Matemática
Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em soma.
Seja a integral:
\begin{equation}
\int \cos(2x) \cos(x) dx
\end{equation}
Temos um produto de cossenos e os cálculos são facilitados utilizando a seguinte identidade trigonométrica, que transforma um produto de cossenos em uma soma:
\begin{equation}
\cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2} \left[ \cos(a-b) + \cos(a+b) \right]
\end{equation}
Tomando esta identidade, fazemos $a=2x$ e $b=x$. Assim, a integral se transforma:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2}\int \left[ \cos(2x-x) + \cos(2x+x)\right ] dx\\
I = \frac{1}{2}\int \left[ \cos(x) + \cos(3x)\right]dx
\end{equation}
Integrando termo a termo:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2} \int \cos(x) dx + \frac{1}{2} \int \cos(3x) dx
\end{equation}
A integral de $\cos(x) = \text{sen}(x)$. Assim:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{2} \int \cos(3x) dx
\end{equation}
Para o integrando $\cos(3x)$, usamos a substituição $u=3x$. Assim, $du=3dx$ e $\displaystyle dx=\frac{1}{3} du$:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{2} \frac{1}{3} \int \cos(u) du\\
I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{6} \int \cos(u) du\\
I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{6} \text{sen}(u) + C\\
I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{6} \text{sen}(3x) + C
\end{equation*}
ou
\begin{equation*}
I = \frac{1}{2} \left[\text{sen}(x) + \frac{1}{3} \text{sen}(3x)\right] + C
\end{equation*}
ou ainda:
\begin{equation}
I = \frac{1}{6} \left[ 3~\text{sen}(x) + \text{sen}(3x) \right] + C
\end{equation}
A integral definida fica:
\begin{equation*}
I = \int_0^{\pi /2} \cos(x)\cos(2x)dx
\end{equation*}
\begin{equation*}
I = \left[\frac{1}{2} \text{sen}(x) +\frac{1}{6} \text{sen}(3x)\right]_0^{\pi/2}\\
I = \left[\frac{1}{2} \text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)+\frac{1}{6}\text{sen}\left(\frac{3\pi}{2}\right)\right] - \left[\frac{1}{2}\text{sen}(0)+\frac{1}{6}\text{sen}(0)\right]\\
I = \frac{1}{2}\cdot 1 + \frac{1}{6}\cdot(-1)\\
I = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \approx 0,33333
\end{equation*}
Método de integração por substituição
Teste da integral para convergências de séries
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2}dx$
Nesta postagem, vamos provar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{x^2+a^2}\ dx = \frac{1}{a}\text{arctg}\left(\frac{x}{a}\right) + C \end{equation*} onde $a$ é uma constante, tal que $a \in \mathbb{R}^\ast$, sendo $x^2 + a^2 \neq 0$. Seja a integral:...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \text{sen}^2 (ax)dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \text{sen}^2(ax)dx = \frac{x}{2} - \frac{\text{sen}(2ax)}{4a} + C \end{equation*} onde $a \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0$. Seja a integral: \begin{equation*} I = \int \text{sen}^2(ax)dx \end{equation*}...
- Resolução Da Integral $\int \frac{x^2}{(4-x^2)^{3/2}}dx$
Li em um livro, talvez no do Simmons ou do Foulis, que integrar é uma arte. E é verdade. Quanto mais resolvo, mais percebo que não basta apenas o trivial. Esta integral foi enviada por um leitor por e-mail. Só consegui resolvê-la com uma ajuda da...
- Integral Indefinida Do Produto De Cossenos De Monômios De Coeficientes Angulares Diferentes
Neste artigo, veremos como encontrar uma fórmula para calcular a integral do produto de dois cossenos, cujos argumentos são monômios. Vamos demonstrar que: \begin{equation} \int \cos(ax) \cos(bx)dx = \frac{\text{sen}[(a-b)x]}{2(a-b)} + \frac{\text{sen}[(a+b)x]}{2(a+b)}...
- Integral De $1/(1+x^2)^2dx$
Considere a integral: $$\int \left ( \frac{1}{1+x^2} \right )^2$$ Para resolvê-la, utilizamos uma substiruição trigonométrica, fazendo: \begin{matrix} x&=&\tan(u)\\ dx&=&\sec^2(u)du\\ \end{matrix} Assim temos: \begin{equation} \int...
Matemática
Resolução da integral $\int \cos(x) \cos(2x)dx$
Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em soma.
