Matemática
O teorema conhecido como teste da integral (ou teste de Leibniz) para verificar convergências de séries, faz uso da teoria de integrais impróprias.
\begin{equation*}
\int_{\xi}^{+\infty} f(x)dx
\end{equation*}
convergir ou a série será divergente se ela divergir.
\begin{equation*}
i-1 \leq \overline{x} \leq i
\end{equation*}
e
\begin{equation}
\int_{i-1}^{i} f(x) dx = f(\overline{x})
\end{equation}
Como $f$ é uma função decrescente, temos que:
\begin{equation}
f(i-1) \geq f(\overline{x}) \geq f(i)
\end{equation}
Assim, substituindo $(1)$ em $(2)$, obtemos:
\begin{equation}
f(i-1) \geq \int_{i-1}^{i} f(x)dx \geq f(i)
\end{equation}
Se $n$ for um número inteiro positivo $\geq \xi$, teremos:
\begin{equation}
\sum_{i=2}^{n} f(i-1) \geq \sum_{i=2}^{n} \int_{i-1}^{i} f(x)dx \geq \sum_{i=2}^{n} f(i)
\end{equation}
Se e somente se:
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^{n-1} f(j) \geq \int_1^2 f(x)dx + \cdots + \int_{n-1}^n f(x)dx \geq \sum_{i=1}^n f(i)-f(1)
\end{equation*}
ou seja,
\begin{equation}
\sum_{i=1}^{n-1} f(i) \geq \int_1^n f(x)dx \geq \sum_{i=1}^n f(i)-f(1)
\end{equation}
Assim, desta expressão segue que:
\begin{equation*}
\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n f(i) \leq f(1) + \lim_{n \rightarrow \infty} \int_1^n f(x)dx \leq f(1) + \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n-1} f(i)
\end{equation*}
Observe que o somatório nesta expressão é a sequência das somas parciais da série, isto é:
\begin{equation*}
S_n = \sum_{i=1}^n f(i)
\end{equation*}
de modo que:
\begin{equation}
\lim_{n \rightarrow \infty} S_n \leq f(1) + \lim_{n \rightarrow \infty} \int_1^n f(x)dx \leq f(1) + \lim_{n \rightarrow \infty} S_{n-1}
\end{equation}
Se a integral imprópria converge, isto é, se:
\begin{equation*}
\lim_{n \rightarrow \infty} \int_1^n f(x)dx = L
\end{equation*}
Então, de $(6)$, $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} S_n \leq f(1)+L$, e sendo $u_n$ uma sequência de termos positivos, então a sequência $S_n$ é crescente e, portanto converge. Reciprocamente, se a série:
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^\infty f(i)
\end{equation*}
isto é, se $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} S_n$ existe, segue da segunda desigualdade acima que a integral imprópria converge.
Suponha agora que:
\begin{equation*}
\lim_{n \rightarrow +\infty} \int_1^n f(x)dx = +\infty
\end{equation*}
Da expressão:
\begin{equation*}
\lim_{n \rightarrow \infty} \int_1^n f(x)dx \leq f(1) + \lim_{n \rightarrow \infty} S_{n-1}
\end{equation*}
Segue que:
\begin{equation*}
\lim_{n \rightarrow +\infty} S_n = +\infty
\end{equation*}
ou seja,
\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty} f(n) ~\text{será divergente}
\end{equation*}
de forma análoga, se a série dada for divergente, então da desigualdade:
\begin{equation*}
\lim_{n \rightarrow \infty} S_n \leq f(1) + \lim_{n \rightarrow \infty} \int_1^n f(x)dx
\end{equation*}
segue que a integral imprópria diverge.
O termo geral $u_n$ é igual a:
\begin{equation*}
u_n = f(n) = \frac{1}{\sqrt{2n+1}}
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}
\end{equation*}
No intervalo $x>1$, $f(x)>0$ e é decrescente, pois é fácil mostrar que a derivada é negativa para $x>1$. Tomando $\xi = 1$:
\begin{equation*}
\int_{\xi}^{+\infty} f(x)dx = \lim_{p \rightarrow + \infty} \int_{\xi}^{p} f(x)dx = \lim_{p \rightarrow + \infty} \int_1^p \frac{dx}{\sqrt{2n+1}}=\\
\ \\
= \lim_{p \rightarrow + \infty} \left[ \sqrt{2x+1}\right]_1^p = \lim_{ p \rightarrow + \infty} \sqrt{2p+1}-\sqrt{3} = +\infty
\end{equation*}
A integral não existe e a série é divergente.
