Matemática
1 - Definições:
1.1 - Chama-se Menor Complementar ( D ij ) de um elemento aij de uma matriz quadrada A, ao determinante que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz.
Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem (3x3) A a seguir :
Podemos escrever:
D23 = menor complementar do elemento a23 = 9 da matriz A . Pela definição, D23 será igual ao determinante que se obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja:
Da mesma forma determinaríamos D11, D12, D13, D21, D22, D31, D32 e D33. Faça os cálculos como exercício!
1.2 - Cofator de um elemento aij de uma matriz : cof ( aij ) = (-1 ) i+j . Dij .
Assim por exemplo, o cofator do elemento a23 = 9 da matriz do exemplo anterior, seria igual a:
cof(a23) = (-1)2+3 . D23 = (-1)5 . 10 = - 10.
2 - Teorema de Laplace
* O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
* Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já conhecemos as regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só recorremos à este teorema para o cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. O uso desse teorema, possibilita abaixar a ordem do determinante. Assim, para o cálculo de um determinante de 4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo de quatro determinantes de 3ª ordem. O cálculo de determinantes de 5ª ordem, já justifica o uso de planilhas eletrônicas, a exemplo do Excel for Windows, Lótus 1-2-3, entre outros.
* Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha ou coluna) que contenha mais zeros, pois isto vai facilitar e reduzir o número de cálculos necessários.
* Pierre Simon Laplace - (1749-1827) - Matemático e astrônomo francês.
3 - Cálculo da inversa de uma matriz.
a) A matriz inversa de uma matriz X , é a matriz X-1 , tal que X . X-1 = X-1 . X = In , onde In é a matriz identidade de ordem n.
b) Matriz dos cofatores da matriz A: é a matriz obtida substituindo-se cada elemento pelo seu respectivo cofator.
Símbolo: cof A .
c) Fórmula para o cálculo da inversa de uma matriz:
Onde: A-1 = matriz inversa de A;
det A = determinante da matriz A;
(cof A)T = matriz transposta da matriz dos cofatores de A .
Exercícios propostos
1 - Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o seu determinante é igual a:
*a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) -4
2 - UFBA-90 - Calcule o determinante da matriz:
Resp: 15
3 - Considere a matriz A = (aij)4x4 definida por aij = 1 se i ³ j e aij = i + j se i < j. Pede-se calcular a soma dos elementos da diagonal secundária.
Resp: 12
4 - As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At é a matriz transposta de A.
Se o determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a:
*a) 1/5
b) 5
c) 1/40
d) 1/20
e) 20
5 - Dadas as matrizes A = (aij)3x4 e B = (bij)4x1 tais que aij = 2i + 3j e bij = 3i + 2j, o elemento
c12 da matriz C = A.B é:
a)12
b) 11
c) 10
d) 9
*e) inexistente
- Determinantes
Se A é uma matriz quadrada A de ordem 2, dada por: a11 a12 a21 a22 definimos o determinante desta matriz A, denotado por det(A), como: det(A) = a11.a22 - a21.a12 Se A é uma matriz quadrada A de ordem 3, dada por: a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33...
- Determinantes
Se A é uma matriz quadrada A de ordem 2, dada por: a11 a12 a21 a22 definimos o determinante desta matriz A, denotado por det(A), como: det(A) = a11.a22 - a21.a12 Se A é uma matriz quadrada A de ordem 3, dada por: a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33...
- Cálculo Do Determinante De Uma Matriz Quadrada
Cálculo do determinante de uma matriz quadradaMarcelo Rigonatto Matriz quadradaMatriz quadrada é uma matriz que apresenta o número de linhas e colunas iguais. A toda matriz quadrada está associado um número que recebe a denominação...
- Menor Complementar
Menor complementar de um elemento de uma matriz é o determinante dela, eliminando a linha e a coluna que pertencer esse elemento. É possível calcular o menor complementar se a matriz for quadrada e de ordem maior ou igual a 2. Dada uma matriz de ordem...
- Determinante
a) Menor complementar O menor complementar de um elemento é o determinante da sua matriz quadrada. Para obtermos o menor complementar basta eliminar a linha e a coluna que o elemento pertence. Obs.: todos elementos de uma matriz possui um menor complementar....
