Igualdade entre um Círculo Tangente a uma Esfera Inscrita e a Coroa Circular do Círculo Máximo da Esfera Circunscrita
Calma! O título é extenso, mas a demonstração é bem simples e rápida: Sejam duas esferas concêntricas, cujos raios soa R e r. Vamos mostrar que a área circular formada por um plano tangente à esfera inscrita é igual à área da coroa circular formada no círculo máximo da esfera circunscrita. Veja a figura abaixo:
As áreas dos círculos máximos das esferas são dadas por:
Onde AC é a área do círculo máximo da esfera circunscrita e AI é a área do círculo máximo da esfera inscrita. Logo, a área A1 da coroa circular é dada por:
Aplicando o teorema pitagórico no triângulo retângulo OBC, encontramos o valor para o raio t do círculo tangente em função dos raios R e r:
A área A2 do círculo tangente é dada por:
Comparando as relações (1) e (3), vemos que as áreas A1 e A2 são iguais. Isto é fácil de verificar:
1) Se a esfera inscrita tem seu raio r = R, o círculo tangente terá área nula assim como a área da coroa circular;
2) Se a esfera inscrita tem seu raio r = 0, o círculo tangente será o próprio círculo máximo da esfera circunscrita.
Vejamos: Se duas esferas concêntricas de raios iguais a R = 3 e r = 2, qual será o valor do raio t do círculo tangente e qual será o valor para as áreas A1 e A2?
A área A1 será:
Para o raio t, fazemos:
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Logo, a área A2, será:
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Logo, A1 = A2.
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