O termo geral $u_n$ desta sequência é:
\begin{equation*}
u_n = f(n) = \frac{1}{4n^2}
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
f(x) = \frac{1}{4x^2}
\end{equation*}
No intervalo $x>1$, $f(x) > 0$ e é decrescente, pois $\displaystyle f^\prime (x) = -\frac{1}{2x^8}<0$ para $x>0$. Tomando $\xi = 1$:
\begin{equation*}
\int_{\xi}^{\infty} f(x)dx = \lim_{p \rightarrow +\infty} \int_{\xi}^p f(x)dx = \lim_{p \rightarrow + \infty} \int_1^p \frac{dx}{4x^2}=\\
\ \\
= \frac{1}{4} \lim_{p \rightarrow +\infty} \left[-\frac{1}{x}\right]_1^u = \frac{1}{4} \lim_{p \rightarrow + \infty} \left[-\frac{1}{u} + 1 \right] = \frac{1}{4}
\end{equation*}
Desta forma, a integral existe e a série é convergente.
O termo geral $u_n$ desta sequência é:
\begin{equation*}
u_n = f(n) = \frac{1}{n^p}
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
f(x) = \frac{1}{x^p}
\end{equation*}
No intervalo $x>1$, $f(x)>0$ e é decrescente. Tomando $\xi = 1$:
\begin{equation*}
\int_{\xi}^{+\infty} f(x)dx = \lim_{t \rightarrow+ \infty} \int_{\xi}^t f(x)dx = \lim_{t \rightarrow+ \infty} \int_1^t \frac{dx}{x^p}=\\
\ \\
= \lim_{t \rightarrow + \infty} \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_1^t = \frac{1}{1-p}\left( \lim_{t \rightarrow + \infty}\left[ u^{1-p}-1 \right] \right)
\end{equation*}
Podemos ter três possibilidades:
Se $p>1$, temos que:
\begin{equation*}
\frac{1}{1-p}\left( \lim_{u \rightarrow + \infty}\left[ u^{1-p}-1\right] \right) = \frac{1}{1-p}\left( \lim_{u \rightarrow + \infty}\left[ \frac{1}{u^{~p-1}}-1 \right] \right)=\frac{1}{p-1}
\end{equation*}
e a série converge.
Se $p<1$, temos que:
\begin{equation*}
\frac{1}{1-p}\left(\lim_{u \rightarrow + \infty}\left[ u^{1-p}-1 \right] \right) = +\infty
\end{equation*}
e a série converge.
Se $p=1$, temos uma série harmônica:
\begin{equation*}
1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}+\cdots
\end{equation*}
Assim, o termo geral $u^n$ será:
\begin{equation*}
u_n = f(n) = \frac{1}{n}
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
f(x) = \frac{1}{x}
\end{equation*}
No intervalo $x>1$, $f(x)>0$ e é decrescente. Tomando $\xi = 1$:
\begin{equation*}
\int_{\xi}^{+\infty} f(x)dx = \lim_{t \rightarrow + \infty} \int_{\xi}^t f(x)dx = \lim_{t \rightarrow + \infty} \int_1^t \frac{dx}{x} = \\
\ \\
= \lim_{t \rightarrow + \infty} \left[ \ln(x)\right]_1^t = \lim_{t \rightarrow + \infty}\left[ \ln(u)\right] = \infty
\end{equation*}
e a série diverge.
\begin{equation*}
\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{\ln(n)}{n^2}
\end{equation*}
Sugestão: Use o fato que a função $g(x) = \cfrac{\ln(x)}{x}$ é decrescente para $x> e$ e, portanto, tende a zero para $x \rightarrow +\infty$.
[2] Cálculo Diferencial e Integral - Frank Ayres Jr.
