Matemática
Quando escrevemos uma integral definida como:
\begin{equation}
\int_a^b f(x)dx
\end{equation}
admitimos que o limite de integração são números finitos e que o integrando $f(x)$ é uma função contínua no intervalo limitado $a \leq x \leq b$. Sua representação gráfica é a área sob a curva:
Para calcularmos uma área de regiões ilimitadas, temos que utilizar as integrais impróprias. Considere, por exemplo, a região $R$ sob a curva da equação $\displaystyle y = \frac{1}{x^2}$:
Observe que a região $R$ se estende indefinidamente para a direita de $x=1$. Seja $R_u$ a região limitada sob a curva de $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2}$, entre $x=1$ e $x=u$:
A área da região $R_u$ é dada por:
\begin{equation}
\int_a^u \frac{1}{x^2}dx = \left[-\frac{1}{x} \right]_1^u=1-\frac{1}{u}
\end{equation}
Quando $u$ cresce, a região limitada $R_u$ pode ser considerada como uma boa aproximação da região ilimitada $R$. Isso no induz a escrever:
\begin{equation}
R=\lim _{u \rightarrow +\infty} R_u
\end{equation}
O que nos leva a:
\begin{equation}
R=\lim _{u \rightarrow +\infty} R_u = \lim_{u \rightarrow +\infty}\left(1-\frac{1}{u}\right) = 1\: \text{unidades de área}
\end{equation}
Geralmente, se $f$ é uma função definida num intervalo da forma $[a, +\infty)$ e se $f(x)\geq 0$ é válido quando $x \geq a$, definimos a área da região limitada sob a curva de $f$ e à direita de $x=a$ como:
\begin{equation*}
R=\lim_{u \rightarrow +\infty} \int_a^u f(x)dx
\end{equation*}
Frequentemente representamos esta área simplesmente por:
\begin{equation}
\int_a^{+\infty} f(x)dx
\end{equation}
Definição 1: Integrais impróprias com limite superior infinito
Seja $f$ uma função definida pelo menos no intervalo infinito $[a, +\infty)$. Suponha que $f$ seja integrável no intervalo fechado $[a, u]$ para todos os valores de $u$. Então definimos:
\begin{equation}
\int_a^{+\infty} f(x)dx=\lim_{u \rightarrow \infty} \int_a^u f(x)dx
\end{equation}
Se o limite existe e tem um valor finito, a integral imprópria diz-se convergente e esse valor é atribuído a ele. Caso contrário, a integral é chamada divergente.
Se $f(x)\geq 0$, então a expressão dada em $(5)$ pode ser tomada como a área da região ilimitada representada na figura 3.
Exemplo $1$: $\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{dx}{x}$.
\begin{equation*}
I=\lim_{u \rightarrow +\infty} \int_1^u \frac{dx}{x}=\lim_{u \rightarrow + \infty}\left[ \ln (x)\right]_1^u = \lim_{u \rightarrow +\infty} \ln (u) = +\infty
\end{equation*}
Esta integral diverge porque o limite é infinito.
Exemplo $2$: $\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^3}$.
\begin{equation*}
I=\lim_{u \rightarrow +\infty} \int_1^u \frac{dx}{x^3}=\lim_{u \rightarrow + \infty}\left[ -\frac{1}{2x^2}\right]_1^u = \lim_{u \rightarrow +\infty}\left[-\frac{1}{2u^2}+\frac{1}{2}\right]
\end{equation*}
Exemplo $3$: $\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-x}dx$.
\begin{equation*}
I=\lim_{u \rightarrow +\infty}\int_0^{u} e^{-x}dx = \lim_{u \rightarrow +\infty} \left[-e^{-x}\right]_0^u=\lim_{u\rightarrow +\infty}\left(-\frac{1}{e^u}+1\right)=1
\end{equation*}
Esta integral imprópria é convergente porque o limite existe e é finito.
Exemplo $4$: $\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}$.
\begin{equation*}
I=\lim_{u\rightarrow +\infty} \int_1^{u}\frac{dx}{1+x^2}=\lim_{u\rightarrow +\infty} \left[\arctan(x)\right]_0^u\\
I=\lim_{u\rightarrow +\infty} \left[\arctan(u)-\arctan(0)\right]=\lim_{u\rightarrow +\infty} \arctan(u)=\frac{\pi}{2}
\end{equation*}
Essa integral imprópria é convergente porque o limite existe e é finito.
