Matemática
Uma equação é formada por um polinômio e uma igualdade. O grau desse polinômio determina o grau da equação. Por exemplo:
• 2x + 2 = 5 ↔ 2x – 3 = 0 → o polinômio 2x – 3 é do 1º grau, pois o seu monômio de maior grau é 2x. Portanto, a equação é do primeiro grau.
• 3a3 + 5a – 1 = 0 → 3a3 + 5a – 1 é um polinômio de 3º grau, pois o monômio de maior grau é 3a3. Portanto, a equação é de 3º grau.
• 2y2 + 5 = 0 → 2y2 + 5 é um polinômio de 2º grau, pois o monômio de maior grau é 2y2. Portanto, a equação é do segundo grau.
Toda equação do segundo grau pode ser escrita de uma forma geral:
ax2 + bx + c = 0
onde a , b, c poderá assumir qualquer valor real, mas para que a equação continue sendo do 2º grau o valor de a deverá ser diferente de zero.
Veja como identificar os valores de a, b, c em uma equação do 2º grau.
• 2x2 + 5x – 1 = 0
a = 2
b = 5
c = -1
• x2 – 2x + 4 = 0
a = 1
b = -2
c = 4
• (2 + 6y) (2 – 6y) = - 320, antes de identificarmos os valores dos coeficientes, devemos organizar essa equação na forma geral de uma equação do 2º grau.
(2 + 6y) (2 – 6y) = - 320 → aplicando a propriedade distributiva, temos:
4 – 36y2 = - 320
- 36y2 +4 + 320 = 0
-36y2 + 324 = 0 → quando uma equação do 2º grau falta algum membro ela é dita incompleta e o termo que está faltando dizemos que ele é igual a zero.
a = -36
b = 0
c = 324
• - x2 – x = 0
a = -1
b = -1
c = 0
Existem várias maneiras de resolvermos ou encontrarmos as raízes de uma equação do 2º grau, ou seja, encontrarmos os valores de x, a mais conhecida é a fórmula de Báskara.
x = - b ± √∆
2a
Veja a demonstração de como chegamos a essa fórmula:
Pegamos a forma geral de uma equação do 2º grau.
Podemos dizer que b2 – 4ac = ∆.
Qualquer equação do segundo grau, seja ela incompleta ou completa, pode ser resolvida utilizando Báskara:
X = - b ± √ ∆ sendo que ∆ = b2 – 4 . a . c
2 . a
As equações incompletas podem ser resolvidas de outra forma, sem utilizar essa fórmula.
A equação será resolvida de acordo com o coeficiente que estiver faltando, veja:
►Quando b = 0
Quando o termo b for igual a zero, basta isolarmos a incógnita da equação. Por exemplo:
2y2 – 50 = 0
2y2 = 50
y2 = 50 : 2
y2 = 25
y = √25
y = ± 5
►Quando c = 0
Quando o termo c for igual a zero, basta colocarmos a incógnita em evidência, pois ela será termo semelhante da equação. Por exemplo:
2x2 – x = 0 → x é um termo semelhante da equação, então podemos colocá-lo em
evidência.
x(2x -1) = 0 → quando colocamos um termo em evidência dividimos esse termo pelos
termos da equação.
Agora, temos um produto (multiplicação) de dois fatores x e (2x -1), a multiplicação desses fatores é igual a zero, para essa igualdade ser verdadeira um dos fatores deve ser igual a zero, como não sabemos se é o x ou o (2x -1), igualamos os dois a zero, formando duas equações de 1º grau, veja:
x’ = 0 → podemos dizer que zero é uma das raízes da equação.
e
(2x -1) = 0
2x = 0+1
2x = 1
x’’ = 1 → é a outra raiz da equação.
2
► Quando b = 0 e c = 0
Quando em uma equação do segundo grau estiver apenas o coeficiente a, as suas raízes sempre serão iguais a zero. Veja o exemplo:
10x2 = 0 → isolando o x, teremos:
x2 = 0 : 10
x2 = 0
x = ± √0
x = 0.
Qualquer equação do segundo grau, seja ela incompleta ou completa, pode ser resolvida utilizando Báskara:
X = - b ± √ ∆ sendo que ∆ = b2 – 4 . a . c
2 . a
As equações incompletas podem ser resolvidas de outra forma, sem utilizar essa fórmula.
