Para esta demonstração, utilizaremos conceitos básicos de Geometria e Limites.
Inicialmente, vamos relembrar alguns conceitos:
1) Para qualquer polígono regular, sua área é dada pela fórmula:
onde:
AP é a área do polígono
l é o comprimento do apótema do polígono
n é o número de lados do polígono
s é o comprimento de cada lado do polígono
2) Dado um círculo inscrito a um polígono regular, o raio deste círculo é igual ao apótema do polígono.
3) PI é a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo.
onde:
C é a circunferência do círculo
D é o diâmetro do círculo, que equivale a 2r
Demonstração:
Construímos, então, um círculo de raio r inscrito a um polígono regular de n lados. O apótema deste polígono é igual ao raio do círculo.
Representamos:
AC como área do círculo
AP como área do polígono
P o perímetro do polígono
C a circunferência do círculo
Então:
e
Além disso, se n cresce indiscriminadamente, o polígono de n lados se confunde com o círculo circunscrito e obtemos os limites:
( I )
e
( II )
Uma vez que PI é a razão da circunferência pelo diâmetro de um círculo, temos que:
( III )
Então, se substituirmos ( II ) em ( III ), obtemos:
( IV )
Se multiplicarmos o numerador e o denominador de ( I ) por r, obtemos:
( V )
Mas, de ( IV ) temos que :
e se substituirmos em ( V ), obtemos:
que é a famosa fórmula para cálculo da área do círculo.