Exemplo $5$: $\displaystyle \int_{-\infty}^0 e^{-x}dx$.
\begin{equation*}
I=\lim_{u\rightarrow -\infty} \int_u^0 e^{-x}dx = \lim_{u\rightarrow -\infty} \left[-e^{-x}\right]_u^0 = \lim_{u\rightarrow -\infty}\left[e^{-u}-e^0\right]=+\infty
\end{equation*}
Essa integral imprópria diverge porque o limite é infinito.
Exemplo $6$: $\displaystyle \int_0^{+\infty} \cos(x)dx$.
\begin{equation*}
I=\lim_{u\rightarrow +\infty}\int_0^u \cos(x)dx=\lim_{u\rightarrow +\infty} \text{sen}(u)
\end{equation*}
O limite não existe e a integral diverge.
Podemos generalizar os exemplos $1$ e $2$ de modo que a integral
\begin{equation*}
\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^p}
\end{equation*}
converge se $p>1$ e diverge se $p\leq 1$. Assim, temos:
\begin{equation*}
\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p} = \lim_{u\rightarrow +\infty} \int_1^u \frac{dx}{x^p} = \lim_{u \rightarrow +\infty} \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_1^u = \lim_{u \rightarrow +\infty}\left[\frac{u^{1-p}}{1-p}-\frac{1^{1-p}}{1-p}\right] =\\
=0-\frac{1}{1-p}= \left\{\begin{matrix}
\frac{1}{p-1} &\text{se }p>1 \\
+\infty & \text{se }p<1
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Note que para $p>1$ implica o limite:
\begin{equation*}
\lim_{u \rightarrow +\infty} u^{1-p} = \lim_{u \rightarrow +\infty} \frac{1}{u^{p-1}}=0
\end{equation*}
Exemplo $7$: $\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt[3]{4}}$
Podemos reescrever esta integral como:
\begin{equation*}
\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^{4/3}}
\end{equation*}
Assim, temos que $p=4/3$. Fazemos:
\begin{equation*}
\int_1^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt[3]{4}} = \frac{1}{p-1}=\frac{1}{\frac{4}{3}-1}=3
\end{equation*}
Desta forma, a integral imprópria converge porque seu limite é finito.
Exercícios propostos: Verificar se as integrais impróprias são convergentes os divergentes.
$\displaystyle a) \: \int_0^{+\infty} e^{5x}dx$
$\displaystyle b) \: \int_0^{+\infty}\frac{1}{(x-3)^2}dx$
$\displaystyle c) \: \int_1^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt[3]{x+1}}$
$\displaystyle d) \: \int_0^{+\infty} 4e^{8x}dx$
$\displaystyle e)\: \int_0^{+\infty} e^{-x}\text{sen}(x)dx$
[2] Cálculo com Geometria Analítica V1 – Simmons – Ed. McGraw-Hill
[3] Cálculo 1 – Luiz Mauro Rocha – Ed. Atlas
➋ Transformada de Laplace e Integrais Impróprias no blog Fatos Matemáticos
➌ A Trombeta de Gabriel no blog Giga Matemática
- Latex
$$\{ a_n \} \quad\mbox{e}\quad \{ a_n \}_{n=1}^\infty $$ $$ k \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left( \begin{array}{c} k \\ n \\ \end{array} \right) x^n = kg(x), \ \ \mid x \mid < 1 $$ $$ a : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R} $$ $$n...
- A Função Erro E Outras Funções Relacionadas
Por:Kleber KilhianPaulo Sérgio Costa Lino A função erro $erf(x)$ tem uma longa história que começa com os artigos de De Moivre $(1718-1733)$ e Laplace $(1774)$, onde foi expressa através da seguinte integral:$$\int e^{-t^2}dt$$ Mais tarde, Kramp...
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Neste artigo, veremos como encontrar a derivada da função exponencial. Para isso utilizaremos limites e o conceito de derivada. Vamos demonstrar que, se $f(x)=e^x$, então sua derivada será $f '(x)=e^x$. Demonstração:Primeiramente, vamos provar...
- Demonstração Do Limite Fundamental Exponencial
O número e tem grande importância em diversos ramos das ciências, pois está presente em vários fenômenos naturais como por exemplo: crescimento populacional, crescimento de população de bactérias, datação por carbono, circuitos elétricos,...
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Neste artigo, veremos uma demonstração de como encontrar a derivada da função logarítmica usando o conceito de derivada e limites. Iremos provar que, se $ f(x) = \ln(x)$, então sua derivada será $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}$. Demonstração:Seja...