A equação será resolvida de acordo com o coeficiente que estiver faltando, veja:
►Quando b = 0
Quando o termo b for igual a zero, basta isolarmos a incógnita da equação. Por exemplo:
2y2 – 50 = 0
2y2 = 50
y2 = 50 : 2
y2 = 25
y = √25
y = ± 5
►Quando c = 0
Quando o termo c for igual a zero, basta colocarmos a incógnita em evidência, pois ela será termo semelhante da equação. Por exemplo:
2x2 – x = 0 → x é um termo semelhante da equação, então podemos colocá-lo em
evidência.
x(2x -1) = 0 → quando colocamos um termo em evidência dividimos esse termo pelos
termos da equação.
Agora, temos um produto (multiplicação) de dois fatores x e (2x -1), a multiplicação desses fatores é igual a zero, para essa igualdade ser verdadeira um dos fatores deve ser igual a zero, como não sabemos se é o x ou o (2x -1), igualamos os dois a zero, formando duas equações de 1º grau, veja:
x’ = 0 → podemos dizer que zero é uma das raízes da equação.
e
(2x -1) = 0
2x = 0+1
2x = 1
x’’ = 1 → é a outra raiz da equação.
2
► Quando b = 0 e c = 0
Quando em uma equação do segundo grau estiver apenas o coeficiente a, as suas raízes sempre serão iguais a zero. Veja o exemplo:
10x2 = 0 → isolando o x, teremos:
x2 = 0 : 10
x2 = 0
x = ± √0
x = 0.
Qualquer equação do segundo grau, seja ela incompleta ou completa, pode ser resolvida utilizando Báskara:
X = - b ± √ ∆ sendo que ∆ = b2 – 4 . a . c
2 . a
As equações incompletas podem ser resolvidas de outra forma, sem utilizar essa fórmula.
A equação será resolvida de acordo com o coeficiente que estiver faltando, veja:
►Quando b = 0
Quando o termo b for igual a zero, basta isolarmos a incógnita da equação. Por exemplo:
2y2 – 50 = 0
2y2 = 50
y2 = 50 : 2
y2 = 25
y = √25
y = ± 5
►Quando c = 0
Quando o termo c for igual a zero, basta colocarmos a incógnita em evidência, pois ela será termo semelhante da equação. Por exemplo:
2x2 – x = 0 → x é um termo semelhante da equação, então podemos colocá-lo em
evidência.
x(2x -1) = 0 → quando colocamos um termo em evidência dividimos esse termo pelos
termos da equação.
Agora, temos um produto (multiplicação) de dois fatores x e (2x -1), a multiplicação desses fatores é igual a zero, para essa igualdade ser verdadeira um dos fatores deve ser igual a zero, como não sabemos se é o x ou o (2x -1), igualamos os dois a zero, formando duas equações de 1º grau, veja:
x’ = 0 → podemos dizer que zero é uma das raízes da equação.
e
(2x -1) = 0
2x = 0+1
2x = 1
x’’ = 1 → é a outra raiz da equação.
2
► Quando b = 0 e c = 0
Quando em uma equação do segundo grau estiver apenas o coeficiente a, as suas raízes sempre serão iguais a zero. Veja o exemplo:
10x2 = 0 → isolando o x, teremos:
x2 = 0 : 10
x2 = 0
x = ± √0
x = 0.
Qualquer equação do segundo grau, seja ela incompleta ou completa, pode ser resolvida utilizando Báskara:
X = - b ± √ ∆ sendo que ∆ = b2 – 4 . a . c
2 . a
As equações incompletas podem ser resolvidas de outra forma, sem utilizar essa fórmula.
A equação será resolvida de acordo com o coeficiente que estiver faltando, veja:
►Quando b = 0
Quando o termo b for igual a zero, basta isolarmos a incógnita da equação. Por exemplo:
2y2 – 50 = 0
2y2 = 50
y2 = 50 : 2
y2 = 25
y = √25
y = ± 5
►Quando c = 0
Quando o termo c for igual a zero, basta colocarmos a incógnita em evidência, pois ela será termo semelhante da equação. Por exemplo:
2x2 – x = 0 → x é um termo semelhante da equação, então podemos colocá-lo em
evidência.
x(2x -1) = 0 → quando colocamos um termo em evidência dividimos esse termo pelos
termos da equação.