Seja a integral:
\begin{equation}
\int \cos(2x) \cos(x) dx
\end{equation}
Temos um produto de cossenos e os cálculos são facilitados utilizando a seguinte identidade trigonométrica, que transforma um produto de cossenos em uma soma:
\begin{equation}
\cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2} \left[ \cos(a-b) + \cos(a+b) \right]
\end{equation}
Tomando esta identidade, fazemos $a=2x$ e $b=x$. Assim, a integral se transforma:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2}\int \left[ \cos(2x-x) + \cos(2x+x)\right ] dx\\
I = \frac{1}{2}\int \left[ \cos(x) + \cos(3x)\right]dx
\end{equation}
Integrando termo a termo:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2} \int \cos(x) dx + \frac{1}{2} \int \cos(3x) dx
\end{equation}
A integral de $\cos(x) = \text{sen}(x)$. Assim:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{2} \int \cos(3x) dx
\end{equation}
Para o integrando $\cos(3x)$, usamos a substituição $u=3x$. Assim, $du=3dx$ e $\displaystyle dx=\frac{1}{3} du$:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{2} \frac{1}{3} \int \cos(u) du\\
I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{6} \int \cos(u) du\\
I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{6} \text{sen}(u) + C\\
I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{6} \text{sen}(3x) + C
\end{equation*}
ou
\begin{equation*}
I = \frac{1}{2} \left[\text{sen}(x) + \frac{1}{3} \text{sen}(3x)\right] + C
\end{equation*}
ou ainda:
\begin{equation}
I = \frac{1}{6} \left[ 3~\text{sen}(x) + \text{sen}(3x) \right] + C
\end{equation}
Exemplo $1$:
Vamos determinar a área sob a curva $\cos(x)\cos(2x)$ no intervalo $[0,\pi/2]$.A integral definida fica:
\begin{equation*}
I = \int_0^{\pi /2} \cos(x)\cos(2x)dx
\end{equation*}
\begin{equation*}
I = \left[\frac{1}{2} \text{sen}(x) +\frac{1}{6} \text{sen}(3x)\right]_0^{\pi/2}\\
I = \left[\frac{1}{2} \text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)+\frac{1}{6}\text{sen}\left(\frac{3\pi}{2}\right)\right] - \left[\frac{1}{2}\text{sen}(0)+\frac{1}{6}\text{sen}(0)\right]\\
I = \frac{1}{2}\cdot 1 + \frac{1}{6}\cdot(-1)\\
I = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \approx 0,33333
\end{equation*}
Veja mais:
Integral de $\cos^2(x)dx$Método de integração por substituição
Teste da integral para convergências de séries
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2}dx$
Nesta postagem, vamos provar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{x^2+a^2}\ dx = \frac{1}{a}\text{arctg}\left(\frac{x}{a}\right) + C \end{equation*} onde $a$ é uma constante, tal que $a \in \mathbb{R}^\ast$, sendo $x^2 + a^2 \neq 0$. Seja a integral:...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \text{sen}^2 (ax)dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \text{sen}^2(ax)dx = \frac{x}{2} - \frac{\text{sen}(2ax)}{4a} + C \end{equation*} onde $a \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0$. Seja a integral: \begin{equation*} I = \int \text{sen}^2(ax)dx \end{equation*}...
- Resolução Da Integral $\int \frac{x^2}{(4-x^2)^{3/2}}dx$
Li em um livro, talvez no do Simmons ou do Foulis, que integrar é uma arte. E é verdade. Quanto mais resolvo, mais percebo que não basta apenas o trivial. Esta integral foi enviada por um leitor por e-mail. Só consegui resolvê-la com uma ajuda da...
- Integral Indefinida Do Produto De Cossenos De Monômios De Coeficientes Angulares Diferentes
Neste artigo, veremos como encontrar uma fórmula para calcular a integral do produto de dois cossenos, cujos argumentos são monômios. Vamos demonstrar que: \begin{equation} \int \cos(ax) \cos(bx)dx = \frac{\text{sen}[(a-b)x]}{2(a-b)} + \frac{\text{sen}[(a+b)x]}{2(a+b)}...
- Integral De $1/(1+x^2)^2dx$
Considere a integral: $$\int \left ( \frac{1}{1+x^2} \right )^2$$ Para resolvê-la, utilizamos uma substiruição trigonométrica, fazendo: \begin{matrix} x&=&\tan(u)\\ dx&=&\sec^2(u)du\\ \end{matrix} Assim temos: \begin{equation} \int...