Matemática
Integrais Impróprias com Limites Finitos
Quando escrevemos uma integral definida como:
\begin{equation}
\int_a^b f(x)dx
\end{equation}
admitimos que o limite de integração são números finitos e que o integrando $f(x)$ é uma função contínua no intervalo limitado $a \leq x \leq b$. Sua representação gráfica é a área sob a curva:
Observe que a região $R$ se estende indefinidamente para a direita de $x=1$. Seja $R_u$ a região limitada sob a curva de $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2}$, entre $x=1$ e $x=u$:
A área da região $R_u$ é dada por:
\begin{equation}
\int_a^u \frac{1}{x^2}dx = \left[-\frac{1}{x} \right]_1^u=1-\frac{1}{u}
\end{equation}
Quando $u$ cresce, a região limitada $R_u$ pode ser considerada como uma boa aproximação da região ilimitada $R$. Isso no induz a escrever:
\begin{equation}
R=\lim _{u \rightarrow +\infty} R_u
\end{equation}
O que nos leva a:
\begin{equation}
R=\lim _{u \rightarrow +\infty} R_u = \lim_{u \rightarrow +\infty}\left(1-\frac{1}{u}\right) = 1\: \text{unidades de área}
\end{equation}
Geralmente, se $f$ é uma função definida num intervalo da forma $[a, +\infty)$ e se $f(x)\geq 0$ é válido quando $x \geq a$, definimos a área da região limitada sob a curva de $f$ e à direita de $x=a$ como:
\begin{equation*}
R=\lim_{u \rightarrow +\infty} \int_a^u f(x)dx
\end{equation*}
Frequentemente representamos esta área simplesmente por:
\begin{equation}
\int_a^{+\infty} f(x)dx
\end{equation}
Definição 1: Integrais impróprias com limite superior infinito
Seja $f$ uma função definida pelo menos no intervalo infinito $[a, +\infty)$. Suponha que $f$ seja integrável no intervalo fechado $[a, u]$ para todos os valores de $u$. Então definimos:
\begin{equation}
\int_a^{+\infty} f(x)dx=\lim_{u \rightarrow \infty} \int_a^u f(x)dx
\end{equation}
Se o limite existe e tem um valor finito, a integral imprópria diz-se convergente e esse valor é atribuído a ele. Caso contrário, a integral é chamada divergente.
Se $f(x)\geq 0$, então a expressão dada em $(5)$ pode ser tomada como a área da região ilimitada representada na figura 3.
Exemplo $1$: $\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{dx}{x}$.
\begin{equation*}
I=\lim_{u \rightarrow +\infty} \int_1^u \frac{dx}{x}=\lim_{u \rightarrow + \infty}\left[ \ln (x)\right]_1^u = \lim_{u \rightarrow +\infty} \ln (u) = +\infty
\end{equation*}
Esta integral diverge porque o limite é infinito.
Exemplo $2$: $\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^3}$.
\begin{equation*}
I=\lim_{u \rightarrow +\infty} \int_1^u \frac{dx}{x^3}=\lim_{u \rightarrow + \infty}\left[ -\frac{1}{2x^2}\right]_1^u = \lim_{u \rightarrow +\infty}\left[-\frac{1}{2u^2}+\frac{1}{2}\right]
\end{equation*}
Exemplo $3$: $\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-x}dx$.
\begin{equation*}
I=\lim_{u \rightarrow +\infty}\int_0^{u} e^{-x}dx = \lim_{u \rightarrow +\infty} \left[-e^{-x}\right]_0^u=\lim_{u\rightarrow +\infty}\left(-\frac{1}{e^u}+1\right)=1
\end{equation*}
Esta integral imprópria é convergente porque o limite existe e é finito.
Exemplo $4$: $\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}$.
\begin{equation*}
I=\lim_{u\rightarrow +\infty} \int_1^{u}\frac{dx}{1+x^2}=\lim_{u\rightarrow +\infty} \left[\arctan(x)\right]_0^u\\
I=\lim_{u\rightarrow +\infty} \left[\arctan(u)-\arctan(0)\right]=\lim_{u\rightarrow +\infty} \arctan(u)=\frac{\pi}{2}
\end{equation*}
Essa integral imprópria é convergente porque o limite existe e é finito.
Exemplo $5$: $\displaystyle \int_{-\infty}^0 e^{-x}dx$.
\begin{equation*}
I=\lim_{u\rightarrow -\infty} \int_u^0 e^{-x}dx = \lim_{u\rightarrow -\infty} \left[-e^{-x}\right]_u^0 = \lim_{u\rightarrow -\infty}\left[e^{-u}-e^0\right]=+\infty
\end{equation*}
Essa integral imprópria diverge porque o limite é infinito.
