição trigonométrica. Seja a integral: \begin{equation*} \int \frac{\sqrt{16-x^2}}{4x^2}dx = I \end{equation*} Vejam o artigo...
- Integral De $1/(1+x^2)^2dx$
Considere a integral: $$\int \left ( \frac{1}{1+x^2} \right )^2$$ Para resolvê-la, utilizamos uma substiruição trigonométrica, fazendo: \begin{matrix} x&=&\tan(u)\\ dx&=&\sec^2(u)du\\ \end{matrix} Assim temos: \begin{equation} \int...
Matemática
Resolução da integral $\int \frac{x^2}{(4-x^2)^{3/2}}dx$
Li em um livro, talvez no do Simmons ou do Foulis, que integrar é uma arte. E é verdade. Quanto mais resolvo, mais percebo que não basta apenas o trivial.
Esta integral foi enviada por um leitor por e-mail. Só consegui resolvê-la com uma ajuda da Wolfram. Ao resolvermos esta integral, faremos uma substituição nada trivial. No entanto, após uma manipulação de identidades trigonométricas, chegamos a um resultado satisfatório.
Seja a integral:
\begin{equation}
I = \int \frac{x^2}{(4-x^2)^{3/2}}dx = \int \frac{x^2}{\sqrt{(4-x^2)^3}} dx
\end{equation}
Fazemos a substituição no integrando: $x=2\text{sen}(u)$ e $dx=2\cos (u)du$, de modo que o denominador fica:
\begin{equation*}
\sqrt{(4-x^2)^3} = \sqrt{(4-(2\text{sen}(u))^2)^3} = \sqrt{(4-4\text{sen}^2(u))^3} =(4-4\text{sen}^2(u))\sqrt{(4-4\text{sen}^2(u)} =4(1-\text{sen}^2(u))\sqrt{4(1-\text{sen}^2(u))} = 8\cos ^2(u) \cdot \cos(u) = 8\cos ^3(u)
\end{equation*}
Assim, a integral inicial fica:
\begin{equation*}
I = \int \frac{(2 \text{sen}(u))^2 \cdot 2\cos (u)}{8 \cos ^3(u)}du\\
\ \\
I = \int \frac{4 \text{sen}^2(u) \cdot 2\cos (u)}{8 \cos ^3(u)}du\\
\ \\
I = \int \frac{\text{sen}^2(u)}{\cos ^2(u)}du\\
\ \\
I = \int \text{tg}^2(u)du
\end{equation*}
Podemos escrever $\text{tg}^2(u) = \sec ^2(u)-1$:
\begin{equation*}
I = \int \left(\sec ^2(u) - 1 \right) du\\
\ \\
I = \int \sec ^2(u) du - \int 1 du\\
\ \\
I = \text{tg}(u) - u + C
\end{equation*}
Mas $\displaystyle u= \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right)$:
\begin{equation*}
I = \text{tg}\left(\text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) \right) - \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + C
\end{equation*}
No entanto, $\displaystyle \text{tg} \left( \text{arcsen}(t)\right) = \frac{t}{\sqrt{1-t^2}}$:
\begin{equation*}
I = \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\displaystyle \sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}} - \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + C \\
\ \\
I = \frac{x}{\displaystyle 2 \sqrt{1-\frac{x^2}{4}}} - \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + C \\
\ \\
I = \frac{x}{\displaystyle \sqrt{4\left( \frac{4 - x^2}{4}\right)}}- \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + C \\
\ \\
I = \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} - \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + C
\end{equation*}
Exemplo $1$:
Calcular a integral definida $\displaystyle I = \int_0^1 \frac{x^2}{(4-x^2)^{3/2}}dx$.Como resultado do processo de integração acima, temos que:
\begin{equation*}
\int \frac{x^2}{(4-x^2)^{3/2}}dx = \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} - \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + C
\end{equation*}
Aplicando os limites de integração, obtemos:
\begin{equation*}
I = \int_0^1 \frac{x^2}{(4-x^2)^{3/2}}dx = \left[\frac{x}{\sqrt{4-x^2}} - \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right)\right]_0^1\\
\ \\
I = \frac{1}{\sqrt{3}} - \text{arcsen}\left(\frac{1}{2}\right) \\
\ \\
I = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\pi}{6} \approx 0,053751 \ u.a.
\end{equation*}
Graficamente, temos:
Veja mais:
Método de integração por substituiçãoMétodo de integração por substituição trigonométrica
Funções trigonométricas inversas: a função arco seno
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a}\ Dx$
Nesta postagem, vamos provar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{x^2+a}\ dx = \frac{\displaystyle \text{arctg}\left( \frac{x}{\sqrt{a}}\right)}{\sqrt{a}}+C \end{equation*} onde $a$ é uma constante, tal que $a \in \mathbb{R}^\ast$, sendo $x^2+a \neq...
- Resolução Da Integral $ \int \text{sen}(3x) \text{sen}(5x)dx$
Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma produto de senos em uma subtração de cossenos. Seja a integral: \begin{equation} I = \int \text{sen}(3x)...
- Resolução Da Integral $\int \cos(x) \cos(2x)dx$
Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em soma. Seja a integral: \begin{equation} \int \cos(2x) \cos(x) dx \end{equation}...
- Integral De $\displaystyle \frac{\sqrt{16-x^2}}{4x^2}dx$
Às vezes surgem dúvidas de leitores que valem um post. A resolução desta integral é interessante e usa o método de substituição trigonométrica. Seja a integral: \begin{equation*} \int \frac{\sqrt{16-x^2}}{4x^2}dx = I \end{equation*} Vejam o artigo...
- Integral De $1/(1+x^2)^2dx$
Considere a integral: $$\int \left ( \frac{1}{1+x^2} \right )^2$$ Para resolvê-la, utilizamos uma substiruição trigonométrica, fazendo: \begin{matrix} x&=&\tan(u)\\ dx&=&\sec^2(u)du\\ \end{matrix} Assim temos: \begin{equation} \int...