Leibniz e as Diferenciais
Calculando Somas Através da Derivada no blog Fatos Matemáticos
Uma Identidade entre Séries e Integrais no blog Fatos Matemáticos
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Por:Kleber KilhianPaulo Sérgio Costa Lino A função erro $erf(x)$ tem uma longa história que começa com os artigos de De Moivre $(1718-1733)$ e Laplace $(1774)$, onde foi expressa através da seguinte integral:$$\int e^{-t^2}dt$$ Mais tarde, Kramp...
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Quando escrevemos uma integral definida como: \begin{equation} \int_a^b f(x)dx \end{equation} admitimos que o limite de integração são números finitos e que o integrando $f(x)$ é uma função contínua no intervalo limitado $a \leq x \leq b$. Sua...
- Demonstração Da Derivada Da Função Exponencial
Neste artigo, veremos como encontrar a derivada da função exponencial. Para isso utilizaremos limites e o conceito de derivada. Vamos demonstrar que, se $f(x)=e^x$, então sua derivada será $f '(x)=e^x$. Demonstração:Primeiramente, vamos provar...
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Neste artigo, veremos uma demonstração de como encontrar a derivada da função logarítmica usando o conceito de derivada e limites. Iremos provar que, se $ f(x) = \ln(x)$, então sua derivada será $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}$. Demonstração:Seja...
- Demonstração Da Derivada Da Função Produto
A derivada de uma função pode ser representada geometricamente da seguinte maneira: Se $\Delta x$ for tão pequeno quanto quisermos, a reta que passa pelos pontos $[(x,f(x)),(x+\Delta x, f(x+\Delta x))]$, se confunde com a reta tangente no ponto $x$...
Matemática
Teste da Integral para Convergência de Séries
O teorema conhecido como teste da integral (ou teste de Leibniz) para verificar convergências de séries, faz uso da teoria de integrais impróprias.
Teorema $1$:
Se $f(n)$ representa o termo geral $u_n$ de uma série numérica infinita de termos positivos, $u_1+u_2+u_3+\cdots$, e se $f(x)$ é decrescente para $x > \xi$, onde $\xi$ é um número positivo, a série será convergente se a integral imprópria\begin{equation*}
\int_{\xi}^{+\infty} f(x)dx
\end{equation*}
convergir ou a série será divergente se ela divergir.
Demonstração:
Seja $i$ um número inteiro positivo $\geq \xi$. Pelo teorema do valor médio para integrais, existe um número $\overline{x}$ tal que:\begin{equation*}
i-1 \leq \overline{x} \leq i
\end{equation*}
e
\begin{equation}
\int_{i-1}^{i} f(x) dx = f(\overline{x})
\end{equation}
Como $f$ é uma função decrescente, temos que:
\begin{equation}
f(i-1) \geq f(\overline{x}) \geq f(i)
\end{equation}
Assim, substituindo $(1)$ em $(2)$, obtemos:
\begin{equation}
f(i-1) \geq \int_{i-1}^{i} f(x)dx \geq f(i)
\end{equation}
Se $n$ for um número inteiro positivo $\geq \xi$, teremos:
\begin{equation}
\sum_{i=2}^{n} f(i-1) \geq \sum_{i=2}^{n} \int_{i-1}^{i} f(x)dx \geq \sum_{i=2}^{n} f(i)
\end{equation}
Se e somente se:
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^{n-1} f(j) \geq \int_1^2 f(x)dx + \cdots + \int_{n-1}^n f(x)dx \geq \sum_{i=1}^n f(i)-f(1)
\end{equation*}
ou seja,
\begin{equation}
\sum_{i=1}^{n-1} f(i) \geq \int_1^n f(x)dx \geq \sum_{i=1}^n f(i)-f(1)
\end{equation}
Assim, desta expressão segue que:
\begin{equation*}
\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n f(i) \leq f(1) + \lim_{n \rightarrow \infty} \int_1^n f(x)dx \leq f(1) + \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n-1} f(i)
\end{equation*}
Observe que o somatório nesta expressão é a sequência das somas parciais da série, isto é:
\begin{equation*}
S_n = \sum_{i=1}^n f(i)
\end{equation*}
de modo que:
\begin{equation}
\lim_{n \rightarrow \infty} S_n \leq f(1) + \lim_{n \rightarrow \infty} \int_1^n f(x)dx \leq f(1) + \lim_{n \rightarrow \infty} S_{n-1}
\end{equation}
Se a integral imprópria converge, isto é, se:
\begin{equation*}
\lim_{n \rightarrow \infty} \int_1^n f(x)dx = L
\end{equation*}
Então, de $(6)$, $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} S_n \leq f(1)+L$, e sendo $u_n$ uma sequência de termos positivos, então a sequência $S_n$ é crescente e, portanto converge. Reciprocamente, se a série:
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^\infty f(i)
\end{equation*}
isto é, se $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} S_n$ existe, segue da segunda desigualdade acima que a integral imprópria converge.