Agora, temos um produto (multiplicação) de dois fatores x e (2x -1), a multiplicação desses fatores é igual a zero, para essa igualdade ser verdadeira um dos fatores deve ser igual a zero, como não sabemos se é o x ou o (2x -1), igualamos os dois a zero, formando duas equações de 1º grau, veja:
x’ = 0 → podemos dizer que zero é uma das raízes da equação.
e
(2x -1) = 0
2x = 0+1
2x = 1
x’’ = 1 → é a outra raiz da equação.
2
► Quando b = 0 e c = 0
Quando em uma equação do segundo grau estiver apenas o coeficiente a, as suas raízes sempre serão iguais a zero. Veja o exemplo:
10x2 = 0 → isolando o x, teremos:
x2 = 0 : 10
x2 = 0
x = ± √0
x = 0.
Equações biquadradas é uma equação escrita da seguinte forma geral: ax4 + bx2 + c = 0. Para resolver (encontrarmos as sua raízes) é preciso transformá-las em uma equação do segundo grau.
Para melhor compreensão veja no exemplo abaixo como essa transformação acontece e como chegamos às raízes da equação biquadrada.
y4 – 10y2 + 9 = 0 → equação biquadrada
(y2)2 – 10y2 + 9 = 0 → também pode ser escrita assim.
Substituindo variáveis: y2 = x, isso significa que onde for y2 iremos colocar x.
x2 – 10x + 9 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando x` e x``
a = 1 b = -10 c = 9
∆ = b2 – 4ac
∆ = (-10)2 – 4 . 1 . 9
∆ = 100 – 36
∆ = 64
x = - b ± √∆
2a
x = -(-10) ± √64
2 . 1
x = 10 ± 8
2
x’ = 9
x” = 1
Essas são as raízes da equação x2 – 10x + 9 = 0, para encontrarmos as raízes da equação biquadrada y4 – 10y2 + 9 = 0 devemos substituir os valores de x’ e x” em y2 = x.
Para x = 9
y2 = x
y2 = 9
y = √9
y = ± 3
Para x = 1
y2 = x
y2 = 1
y = √1
y = ±1
Portanto, a solução da equação biquadrada será:
S = {-3, -1, 1, 3}.
Quando o valor de ∆ é maior que zero ou igual a zero a equação possui duas raízes reais. Quando isso acontece podemos fazer uma relação entre essas raízes, se somarmos as duas raízes chegaremos à seguinte forma – b, e se multiplicarmos as duas raízes chegaremos à seguinte forma c . a
a
Agora, como chegamos a essas formas? Veja a demonstração abaixo:
A forma geral de uma equação do segundo grau é ax2 + bx + c = 0, dessa forma tiramos duas raízes:
X’ = - b + √∆ X’’ = - b - √∆
2 .a 2 .a
Se somarmos as duas raízes X’ + X’’, teremos:
X’ + X’’ = - b + √∆ + - b - √∆ → √∆ e - √∆ = 0
2 .a 2 .a
X’ + X’’ = - 2b → simplifica o 2 do numerador com o do denominador.
2a
X’ + X’’ = - b
a
Se multiplicarmos as duas raízes X’ . X’’, temos:
X’ . X’’ = (-b)2 + b√∆ - b√∆ - (√∆)2 → Eliminar os parênteses e operar termos
4a2 semelhantes.
X’ . X’’ = b2 - ∆ → ∆ = b2 – 4ac
4a2
X’ . X’’ = b2 – (b2 – 4ac) → eliminar os parênteses
4a2
X’ . X’’ = b2 – b2 + 4ac → eliminar os termos opostos.
4a2
X’ . X’’ = 4ac
4a2
X’ . X’’ = c
a
Dada a equação n2 – 7n +10 = 0, para saber qual é a soma e o produto das suas raízes não é necessário que saibamos o valor delas, basta usar as demonstrações acima:
Primeiro devemos identificar seus coeficientes a = 1 ; b = -7 ; c = 10.
X’ + X’’ = - b = - (-7) = 7
a 1
X’ . X’’ = c = 10 = 10
a 1
Quando resolvemos uma equação, independente do seu grau, seu resultado é chamado de raiz da equação, por exemplo, se tivermos que resolver a equação 2x2 – 1 = 0 o resultado encontrado será o valor ou valores de x que também é conhecido como raiz da equação.
Especificamente no caso da equação do segundo grau, o resultado poderá ser duas raízes reais iguais, duas raízes reais diferentes ou nenhuma raiz real.
