Matemática
Matriz quadrada é uma matriz que apresenta o número de linhas e colunas iguais. A toda matriz quadrada está associado um número que recebe a denominação de determinante. Os determinantes apresentam aplicações na resolução de sistemas lineares e no cálculo da área de um triângulo no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas de seus vértices.
Veremos como se dá o cálculo do determinante de matrizes quadradas de 1ª, 2ª e 3ª ordem.
Determinante de uma matriz de 1ª ordem.
Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M = [a11], seu determinante será o número a11. Ou seja:
det M = a11
Determinante de uma matriz de 2ª ordem.
Dada uma matriz quadrada de 2ª ordem, seu determinante será obtido fazendo a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Ou seja:
Determinante de uma matriz de 3ª ordem.
Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 utilizamos o método de Sarrus. Observe como se dá esse processo:
Considere a matriz quadrada de 3ª ordem a seguir:
O método de Sarrus consiste em:
1º: Repetir as duas primeiras colunas da matriz ao lado da última coluna.
2º: Somar o produto dos elementos da diagonal principal com o produto dos elementos das duas diagonais paralelas à principal.
(a11∙a22∙a33+a12∙a23∙a31+a13∙a21∙a32 )
3º: Somar o produto dos elementos da diagonal secundária com o produto dos elementos das duas diagonais paralelas à secundária:
(a12∙a21∙a33 + a11∙a23∙a32 + a13∙a22∙a31)
4º: O determinante será a diferença entre os resultados obtidos nos passos 2 e 3, ou seja:
det A = (a11∙a22∙a33 + a12∙a23∙a31 + a13∙a21∙a32 ) - (a12∙a21∙a33 + a11∙a23∙a32 + a13∙a22∙a31)
Vejamos alguns exemplos de aplicação.
Exemplo 1. Calcule o determinante da matriz abaixo:
Solução: A matriz M é quadrada de ordem 2 x 2. Assim, seu determinante será dado por:
Exemplo 2. Calcule o determinante da matriz
Solução:
Exemplo 3. Dada a matriz M3 x 3 abaixo, calcule seu determinante.
Solução:
det A = (10+12+0) - (16+0+15)=22-31 = -9
Exemplo 4. Calcule o determinante da matriz 3 x 3 abaixo:
Solução:
- Matriz
1 - Definições: 1.1 - Chama-se Menor Complementar ( D ij ) de um elemento aij de uma matriz quadrada A, ao determinante que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz. Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem (3x3) A a seguir :...
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Matemática
Cálculo do determinante de uma matriz quadrada
Cálculo do determinante de uma matriz quadrada
Marcelo Rigonatto Matriz quadrada
Veremos como se dá o cálculo do determinante de matrizes quadradas de 1ª, 2ª e 3ª ordem.
Determinante de uma matriz de 1ª ordem.
Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M = [a11], seu determinante será o número a11. Ou seja:
det M = a11
Determinante de uma matriz de 2ª ordem.
Dada uma matriz quadrada de 2ª ordem, seu determinante será obtido fazendo a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Ou seja:
Determinante de uma matriz de 3ª ordem.
Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 utilizamos o método de Sarrus. Observe como se dá esse processo:
Considere a matriz quadrada de 3ª ordem a seguir:
O método de Sarrus consiste em:
1º: Repetir as duas primeiras colunas da matriz ao lado da última coluna.
2º: Somar o produto dos elementos da diagonal principal com o produto dos elementos das duas diagonais paralelas à principal.
(a11∙a22∙a33+a12∙a23∙a31+a13∙a21∙a32 )
3º: Somar o produto dos elementos da diagonal secundária com o produto dos elementos das duas diagonais paralelas à secundária:
(a12∙a21∙a33 + a11∙a23∙a32 + a13∙a22∙a31)
4º: O determinante será a diferença entre os resultados obtidos nos passos 2 e 3, ou seja:
det A = (a11∙a22∙a33 + a12∙a23∙a31 + a13∙a21∙a32 ) - (a12∙a21∙a33 + a11∙a23∙a32 + a13∙a22∙a31)
Vejamos alguns exemplos de aplicação.
Exemplo 1. Calcule o determinante da matriz abaixo:
Solução: A matriz M é quadrada de ordem 2 x 2. Assim, seu determinante será dado por:
Exemplo 2. Calcule o determinante da matriz
Solução:
Exemplo 3. Dada a matriz M3 x 3 abaixo, calcule seu determinante.
Solução:
det A = (10+12+0) - (16+0+15)=22-31 = -9
Exemplo 4. Calcule o determinante da matriz 3 x 3 abaixo:
Solução:
- Matriz
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