Matemática

Uma aplicação dos números complexos à geometria

Nesta postagem queremos apresentar alguns fatos sobre números complexos a fim de podermos resolver o problema do tesouro. O ponto crucial é como utilizar os números complexos para rotacionar um vetor segundo um ângulo de 90º.

Forma algébrica dos números complexos: z = a + bi onde a,b ? ?; i = ?-1 = unidade imaginária.

Na expressão acima, ?a? é chamado de ?parte real? e ?b? é chamado de ?parte imaginária? do complexo z.

Exemplos:

2 + 3i
4 + 5i
2i (número imaginário puro ? não tem parte real)
3 (número real ? parte imaginária é nula)

Outra maneira de representar um número complexo: a + bi = (a, b). Ou seja, um par ordenado no qual a 1ª coordenada representa a parte real e a 2ª coordenada representa a parte imaginária.

Exemplos:

2+3i = (2, 3)
4+5i = (4, 5)
2i = (0, 2)
3 = (3, 0)

Associando um número complexo a um ponto do plano:

Quando se trata de geometria analítica, já estamos acostumados a fixar um sistema de coordenadas e a associar um determinado par ordenado (a, b) a um ponto P do plano:

Então, também podemos associar cada número complexo com um ponto do plano:

Na representação acima, o plano é chamado de ?plano complexo? ou ?plano de Argand-Gauss?; O eixo-x é chamado de ?eixo real? e o eixo-y é chamado de ?eixo imaginário?; O ponto P é chamado a imagem do número complexo z; O número complexo z é chamado o afixo do ponto P.

Associando um número complexo a um vetor:

Também estamos acostumados a associar um ponto P do plano com um vetor que ?sai da origem? e ?vai até P?:

Portanto, também podemos associar um número complexo z = a + bi com um vetor que "sai" da origem e "vai" até o ponto P = (a, b):

Resumindo: O importante é que olharemos para um número complexo e veremos um par ordenado ou um ponto do plano ou ainda um vetor. Assim, as operações de adição e subtração entre números complexos podem ser vistas como operações entre vetores.

Lembrete (interpretação geométrica de adição e subtração entre vetores):

Interpretação geométrica da multiplicação por i:

Na interpretação geométrica, a unidade imaginária i pode ser vista como o ponto do plano P = (0, 1); O número i² passa a ser visto como o ponto Q = (-1, 0); O número i³ passa a ser visto como o ponto R = (0, -1); E assim por diante... (veja figura abaixo).

clique na figura para ampliar

Note que a cada vez que multiplicamos o ponto por i ele sofreu uma rotação de 90º em torno da origem. E este fato é verdadeiro para qualquer que seja o número complexo: ao multiplicarmos o número z = a + bi por i ele sofre uma rotação de exatamente 90º em torno da origem (para se convencer, observe a figura abaixo).

clique na figura para ampliar

Temos então uma ferramenta muito simples para rotacionar vetores segundo um ângulo de 90º: basta multiplicá-los por i.

Agora podemos achar o tesouro!!!!

Para ver um pouco sobre a história dos números complexos clique aqui.

Referências: diversas aulas em video do PAPMEM (sobre números complexos).

Erros podem ser relatados aqui.

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