Veja alguns exemplos de equações que irá obter uma, duas e nenhuma raiz real.
Antes de iniciarmos a resolução das equações vamos relembrar a fórmula utilizada na resolução de equações do 2º grau, a fórmula de Báskara.
X = - b ± √ ∆ sendo que ∆ = b2 – 4 . a . c
2 . a
Exemplo 1:
t2 – 6t = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 1
b = - 6
c = 0
Agora vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = (-6)2 – 4 . 1 . 0
∆ = 36 - 0
∆ = 36 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)
X = - b ± √ ∆
2 . a
X = - ( -6) ± √36
2 . 1
X = + 6 ± 6
2
X’ = 6 + 6 = 12 = 6
2 2
X’’ = 6 – 6 = 0 = 0
2 2
Portanto, as raízes encontradas foram 6 e 0 (duas raízes reais diferentes).
Exemplo 2:
4x2 – 28x + 49 = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 4
b = - 28
c = 49
Agora, vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = (-28)2 – 4 . 4 . 49
∆ = 784 - 784
∆ = 0 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)
X = - b ± √ ∆
2 . a
X = - (-28) ± √0
2 . 4
X = 28 ± 0
8
X’ = 28 + 0 = 28 = 3,5
8 8
X’’ = 28 – 0 = 28 = 3,5
8 8
Portanto, as raízes encontradas foram 3,5 e 3,5 (duas raízes reais iguais).
Exemplo 3:
(y – 3)2 = - 1
Antes de indicar os coeficientes devemos organizar a equação:
y2 – 2 . y . (-3) + (-3)2 = - 1
y2 + 6y + 9 + 1 = 0
y2 + 6y + 10 = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 1
b = 6
c = 10
Agora, vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = 62 – 4 . 1 . 10
∆ = 36 – 40
∆ = - 4 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)
X = - b ± √ ∆
2 . a
X = - 6 ± √-4 (não existe raiz real de índice par e radicando negativo)
2
Portanto, essa equação não tem raiz real.
• Relação do valor de ∆ com as raízes da equação
O valor de ∆ indica quantas raízes reais terá a equação. Quando ∆ for:
∆ > 0 a equação terá duas raízes reais diferentes.
∆ < 0 a equação terá nenhuma raiz real.
∆ = 0 a equação terá duas raízes reais iguais. Quando resolvemos uma equação, independente do seu grau, seu resultado é chamado de raiz da equação, por exemplo, se tivermos que resolver a equação 2x2 – 1 = 0 o resultado encontrado será o valor ou valores de x que também é conhecido como raiz da equação.
Especificamente no caso da equação do segundo grau, o resultado poderá ser duas raízes reais iguais, duas raízes reais diferentes ou nenhuma raiz real.
Veja alguns exemplos de equações que irá obter uma, duas e nenhuma raiz real.
Antes de iniciarmos a resolução das equações vamos relembrar a fórmula utilizada na resolução de equações do 2º grau, a fórmula de Báskara.
X = - b ± √ ∆ sendo que ∆ = b2 – 4 . a . c
2 . a
Exemplo 1:
t2 – 6t = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 1
b = - 6
c = 0
Agora vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = (-6)2 – 4 . 1 . 0
∆ = 36 - 0
∆ = 36 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)
X = - b ± √ ∆
2 . a
X = - ( -6) ± √36
2 . 1
X = + 6 ± 6
2
X’ = 6 + 6 = 12 = 6
2 2
X’’ = 6 – 6 = 0 = 0
2 2
Portanto, as raízes encontradas foram 6 e 0 (duas raízes reais diferentes).
Exemplo 2:
4x2 – 28x + 49 = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 4
b = - 28
c = 49
Agora, vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = (-28)2 – 4 . 4 . 49
∆ = 784 - 784
∆ = 0 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)
X = - b ± √ ∆
2 . a
X = - (-28) ± √0
2 . 4
X = 28 ± 0
8
X’ = 28 + 0 = 28 = 3,5
8 8
X’’ = 28 – 0 = 28 = 3,5
8 8
Portanto, as raízes encontradas foram 3,5 e 3,5 (duas raízes reais iguais).