Exemplo $6$: $\displaystyle \int_0^{+\infty} \cos(x)dx$.
\begin{equation*}
I=\lim_{u\rightarrow +\infty}\int_0^u \cos(x)dx=\lim_{u\rightarrow +\infty} \text{sen}(u)
\end{equation*}
O limite não existe e a integral diverge.
Podemos generalizar os exemplos $1$ e $2$ de modo que a integral
\begin{equation*}
\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^p}
\end{equation*}
converge se $p>1$ e diverge se $p\leq 1$. Assim, temos:
\begin{equation*}
\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p} = \lim_{u\rightarrow +\infty} \int_1^u \frac{dx}{x^p} = \lim_{u \rightarrow +\infty} \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_1^u = \lim_{u \rightarrow +\infty}\left[\frac{u^{1-p}}{1-p}-\frac{1^{1-p}}{1-p}\right] =\\
=0-\frac{1}{1-p}= \left\{\begin{matrix}
\frac{1}{p-1} &\text{se }p>1 \\
+\infty & \text{se }p<1
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Note que para $p>1$ implica o limite:
\begin{equation*}
\lim_{u \rightarrow +\infty} u^{1-p} = \lim_{u \rightarrow +\infty} \frac{1}{u^{p-1}}=0
\end{equation*}
Exemplo $7$: $\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt[3]{4}}$
Podemos reescrever esta integral como:
\begin{equation*}
\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^{4/3}}
\end{equation*}
Assim, temos que $p=4/3$. Fazemos:
\begin{equation*}
\int_1^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt[3]{4}} = \frac{1}{p-1}=\frac{1}{\frac{4}{3}-1}=3
\end{equation*}
Desta forma, a integral imprópria converge porque seu limite é finito.
Exercícios propostos: Verificar se as integrais impróprias são convergentes os divergentes.
$\displaystyle a) \: \int_0^{+\infty} e^{5x}dx$
$\displaystyle b) \: \int_0^{+\infty}\frac{1}{(x-3)^2}dx$
$\displaystyle c) \: \int_1^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt[3]{x+1}}$
$\displaystyle d) \: \int_0^{+\infty} 4e^{8x}dx$
$\displaystyle e)\: \int_0^{+\infty} e^{-x}\text{sen}(x)dx$
Referências:
[1] Cálculo V1 – Munem-Foulis – Ed. Guanabara Dois[2] Cálculo com Geometria Analítica V1 – Simmons – Ed. McGraw-Hill
[3] Cálculo 1 – Luiz Mauro Rocha – Ed. Atlas
Veja mais:
➊ Teste da Integral para Convergência de Séries➋ Transformada de Laplace e Integrais Impróprias no blog Fatos Matemáticos
➌ A Trombeta de Gabriel no blog Giga Matemática
- Latex
$$\{ a_n \} \quad\mbox{e}\quad \{ a_n \}_{n=1}^\infty $$ $$ k \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left( \begin{array}{c} k \\ n \\ \end{array} \right) x^n = kg(x), \ \ \mid x \mid < 1 $$ $$ a : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R} $$ $$n...
- A Função Erro E Outras Funções Relacionadas
Por:Kleber KilhianPaulo Sérgio Costa Lino A função erro $erf(x)$ tem uma longa história que começa com os artigos de De Moivre $(1718-1733)$ e Laplace $(1774)$, onde foi expressa através da seguinte integral:$$\int e^{-t^2}dt$$ Mais tarde, Kramp...
- Demonstração Da Derivada Da Função Exponencial
Neste artigo, veremos como encontrar a derivada da função exponencial. Para isso utilizaremos limites e o conceito de derivada. Vamos demonstrar que, se $f(x)=e^x$, então sua derivada será $f '(x)=e^x$. Demonstração:Primeiramente, vamos provar...
- Demonstração Do Limite Fundamental Exponencial
O número e tem grande importância em diversos ramos das ciências, pois está presente em vários fenômenos naturais como por exemplo: crescimento populacional, crescimento de população de bactérias, datação por carbono, circuitos elétricos,...
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Neste artigo, veremos uma demonstração de como encontrar a derivada da função logarítmica usando o conceito de derivada e limites. Iremos provar que, se $ f(x) = \ln(x)$, então sua derivada será $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}$. Demonstração:Seja...