Matemática
matriz
1 - Definições:
1.1 - Chama-se Menor Complementar ( D ij ) de um elemento aij de uma matriz quadrada A, ao determinante que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz.
Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem (3x3) A a seguir :
Podemos escrever:
D23 = menor complementar do elemento a23 = 9 da matriz A . Pela definição, D23 será igual ao determinante que se obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja:
Da mesma forma determinaríamos D11, D12, D13, D21, D22, D31, D32 e D33. Faça os cálculos como exercício!
1.2 - Cofator de um elemento aij de uma matriz : cof ( aij ) = (-1 ) i+j . Dij .
Assim por exemplo, o cofator do elemento a23 = 9 da matriz do exemplo anterior, seria igual a:
cof(a23) = (-1)2+3 . D23 = (-1)5 . 10 = - 10.
2 - Teorema de Laplace
* O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
* Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já conhecemos as regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só recorremos à este teorema para o cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. O uso desse teorema, possibilita abaixar a ordem do determinante. Assim, para o cálculo de um determinante de 4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo de quatro determinantes de 3ª ordem. O cálculo de determinantes de 5ª ordem, já justifica o uso de planilhas eletrônicas, a exemplo do Excel for Windows, Lótus 1-2-3, entre outros.
* Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha ou coluna) que contenha mais zeros, pois isto vai facilitar e reduzir o número de cálculos necessários.
* Pierre Simon Laplace - (1749-1827) - Matemático e astrônomo francês.
3 - Cálculo da inversa de uma matriz.
a) A matriz inversa de uma matriz X , é a matriz X-1 , tal que X . X-1 = X-1 . X = In , onde In é a matriz identidade de ordem n.
b) Matriz dos cofatores da matriz A: é a matriz obtida substituindo-se cada elemento pelo seu respectivo cofator.
Símbolo: cof A .
c) Fórmula para o cálculo da inversa de uma matriz:
Onde: A-1 = matriz inversa de A;
det A = determinante da matriz A;
(cof A)T = matriz transposta da matriz dos cofatores de A .
Exercícios propostos
1 - Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o seu determinante é igual a:
*a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) -4
2 - UFBA-90 - Calcule o determinante da matriz:
Resp: 15
3 - Considere a matriz A = (aij)4x4 definida por aij = 1 se i ³ j e aij = i + j se i < j. Pede-se calcular a soma dos elementos da diagonal secundária.
Resp: 12
4 - As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At é a matriz transposta de A.
Se o determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a:
*a) 1/5
b) 5
c) 1/40
d) 1/20
e) 20
5 - Dadas as matrizes A = (aij)3x4 e B = (bij)4x1 tais que aij = 2i + 3j e bij = 3i + 2j, o elemento
c12 da matriz C = A.B é:
a)12
b) 11
c) 10
d) 9
*e) inexistente
- Determinantes
Se A é uma matriz quadrada A de ordem 2, dada por: a11 a12 a21 a22 definimos o determinante desta matriz A, denotado por det(A), como: det(A) = a11.a22 - a21.a12 Se A é uma matriz quadrada A de ordem 3, dada por: a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33...
- Determinantes
Se A é uma matriz quadrada A de ordem 2, dada por: a11 a12 a21 a22 definimos o determinante desta matriz A, denotado por det(A), como: det(A) = a11.a22 - a21.a12 Se A é uma matriz quadrada A de ordem 3, dada por: a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33...
- Cálculo Do Determinante De Uma Matriz Quadrada
Cálculo do determinante de uma matriz quadradaMarcelo Rigonatto Matriz quadradaMatriz quadrada é uma matriz que apresenta o número de linhas e colunas iguais. A toda matriz quadrada está associado um número que recebe a denominação...
- Menor Complementar
Menor complementar de um elemento de uma matriz é o determinante dela, eliminando a linha e a coluna que pertencer esse elemento. É possível calcular o menor complementar se a matriz for quadrada e de ordem maior ou igual a 2. Dada uma matriz de ordem...
- Determinante
a) Menor complementar O menor complementar de um elemento é o determinante da sua matriz quadrada. Para obtermos o menor complementar basta eliminar a linha e a coluna que o elemento pertence. Obs.: todos elementos de uma matriz possui um menor complementar....