Suponha agora que:
\begin{equation*}
\lim_{n \rightarrow +\infty} \int_1^n f(x)dx = +\infty
\end{equation*}
Da expressão:
\begin{equation*}
\lim_{n \rightarrow \infty} \int_1^n f(x)dx \leq f(1) + \lim_{n \rightarrow \infty} S_{n-1}
\end{equation*}
Segue que:
\begin{equation*}
\lim_{n \rightarrow +\infty} S_n = +\infty
\end{equation*}
ou seja,
\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty} f(n) ~\text{será divergente}
\end{equation*}
de forma análoga, se a série dada for divergente, então da desigualdade:
\begin{equation*}
\lim_{n \rightarrow \infty} S_n \leq f(1) + \lim_{n \rightarrow \infty} \int_1^n f(x)dx
\end{equation*}
segue que a integral imprópria diverge.
Exemplo $1$:
Verificar a convergência da série $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{9}}+\cdots $.O termo geral $u_n$ é igual a:
\begin{equation*}
u_n = f(n) = \frac{1}{\sqrt{2n+1}}
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}
\end{equation*}
No intervalo $x>1$, $f(x)>0$ e é decrescente, pois é fácil mostrar que a derivada é negativa para $x>1$. Tomando $\xi = 1$:
\begin{equation*}
\int_{\xi}^{+\infty} f(x)dx = \lim_{p \rightarrow + \infty} \int_{\xi}^{p} f(x)dx = \lim_{p \rightarrow + \infty} \int_1^p \frac{dx}{\sqrt{2n+1}}=\\
\ \\
= \lim_{p \rightarrow + \infty} \left[ \sqrt{2x+1}\right]_1^p = \lim_{ p \rightarrow + \infty} \sqrt{2p+1}-\sqrt{3} = +\infty
\end{equation*}
A integral não existe e a série é divergente.
Exemplo $2$:
Verificar a convergência da série $\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{16}+\cfrac{1}{36}+\cfrac{1}{64}+\cdots$.O termo geral $u_n$ desta sequência é:
\begin{equation*}
u_n = f(n) = \frac{1}{4n^2}
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
f(x) = \frac{1}{4x^2}
\end{equation*}
No intervalo $x>1$, $f(x) > 0$ e é decrescente, pois $\displaystyle f^\prime (x) = -\frac{1}{2x^8}<0$ para $x>0$. Tomando $\xi = 1$:
\begin{equation*}
\int_{\xi}^{\infty} f(x)dx = \lim_{p \rightarrow +\infty} \int_{\xi}^p f(x)dx = \lim_{p \rightarrow + \infty} \int_1^p \frac{dx}{4x^2}=\\
\ \\
= \frac{1}{4} \lim_{p \rightarrow +\infty} \left[-\frac{1}{x}\right]_1^u = \frac{1}{4} \lim_{p \rightarrow + \infty} \left[-\frac{1}{u} + 1 \right] = \frac{1}{4}
\end{equation*}
Desta forma, a integral existe e a série é convergente.