Exemplo 3:
(y – 3)2 = - 1
Antes de indicar os coeficientes devemos organizar a equação:
y2 – 2 . y . (-3) + (-3)2 = - 1
y2 + 6y + 9 + 1 = 0
y2 + 6y + 10 = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 1
b = 6
c = 10
Agora, vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = 62 – 4 . 1 . 10
∆ = 36 – 40
∆ = - 4 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)
X = - b ± √ ∆
2 . a
X = - 6 ± √-4 (não existe raiz real de índice par e radicando negativo)
2
Portanto, essa equação não tem raiz real.
• Relação do valor de ∆ com as raízes da equação
O valor de ∆ indica quantas raízes reais terá a equação. Quando ∆ for:
∆ > 0 a equação terá duas raízes reais diferentes.
∆ < 0 a equação terá nenhuma raiz real.
∆ = 0 a equação terá duas raízes reais iguais. Quando resolvemos uma equação, independente do seu grau, seu resultado é chamado de raiz da equação, por exemplo, se tivermos que resolver a equação 2x2 – 1 = 0 o resultado encontrado será o valor ou valores de x que também é conhecido como raiz da equação.
Especificamente no caso da equação do segundo grau, o resultado poderá ser duas raízes reais iguais, duas raízes reais diferentes ou nenhuma raiz real.
Veja alguns exemplos de equações que irá obter uma, duas e nenhuma raiz real.
Antes de iniciarmos a resolução das equações vamos relembrar a fórmula utilizada na resolução de equações do 2º grau, a fórmula de Báskara.
X = - b ± √ ∆ sendo que ∆ = b2 – 4 . a . c
2 . a
Exemplo 1:
t2 – 6t = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 1
b = - 6
c = 0
Agora vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = (-6)2 – 4 . 1 . 0
∆ = 36 - 0
∆ = 36 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)
X = - b ± √ ∆
2 . a
X = - ( -6) ± √36
2 . 1
X = + 6 ± 6
2
X’ = 6 + 6 = 12 = 6
2 2
X’’ = 6 – 6 = 0 = 0
2 2
Portanto, as raízes encontradas foram 6 e 0 (duas raízes reais diferentes).
Exemplo 2:
4x2 – 28x + 49 = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 4
b = - 28
c = 49
Agora, vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = (-28)2 – 4 . 4 . 49
∆ = 784 - 784
∆ = 0 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)
X = - b ± √ ∆
2 . a
X = - (-28) ± √0
2 . 4
X = 28 ± 0
8
X’ = 28 + 0 = 28 = 3,5
8 8
X’’ = 28 – 0 = 28 = 3,5
8 8
Portanto, as raízes encontradas foram 3,5 e 3,5 (duas raízes reais iguais).
Exemplo 3:
(y – 3)2 = - 1
Antes de indicar os coeficientes devemos organizar a equação:
y2 – 2 . y . (-3) + (-3)2 = - 1
y2 + 6y + 9 + 1 = 0
y2 + 6y + 10 = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 1
b = 6
c = 10
Agora, vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = 62 – 4 . 1 . 10
∆ = 36 – 40
∆ = - 4 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)
X = - b ± √ ∆
2 . a
X = - 6 ± √-4 (não existe raiz real de índice par e radicando negativo)
2
Portanto, essa equação não tem raiz real.
• Relação do valor de ∆ com as raízes da equação
O valor de ∆ indica quantas raízes reais terá a equação. Quando ∆ for:
∆ > 0 a equação terá duas raízes reais diferentes.
∆ < 0 a equação terá nenhuma raiz real.
∆ = 0 a equação terá duas raízes reais iguais. Quando resolvemos uma equação, independente do seu grau, seu resultado é chamado de raiz da equação, por exemplo, se tivermos que resolver a equação 2x2 – 1 = 0 o resultado encontrado será o valor ou valores de x que também é conhecido como raiz da equação.
Especificamente no caso da equação do segundo grau, o resultado poderá ser duas raízes reais iguais, duas raízes reais diferentes ou nenhuma raiz real.
Veja alguns exemplos de equações que irá obter uma, duas e nenhuma raiz real.
Antes de iniciarmos a resolução das equações vamos relembrar a fórmula utilizada na resolução de equações do 2º grau, a fórmula de Báskara.
X = - b ± √ ∆ sendo que ∆ = b2 – 4 . a . c
2 . a
Exemplo 1:
t2 – 6t = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 1
b = - 6
c = 0
Agora vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = (-6)2 – 4 . 1 . 0
∆ = 36 - 0
∆ = 36 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)
X = - b ± √ ∆
2 . a
X = - ( -6) ± √36
2 . 1
X = + 6 ± 6
2
X’ = 6 + 6 = 12 = 6
2 2
X’’ = 6 – 6 = 0 = 0
2 2
Portanto, as raízes encontradas foram 6 e 0 (duas raízes reais diferentes).
