Matemática

Determinantes

Referências: Site Só Matemática

A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.

Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:

Resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
Cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices;

Determinante de 1ª ordem

Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a₁₁], o seu determinante é o número real a₁₁:

det M =Ia₁₁I = a₁₁

Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.

Por exemplo:

M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5

M = [-3] det M = -3 ou I -3 I = -3

Determinante de 2ª ordem

Dada a matriz

, de ordem 2, por definição o determinante associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por:

Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.

Menor Complementar

Chamamos de menor complementar relativo a um elemento a_ij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MC_ij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por a_ij .

Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir:

a)Dada a matriz

, de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a₁₁(MC₁₁), retiramos a linha 1 e a coluna 1:

Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a₁₂ é:

b) Sendo

, de ordem 3, temos:

Cofator

Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento a_ij de uma matriz quadrada de ordem n o número A_ijtal que A_ij = (-1)^i+j . MC_ij .

Veja:
a) Dada

, os cofatores relativos aos elementos a₁₁ e a₁₂ da matriz M são:

b) Sendo

, vamos calcular os cofatores A₂₂, A₂₃ e A₃₁:

Propriedades dos Determinantes

Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades:

P₁ ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.

Exemplo:

P₂) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

P₃) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

P₄) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.

Exemplos:

P₅ ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.

Exemplo:

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:

P₆) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.

Exemplo:

P₇) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.

Exemplos:

P₈) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.

Exemplo:

P₉) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.

Exemplos:

P₁₀) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por .

Exemplos:

P₁₁) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n,

. Como:

Exemplo:

P₁₂)

Exemplo:

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