Exemplo $3$:
Verificar se a convergência da série $1+\cfrac{1}{2^p}+\cfrac{1}{3^p}+\cfrac{1}{4^p}+\cdots$.O termo geral $u_n$ desta sequência é:
\begin{equation*}
u_n = f(n) = \frac{1}{n^p}
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
f(x) = \frac{1}{x^p}
\end{equation*}
No intervalo $x>1$, $f(x)>0$ e é decrescente. Tomando $\xi = 1$:
\begin{equation*}
\int_{\xi}^{+\infty} f(x)dx = \lim_{t \rightarrow+ \infty} \int_{\xi}^t f(x)dx = \lim_{t \rightarrow+ \infty} \int_1^t \frac{dx}{x^p}=\\
\ \\
= \lim_{t \rightarrow + \infty} \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_1^t = \frac{1}{1-p}\left( \lim_{t \rightarrow + \infty}\left[ u^{1-p}-1 \right] \right)
\end{equation*}
Podemos ter três possibilidades:
Se $p>1$, temos que:
\begin{equation*}
\frac{1}{1-p}\left( \lim_{u \rightarrow + \infty}\left[ u^{1-p}-1\right] \right) = \frac{1}{1-p}\left( \lim_{u \rightarrow + \infty}\left[ \frac{1}{u^{~p-1}}-1 \right] \right)=\frac{1}{p-1}
\end{equation*}
e a série converge.
Se $p<1$, temos que:
\begin{equation*}
\frac{1}{1-p}\left(\lim_{u \rightarrow + \infty}\left[ u^{1-p}-1 \right] \right) = +\infty
\end{equation*}
e a série converge.
Se $p=1$, temos uma série harmônica:
\begin{equation*}
1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}+\cdots
\end{equation*}
Assim, o termo geral $u^n$ será:
\begin{equation*}
u_n = f(n) = \frac{1}{n}
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
f(x) = \frac{1}{x}
\end{equation*}
No intervalo $x>1$, $f(x)>0$ e é decrescente. Tomando $\xi = 1$:
\begin{equation*}
\int_{\xi}^{+\infty} f(x)dx = \lim_{t \rightarrow + \infty} \int_{\xi}^t f(x)dx = \lim_{t \rightarrow + \infty} \int_1^t \frac{dx}{x} = \\
\ \\
= \lim_{t \rightarrow + \infty} \left[ \ln(x)\right]_1^t = \lim_{t \rightarrow + \infty}\left[ \ln(u)\right] = \infty
\end{equation*}
e a série diverge.
Exercício proposto:
Use o teste da integral e verifique se a série abaixo converge:\begin{equation*}
\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{\ln(n)}{n^2}
\end{equation*}
Sugestão: Use o fato que a função $g(x) = \cfrac{\ln(x)}{x}$ é decrescente para $x> e$ e, portanto, tende a zero para $x \rightarrow +\infty$.
Referências:
[1] O Cálculo com Geometria Analítica - Louis Leithold[2] Cálculo Diferencial e Integral - Frank Ayres Jr.
Veja mais:
O Cálculo IntegralLeibniz e as Diferenciais
Calculando Somas Através da Derivada no blog Fatos Matemáticos
Uma Identidade entre Séries e Integrais no blog Fatos Matemáticos
- A Função Erro E Outras Funções Relacionadas
Por:Kleber KilhianPaulo Sérgio Costa Lino A função erro $erf(x)$ tem uma longa história que começa com os artigos de De Moivre $(1718-1733)$ e Laplace $(1774)$, onde foi expressa através da seguinte integral:$$\int e^{-t^2}dt$$ Mais tarde, Kramp...
- Integrais Impróprias Com Limites Finitos
Quando escrevemos uma integral definida como: \begin{equation} \int_a^b f(x)dx \end{equation} admitimos que o limite de integração são números finitos e que o integrando $f(x)$ é uma função contínua no intervalo limitado $a \leq x \leq b$. Sua...
- Demonstração Da Derivada Da Função Exponencial
Neste artigo, veremos como encontrar a derivada da função exponencial. Para isso utilizaremos limites e o conceito de derivada. Vamos demonstrar que, se $f(x)=e^x$, então sua derivada será $f '(x)=e^x$. Demonstração:Primeiramente, vamos provar...
- Demonstração Da Derivada Da Função Logarítmica
Neste artigo, veremos uma demonstração de como encontrar a derivada da função logarítmica usando o conceito de derivada e limites. Iremos provar que, se $ f(x) = \ln(x)$, então sua derivada será $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}$. Demonstração:Seja...
- Demonstração Da Derivada Da Função Produto
A derivada de uma função pode ser representada geometricamente da seguinte maneira: Se $\Delta x$ for tão pequeno quanto quisermos, a reta que passa pelos pontos $[(x,f(x)),(x+\Delta x, f(x+\Delta x))]$, se confunde com a reta tangente no ponto $x$...