Exemplo 2:
4x2 – 28x + 49 = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 4
b = - 28
c = 49
Agora, vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = (-28)2 – 4 . 4 . 49
∆ = 784 - 784
∆ = 0 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)
X = - b ± √ ∆
2 . a
X = - (-28) ± √0
2 . 4
X = 28 ± 0
8
X’ = 28 + 0 = 28 = 3,5
8 8
X’’ = 28 – 0 = 28 = 3,5
8 8
Portanto, as raízes encontradas foram 3,5 e 3,5 (duas raízes reais iguais).
Exemplo 3:
(y – 3)2 = - 1
Antes de indicar os coeficientes devemos organizar a equação:
y2 – 2 . y . (-3) + (-3)2 = - 1
y2 + 6y + 9 + 1 = 0
y2 + 6y + 10 = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 1
b = 6
c = 10
Agora, vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = 62 – 4 . 1 . 10
∆ = 36 – 40
∆ = - 4 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)
X = - b ± √ ∆
2 . a
X = - 6 ± √-4 (não existe raiz real de índice par e radicando negativo)
2
Portanto, essa equação não tem raiz real.
• Relação do valor de ∆ com as raízes da equação
O valor de ∆ indica quantas raízes reais terá a equação. Quando ∆ for:
∆ > 0 a equação terá duas raízes reais diferentes.
∆ < 0 a equação terá nenhuma raiz real.
∆ = 0 a equação terá duas raízes reais iguais.
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Matemática
Equação do 2º Grau
Uma equação é formada por um polinômio e uma igualdade. O grau desse polinômio determina o grau da equação. Por exemplo:
• 2x + 2 = 5 ↔ 2x – 3 = 0 → o polinômio 2x – 3 é do 1º grau, pois o seu monômio de maior grau é 2x. Portanto, a equação é do primeiro grau.
• 3a3 + 5a – 1 = 0 → 3a3 + 5a – 1 é um polinômio de 3º grau, pois o monômio de maior grau é 3a3. Portanto, a equação é de 3º grau.
• 2y2 + 5 = 0 → 2y2 + 5 é um polinômio de 2º grau, pois o monômio de maior grau é 2y2. Portanto, a equação é do segundo grau.
Toda equação do segundo grau pode ser escrita de uma forma geral:
ax2 + bx + c = 0
onde a , b, c poderá assumir qualquer valor real, mas para que a equação continue sendo do 2º grau o valor de a deverá ser diferente de zero.
Veja como identificar os valores de a, b, c em uma equação do 2º grau.
• 2x2 + 5x – 1 = 0
a = 2
b = 5
c = -1
• x2 – 2x + 4 = 0
a = 1
b = -2
c = 4
• (2 + 6y) (2 – 6y) = - 320, antes de identificarmos os valores dos coeficientes, devemos organizar essa equação na forma geral de uma equação do 2º grau.
(2 + 6y) (2 – 6y) = - 320 → aplicando a propriedade distributiva, temos:
4 – 36y2 = - 320
- 36y2 +4 + 320 = 0
-36y2 + 324 = 0 → quando uma equação do 2º grau falta algum membro ela é dita incompleta e o termo que está faltando dizemos que ele é igual a zero.
a = -36
b = 0
c = 324
• - x2 – x = 0
a = -1
b = -1
c = 0
Existem várias maneiras de resolvermos ou encontrarmos as raízes de uma equação do 2º grau, ou seja, encontrarmos os valores de x, a mais conhecida é a fórmula de Báskara.
x = - b ± √∆
2a
Veja a demonstração de como chegamos a essa fórmula:
Pegamos a forma geral de uma equação do 2º grau.
Podemos dizer que b2 – 4ac = ∆.
Qualquer equação do segundo grau, seja ela incompleta ou completa, pode ser resolvida utilizando Báskara:
X = - b ± √ ∆ sendo que ∆ = b2 – 4 . a . c
2 . a
As equações incompletas podem ser resolvidas de outra forma, sem utilizar essa fórmula.
