Matemática
Número complexo é um par ordenado de números reais (a, b). Assim, o conjunto dos números complexos é uma extensão do conjunto dos números reais. Todo número complexo pode ser escrito na forma a + bi, chamada de forma algébrica ou forma normal, onde a é chamado de parte real e bi, de parte imaginária. As operações de adição, subtração, multiplicação e divisão estão bem definidas para o conjunto dos complexos, assim como para os números reais.
Considere dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di. Vamos analisar como se dá cada uma das operações citadas para os elementos desse conjunto.
1. Adição
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Observe que basta somar a parte real de um com a parte real do outro e proceder da mesma forma com a parte imaginária.
Exemplo: Dados os números complexos z1 = 5 + 8i, z2 = 1 + 2i e z3 = 2 – 3i, calcule:
a) z1 + z2 = (5 + 8i) + (1 + 2i) = (5 + 1) + (8 + 2)i = 6 + 10i
b) z2 + z3 = (1 + 2i) + (2 – 3i) = (1 + 2) + (2 – 3)i = 3 – i
2. Subtração
A subtração é feita de forma análoga. Observe:
z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
Exemplo:
a) (5 + 8i) – (1 + 2i) = (5 – 1) + (8 – 2)i = 4 + 6i
b) (1 + 2i) – (2 – 3i) = (1 – 2) + [2 – (– 3)]i = – 1 + 5i
3. Multiplicação
Como sabemos, i2 = – 1.
Logo,
Agrupando os termos semelhantes, obtemos:
Exemplo:
a) (5+8i)∙(1+2i) = (5∙1-8∙2)+(5∙2+1∙8)i
(5+8i)∙(1+2i) = (5-16) + (10+8)i = -11+18i
b) (1+2i)∙(2-3i) = [1∙2 - 2∙(-3)] + [1∙(-3) + 2∙2]i
(1+2i)∙(2-3i) = (2+6) + (-3+4)i = 8 + i
4. Divisão
Para realizar a divisão de dois números complexos precisamos introduzir o conceito de conjugado de um número complexo. Seja z = a + bi, o conjugado de z é z̅ = a - bi. Agora podemos definir a operação de divisão para números complexos.
Exemplo:
a)
Vamos fazer os cálculos do numerador e do denominador separadamente:
(5 + 8i)(1 - 2i) = [5∙1 - 8(-2)] + [5∙(-2) + 1∙8]i = 21 - 2i
Na multiplicação dos denominadores basta aplicar a seguinte propriedade:
z ∙ z̅ = (a + bi) (a - bi) = a2 + b2
Assim,
(1 + 2i)(1 - 2i) = 12 + 22 = 5
Logo,
b)
- Uma Aplicação Dos Números Complexos à Geometria
Nesta postagem queremos apresentar alguns fatos sobre números complexos a fim de podermos resolver o problema do tesouro. O ponto crucial é como utilizar os números complexos para rotacionar um vetor segundo um ângulo de 90º. Forma algébrica dos...
- Números
Número, palavra ou símbolo utilizado para designar quantidades ou entidades que se comportem como quantidades. NÚMEROS REAIS Números racionais: os inteiros e quebrados positivos e negativos junto com o número zero formam o sistema dos números...
- Números Complexos - Exercícios Resolvidos
Números Complexos - Exercícios resolvidos 01. O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale: a) 1 + 11i b) 1 + 31i c) 29 + 11i d) 29 - 11i e) 29 + 31i RESPOSTA: C 02. Se f(z) = z2 - z + 1, então f(1 - i) é igual a: a) i b) -i + 1 c) i - 1 d) i + 1 e) -i RESPOSTA:...
- Forma Trigonométrica De Um Número Complexo
Forma trigonométrica de um número complexoMarcelo Rigonatto Números complexos e trigonometriaNúmero complexo é um par ordenado de números reais z= (a, b). Na forma algébrica, o par ordenado pode ser escrito como z = (a + bi)....
