EDO: Naftalina e o Tempo de Sublimação
A naftalina, quimicamente designada por naftaleno, é um hidrocarboneto aromático cuja molécula é constituída por dois anéis benzênicos condensados, juntamente com o benzenos (C6H6) e antraceno (C14H10).
Sua fórmula estrutural é dada por:
Sua fórmula molecular é dada por:
É uma substância cristalina branca em forma de lâminas ou esferas, altamente volátil que sofre sublimação(1) e possui odor característico de alcatrão das esferas antitraças e que arde como chama luminosa.
Nota (1): Sublimação é o processo físico que as partículas de uma dada substância passam do estado sólido para o gasoso (ou do gasoso para o sólido) diretamente, sem passar pela fase intermediária do estado líquido.
Exatamente por possui o odor forte e desagradável, esta característica é responsável pela propriedade inseticida, pois os fortes odores exalados pela substância são capazes de eliminar qualquer micro-organismo indesejável. É por isso que as esferas de naftalinas combatem a presença de traças em roupas de lã em armários fechados.
A naftalina ocorre de forma natural no petróleo, mas em pequenas quantidades através de um processo denominado reforming, modificação catalística de hidrocarbonetos alifáticos. Desta forma, é mais conveniente obter a substância por destilação do alcatrão da hulha, no qual está presente numa proporção de 7%.
Infelizmente os vapores exalados pela naftalina são também tóxicos ao ser humano, ficando exposto ao risco de inalar tal substância. Por este motivo, justifica-se por que a naftalina não é atualmente a melhor opção no controle de pragas.
O processo de sublimação de esferas de naftalina é tão interessante que foi alvo de estudos de matemáticos que conseguiram determinar uma equação diferencial onde é possível determinar a perda de material em função do raio da esfera de naftalina num instante t. Vamos primeiramente determinar a equação diferencia das esferas de naftalina.
Uma esfera de naftalina perde material por sublimação a uma taxa proporcional a sua superfície:
O volume da esfera é dado por:
E a área da esfera é dada por:
Substituindo (2) e (3) na equação diferencial (1), obtemos:
Encontrando:
Exemplo:
Sabendo que inicialmente o raio da hipotética esfera de naftalina é igual a 1 cm e que em 5 horas após o raio media 0,8 cm, podemos determinar em quanto tempo a esfera de naftalina irá sublimar completamente.
Da equação (5), segue que:
Integramos ambos os termos:
Sendo r(0) = 1 cm, então 1 = r(0) = C, de modo que:
Então, passado 6 horas, sabemos que r = 0,8 cm. Assim, aplicamos na equação (7):
A igualdade (8) nos mostra que o raio evolui a uma taxa de 0,04 cm/h. Aplicamos, agora, o valor de k encontrado em (8), na equação (7), encontrando:
Aqui já conseguimos determinar o momento da sublimação total da naftalina, que acontecerá quando o raio for igual a zero:
Logo:
Concluímos então que a esfera de naftalina sublima totalmente em um tempo de 25 horas.
Veja Mais:
EDO: Lei dos Gases de Boyle
EDO: Lei da Refrigeração de Newton
EDO: Queda dos Corpos com Resistência do Ar
A Equação de Bernouli no blog Fatos Matemáticos
Uma Breve História da Equações Diferenciais no blog Fatos Matemáticos
- Calor E MudanÇa De Estado
1. CALOR E MUDANÇA DE ESTADO Toda matéria, dependendo da temperatura, pode se apresentar em três estados: sólido, líquido e gasoso. As possíveis mudanças de estado, quando uma substância recebe ou cede calor, estão esquematizadas na figura abaixo:...
- Mudanças De Estado Físico -b Fusão, Solidificação, Vaporização, Sublimação E Condensação
É provável que nas suas aulas de ciências no ensino fundamental você tenha aprendido três estados físicos da matéria, o sólido, o líquido e o gasoso. Esses estados físicos vêm do estado de agregação das moléculas constituintes da matéria....
- Volume Do Anel Esférico
O Cálculo infinitesimal tem diversas aplicações no campo da Geometria. Uma delas é a determinação do volume de sólidos de revolução. Neste post, vamos encontrar a fórmula para o volume do anel esférico. Um Anel esférico é uma esfera com um...
- Área Da Superfície Esférica A Partir De Seu Volume
Para esta demonstração iremos utilizar apenas conceitos básicos de Geometria Podemos decompor a esfera em uma infinidade de pirâmides cujas bases compõem a superfície esférica e os vértices se encontram no centro da esfera. Desta forma, a superfície...
- Igualdade Entre Um Círculo Tangente A Uma Esfera Inscrita E A Coroa Circular Do Círculo Máximo Da Esfera Circunscrita
Calma! O título é extenso, mas a demonstração é bem simples e rápida: Sejam duas esferas concêntricas, cujos raios soa R e r. Vamos mostrar que a área circular formada por um plano tangente à esfera inscrita é igual à área da coroa circular...