Demonstração Por Absurdo Envolvendo Polinômios e Números Complexos
Hoje vou fazer uma pequena demonstração por absurdo, justamente para complementar o que o Eduardo já havia escrito. Será sobre uma propriedade interessante de polinômios em C (onde C é o conjunto dos números complexos). Caso queira rever o post do Eduardo, clique Aqui.
Sabemos que existem funções de C em R. Claro, se definirmos z=a+bi, temos que a função f(z) = a+b é uma função de C em R, mas esta função não é um polinômio. Reparem que ela equivale à função f(x) = x para os reais, mas não apresenta a mesma propriedade para os complexos. Então, podemos nos perguntar: será que existe um polinômio de C em R? É isso que vamos descobrir nessa postagem.
Problema 1: Existe um polinômio com coeficientes reais e domínio nos números complexos tal que, para todo complexo a+bi, sua imagem é um número real?
Resolução: Suponhamos que sim: Suponhamos que tal polinômio seja
Pela propriedade dos números reais, temos que ter
Mas isto equivale a dizer que
Mas, temos que, pela propriedade dos números complexos,
Onde
Logo, temos que nossa expressão se torna
Porém, tomando qualquer ? irracional positivo fixo, temos que esta expressão se torna um polinômio de variável |z|. Mas este polinômio tem no máximo n raízes reais positivas, o que contraria o fato dele atender a infinitos valores de |z|. Absurdo! E isto completa nossa prova.
Problema 2 (caso geral): Existe um polinômio de com coeficientes complexos e domínio nos números complexos que associa a cada complexo um real?
Resolução: Comecemos com o mesmo polinômio anterior. Porém, pelos coeficientes serem complexos, não podemos afirmar que o conjugado da função é a função do conjugado (verifique!). Portanto, devemos ter
Mas, temos que
Então,
Que faz que a expressão original seja
Se definirmos, como antes, um ? irracional positivo, então obteremos um polinômio de grau n na variável |z| novamente, o que nos implica que um polinômio com no máximo n raízes reais positivas deve ter infinitas raízes reais positivas. Absurdo, novamente!
Bom, espero que tenham gostado do texto. Para avaliá-lo, é só clicar nas caixinhas abaixo. Comente o quanto quiser também, sua opinião, desde que respeitosa, sempre é bem-vinda.
Lembre-se: Caso não tenha entendido as passagens sobre números complexos, clique Aqui, Aqui, Aqui e Aqui para saber mais sobre estes números.
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