A equação será resolvida de acordo com o coeficiente que estiver faltando, veja:
►Quando b = 0
Quando o termo b for igual a zero, basta isolarmos a incógnita da equação. Por exemplo:
2y2 – 50 = 0
2y2 = 50
y2 = 50 : 2
y2 = 25
y = √25
y = ± 5
►Quando c = 0
Quando o termo c for igual a zero, basta colocarmos a incógnita em evidência, pois ela será termo semelhante da equação. Por exemplo:
2x2 – x = 0 → x é um termo semelhante da equação, então podemos colocá-lo em
evidência.
x(2x -1) = 0 → quando colocamos um termo em evidência dividimos esse termo pelos
termos da equação.
Agora, temos um produto (multiplicação) de dois fatores x e (2x -1), a multiplicação desses fatores é igual a zero, para essa igualdade ser verdadeira um dos fatores deve ser igual a zero, como não sabemos se é o x ou o (2x -1), igualamos os dois a zero, formando duas equações de 1º grau, veja:
x’ = 0 → podemos dizer que zero é uma das raízes da equação.
e
(2x -1) = 0
2x = 0+1
2x = 1
x’’ = 1 → é a outra raiz da equação.
2
► Quando b = 0 e c = 0
Quando em uma equação do segundo grau estiver apenas o coeficiente a, as suas raízes sempre serão iguais a zero. Veja o exemplo:
10x2 = 0 → isolando o x, teremos:
x2 = 0 : 10
x2 = 0
x = ± √0
x = 0.
Qualquer equação do segundo grau, seja ela incompleta ou completa, pode ser resolvida utilizando Báskara:
X = - b ± √ ∆ sendo que ∆ = b2 – 4 . a . c
2 . a
As equações incompletas podem ser resolvidas de outra forma, sem utilizar essa fórmula.
A equação será resolvida de acordo com o coeficiente que estiver faltando, veja:
►Quando b = 0
Quando o termo b for igual a zero, basta isolarmos a incógnita da equação. Por exemplo:
2y2 – 50 = 0
2y2 = 50
y2 = 50 : 2
y2 = 25
y = √25
y = ± 5
►Quando c = 0
Quando o termo c for igual a zero, basta colocarmos a incógnita em evidência, pois ela será termo semelhante da equação. Por exemplo:
2x2 – x = 0 → x é um termo semelhante da equação, então podemos colocá-lo em
evidência.
x(2x -1) = 0 → quando colocamos um termo em evidência dividimos esse termo pelos
termos da equação.
Agora, temos um produto (multiplicação) de dois fatores x e (2x -1), a multiplicação desses fatores é igual a zero, para essa igualdade ser verdadeira um dos fatores deve ser igual a zero, como não sabemos se é o x ou o (2x -1), igualamos os dois a zero, formando duas equações de 1º grau, veja:
x’ = 0 → podemos dizer que zero é uma das raízes da equação.
e
(2x -1) = 0
2x = 0+1
2x = 1
x’’ = 1 → é a outra raiz da equação.
2
► Quando b = 0 e c = 0
Quando em uma equação do segundo grau estiver apenas o coeficiente a, as suas raízes sempre serão iguais a zero. Veja o exemplo:
10x2 = 0 → isolando o x, teremos:
x2 = 0 : 10
x2 = 0
x = ± √0
x = 0.
Qualquer equação do segundo grau, seja ela incompleta ou completa, pode ser resolvida utilizando Báskara:
X = - b ± √ ∆ sendo que ∆ = b2 – 4 . a . c
2 . a
As equações incompletas podem ser resolvidas de outra forma, sem utilizar essa fórmula.
A equação será resolvida de acordo com o coeficiente que estiver faltando, veja:
►Quando b = 0
Quando o termo b for igual a zero, basta isolarmos a incógnita da equação. Por exemplo:
2y2 – 50 = 0
2y2 = 50
y2 = 50 : 2
y2 = 25
y = √25
y = ± 5
►Quando c = 0
Quando o termo c for igual a zero, basta colocarmos a incógnita em evidência, pois ela será termo semelhante da equação. Por exemplo:
2x2 – x = 0 → x é um termo semelhante da equação, então podemos colocá-lo em
evidência.
x(2x -1) = 0 → quando colocamos um termo em evidência dividimos esse termo pelos
termos da equação.