- Operações Com Números Complexos Na Forma Trigonométrica
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalvesemail [email protected] www.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.accbarrosogestar.blogspot.com.br Operações...
Matemática
Números complexos
Operações com números complexos na forma algébrica
Marcelo Rigonatto Representação gráfica de z
Considere dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di. Vamos analisar como se dá cada uma das operações citadas para os elementos desse conjunto.
1. Adição
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Observe que basta somar a parte real de um com a parte real do outro e proceder da mesma forma com a parte imaginária.
Exemplo: Dados os números complexos z1 = 5 + 8i, z2 = 1 + 2i e z3 = 2 – 3i, calcule:
a) z1 + z2 = (5 + 8i) + (1 + 2i) = (5 + 1) + (8 + 2)i = 6 + 10i
b) z2 + z3 = (1 + 2i) + (2 – 3i) = (1 + 2) + (2 – 3)i = 3 – i
2. Subtração
A subtração é feita de forma análoga. Observe:
z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
Exemplo:
a) (5 + 8i) – (1 + 2i) = (5 – 1) + (8 – 2)i = 4 + 6i
b) (1 + 2i) – (2 – 3i) = (1 – 2) + [2 – (– 3)]i = – 1 + 5i
3. Multiplicação
Como sabemos, i2 = – 1.
Logo,
Agrupando os termos semelhantes, obtemos:
Exemplo:
a) (5+8i)∙(1+2i) = (5∙1-8∙2)+(5∙2+1∙8)i
(5+8i)∙(1+2i) = (5-16) + (10+8)i = -11+18i
b) (1+2i)∙(2-3i) = [1∙2 - 2∙(-3)] + [1∙(-3) + 2∙2]i
(1+2i)∙(2-3i) = (2+6) + (-3+4)i = 8 + i
4. Divisão
Para realizar a divisão de dois números complexos precisamos introduzir o conceito de conjugado de um número complexo. Seja z = a + bi, o conjugado de z é z̅ = a - bi. Agora podemos definir a operação de divisão para números complexos.
Exemplo:
a)
Vamos fazer os cálculos do numerador e do denominador separadamente:
(5 + 8i)(1 - 2i) = [5∙1 - 8(-2)] + [5∙(-2) + 1∙8]i = 21 - 2i
Na multiplicação dos denominadores basta aplicar a seguinte propriedade:
z ∙ z̅ = (a + bi) (a - bi) = a2 + b2
Assim,
(1 + 2i)(1 - 2i) = 12 + 22 = 5
Logo,
b)
- Uma Aplicação Dos Números Complexos à Geometria
Nesta postagem queremos apresentar alguns fatos sobre números complexos a fim de podermos resolver o problema do tesouro. O ponto crucial é como utilizar os números complexos para rotacionar um vetor segundo um ângulo de 90º. Forma algébrica dos...
- Números
Número, palavra ou símbolo utilizado para designar quantidades ou entidades que se comportem como quantidades. NÚMEROS REAIS Números racionais: os inteiros e quebrados positivos e negativos junto com o número zero formam o sistema dos números...
- Números Complexos - Exercícios Resolvidos
Números Complexos - Exercícios resolvidos 01. O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale: a) 1 + 11i b) 1 + 31i c) 29 + 11i d) 29 - 11i e) 29 + 31i RESPOSTA: C 02. Se f(z) = z2 - z + 1, então f(1 - i) é igual a: a) i b) -i + 1 c) i - 1 d) i + 1 e) -i RESPOSTA:...
- Forma Trigonométrica De Um Número Complexo
Forma trigonométrica de um número complexoMarcelo Rigonatto Números complexos e trigonometriaNúmero complexo é um par ordenado de números reais z= (a, b). Na forma algébrica, o par ordenado pode ser escrito como z = (a + bi)....
- Operações Com Números Complexos Na Forma Trigonométrica
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalvesemail [email protected] www.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.accbarrosogestar.blogspot.com.br Operações...