Matemática
Neste artigo, veremos uma demonstração de como encontrar a derivada da função logarítmica usando o conceito de derivada e limites.
Iremos provar que, se $ f(x) = \ln(x)$, então sua derivada será $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}$.
\begin{equation}
f(x)=\ln(x)
\end{equation}
Utilizando o conceito de derivada, temos que:
\begin{equation}
f '(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\ln(x+\Delta x)-\ln(x)}{\Delta x}
\end{equation}
Uma das propriedades dos logaritmos transforma uma diferença de logaritmos em quociente, assim:
\begin{equation}
f ' (x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \cdot \ln\left(\frac{x+\Delta x}{x}\right)
\end{equation}
Utilizando a propriedade dos expoentes dos logaritmos,fazemos:
\begin{equation}
f '(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \ln \left(\frac{x+\Delta x}{x}\right)^{1/\Delta x}
\end{equation}
Aplicando uma mudança de variável:
\begin{equation}
\frac{\Delta x}{x} = t \Longrightarrow \Delta x = xt
\end{equation}
Observamos que, quando $\Delta x \rightarrow 0$, então $t \rightarrow 0$. Essa troca é equivalente e não altera o limite. Desta forma:
\begin{equation}
f '(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \ln \left(1+\frac{\Delta x}{x} \right)^{1/\Delta x}\\
f '(x) = \lim_{t \rightarrow 0} \ln(1+t)^{1/xt} = \lim_{t \rightarrow 0} \left[(1+t)^{1/t}\right]^{1/x}
\end{equation}
No entanto, do limite fundamental exponencial, sabemos que:
\begin{equation}
\lim_{t \rightarrow 0} (1+t)^{1/t} = e
\end{equation}
Logo:
\begin{equation}
f '(x) = \ln \left(e^{1/x}\right) = \frac{1}{x} \ln (e)
\end{equation}
Mas, $\ln (e) = 1$, portanto:
\begin{equation}
f '(x) = \frac{1}{x}
\end{equation}
Que é a derivada da função logarítmica.
Se tivermos:
\begin{equation}
f(x) = \log_a (x)
\end{equation}
Podemos fazer uma mudança de base:
\begin{equation}
f(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}
\end{equation}
E a derivada será:
\begin{equation}
f '(x) = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\ln(a)} = \frac{1}{x \ln (a)}
\end{equation}
Demonstração da Derivada da Função Quociente
Demonstração da Derivada da Função Produto
- Teste Da Integral Para Convergência De Séries
O teorema conhecido como teste da integral (ou teste de Leibniz) para verificar convergências de séries, faz uso da teoria de integrais impróprias. Teorema $1$:Se $f(n)$ representa o termo geral $u_n$ de uma série numérica infinita de termos positivos,...
- Demonstração Dos Pontos De Máximo E Mínimo De Uma Função Quadrática
Veremos nesta postagem como determinar os pontos de máximo e mínimo de uma função de segundo grau. Definição $1$: Valor de máximoDizemos que o número $Y_M \in Im(f)$ é o valor de máximo da função $y=f(x)$ se, e somente se, $Y_M \geq y$, $\forall\...
- Demonstração Da Derivada Do Produto Entre 3 Funções
Já vimos uma demonstração para derivada da função produto entre duas funções. Esta regra pode ser ampliada para o produto entre mais funções. Neste artigo, veremos como proceder para encontrarmos a derivada de um produto entre três funções....
- Demonstração Da Derivada Da Função Exponencial
Neste artigo, veremos como encontrar a derivada da função exponencial. Para isso utilizaremos limites e o conceito de derivada. Vamos demonstrar que, se $f(x)=e^x$, então sua derivada será $f '(x)=e^x$. Demonstração:Primeiramente, vamos provar...
- Demonstração Do Limite Fundamental Exponencial
O número e tem grande importância em diversos ramos das ciências, pois está presente em vários fenômenos naturais como por exemplo: crescimento populacional, crescimento de população de bactérias, datação por carbono, circuitos elétricos,...
Matemática
Demonstração da Derivada da Função Logarítmica
Neste artigo, veremos uma demonstração de como encontrar a derivada da função logarítmica usando o conceito de derivada e limites.
Iremos provar que, se $ f(x) = \ln(x)$, então sua derivada será $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}$.
Demonstração:
Seja a função logarítmica do logaritmo natural:\begin{equation}
f(x)=\ln(x)
\end{equation}
Utilizando o conceito de derivada, temos que:
\begin{equation}
f '(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\ln(x+\Delta x)-\ln(x)}{\Delta x}
\end{equation}
Uma das propriedades dos logaritmos transforma uma diferença de logaritmos em quociente, assim:
\begin{equation}
f ' (x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \cdot \ln\left(\frac{x+\Delta x}{x}\right)
\end{equation}
Utilizando a propriedade dos expoentes dos logaritmos,fazemos:
\begin{equation}
f '(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \ln \left(\frac{x+\Delta x}{x}\right)^{1/\Delta x}
\end{equation}
Aplicando uma mudança de variável:
\begin{equation}
\frac{\Delta x}{x} = t \Longrightarrow \Delta x = xt
\end{equation}
Observamos que, quando $\Delta x \rightarrow 0$, então $t \rightarrow 0$. Essa troca é equivalente e não altera o limite. Desta forma:
\begin{equation}
f '(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \ln \left(1+\frac{\Delta x}{x} \right)^{1/\Delta x}\\
f '(x) = \lim_{t \rightarrow 0} \ln(1+t)^{1/xt} = \lim_{t \rightarrow 0} \left[(1+t)^{1/t}\right]^{1/x}
\end{equation}
No entanto, do limite fundamental exponencial, sabemos que:
\begin{equation}
\lim_{t \rightarrow 0} (1+t)^{1/t} = e
\end{equation}
Logo:
\begin{equation}
f '(x) = \ln \left(e^{1/x}\right) = \frac{1}{x} \ln (e)
\end{equation}
Mas, $\ln (e) = 1$, portanto:
\begin{equation}
f '(x) = \frac{1}{x}
\end{equation}
Que é a derivada da função logarítmica.
Se tivermos:
\begin{equation}
f(x) = \log_a (x)
\end{equation}
Podemos fazer uma mudança de base:
\begin{equation}
f(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}
\end{equation}
E a derivada será:
\begin{equation}
f '(x) = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\ln(a)} = \frac{1}{x \ln (a)}
\end{equation}
Veja mais:
Demonstração da Derivada da Função ExponencialDemonstração da Derivada da Função Quociente
Demonstração da Derivada da Função Produto
- Teste Da Integral Para Convergência De Séries
O teorema conhecido como teste da integral (ou teste de Leibniz) para verificar convergências de séries, faz uso da teoria de integrais impróprias. Teorema $1$:Se $f(n)$ representa o termo geral $u_n$ de uma série numérica infinita de termos positivos,...
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