Agora, temos um produto (multiplicação) de dois fatores x e (2x -1), a multiplicação desses fatores é igual a zero, para essa igualdade ser verdadeira um dos fatores deve ser igual a zero, como não sabemos se é o x ou o (2x -1), igualamos os dois a zero, formando duas equações de 1º grau, veja:
x’ = 0 → podemos dizer que zero é uma das raízes da equação.
e
(2x -1) = 0
2x = 0+1
2x = 1
x’’ = 1 → é a outra raiz da equação.
2
► Quando b = 0 e c = 0
Quando em uma equação do segundo grau estiver apenas o coeficiente a, as suas raízes sempre serão iguais a zero. Veja o exemplo:
10x2 = 0 → isolando o x, teremos:
x2 = 0 : 10
x2 = 0
x = ± √0
x = 0.
Qualquer equação do segundo grau, seja ela incompleta ou completa, pode ser resolvida utilizando Báskara:
X = - b ± √ ∆ sendo que ∆ = b2 – 4 . a . c
2 . a
As equações incompletas podem ser resolvidas de outra forma, sem utilizar essa fórmula.
A equação será resolvida de acordo com o coeficiente que estiver faltando, veja:
►Quando b = 0
Quando o termo b for igual a zero, basta isolarmos a incógnita da equação. Por exemplo:
2y2 – 50 = 0
2y2 = 50
y2 = 50 : 2
y2 = 25
y = √25
y = ± 5
►Quando c = 0
Quando o termo c for igual a zero, basta colocarmos a incógnita em evidência, pois ela será termo semelhante da equação. Por exemplo:
2x2 – x = 0 → x é um termo semelhante da equação, então podemos colocá-lo em
evidência.
x(2x -1) = 0 → quando colocamos um termo em evidência dividimos esse termo pelos
termos da equação.
Agora, temos um produto (multiplicação) de dois fatores x e (2x -1), a multiplicação desses fatores é igual a zero, para essa igualdade ser verdadeira um dos fatores deve ser igual a zero, como não sabemos se é o x ou o (2x -1), igualamos os dois a zero, formando duas equações de 1º grau, veja:
x’ = 0 → podemos dizer que zero é uma das raízes da equação.
e
(2x -1) = 0
2x = 0+1
2x = 1
x’’ = 1 → é a outra raiz da equação.
2
► Quando b = 0 e c = 0
Quando em uma equação do segundo grau estiver apenas o coeficiente a, as suas raízes sempre serão iguais a zero. Veja o exemplo:
10x2 = 0 → isolando o x, teremos:
x2 = 0 : 10
x2 = 0
x = ± √0
x = 0.
Equações biquadradas é uma equação escrita da seguinte forma geral: ax4 + bx2 + c = 0. Para resolver (encontrarmos as sua raízes) é preciso transformá-las em uma equação do segundo grau.
Para melhor compreensão veja no exemplo abaixo como essa transformação acontece e como chegamos às raízes da equação biquadrada.
y4 – 10y2 + 9 = 0 → equação biquadrada
(y2)2 – 10y2 + 9 = 0 → também pode ser escrita assim.
Substituindo variáveis: y2 = x, isso significa que onde for y2 iremos colocar x.
x2 – 10x + 9 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando x` e x``
a = 1 b = -10 c = 9
∆ = b2 – 4ac
∆ = (-10)2 – 4 . 1 . 9
∆ = 100 – 36
∆ = 64
x = - b ± √∆
2a
x = -(-10) ± √64
2 . 1
x = 10 ± 8
2
x’ = 9
x” = 1
Essas são as raízes da equação x2 – 10x + 9 = 0, para encontrarmos as raízes da equação biquadrada y4 – 10y2 + 9 = 0 devemos substituir os valores de x’ e x” em y2 = x.
Para x = 9
y2 = x
y2 = 9
y = √9
y = ± 3
Para x = 1
y2 = x
y2 = 1
y = √1
y = ±1
Portanto, a solução da equação biquadrada será:
S = {-3, -1, 1, 3}.
Quando o valor de ∆ é maior que zero ou igual a zero a equação possui duas raízes reais. Quando isso acontece podemos fazer uma relação entre essas raízes, se somarmos as duas raízes chegaremos à seguinte forma – b, e se multiplicarmos as duas raízes chegaremos à seguinte forma c . a
a
Agora, como chegamos a essas formas? Veja a demonstração abaixo:
A forma geral de uma equação do segundo grau é ax2 + bx + c = 0, dessa forma tiramos duas raízes:
X’ = - b + √∆ X’’ = - b - √∆
2 .a 2 .a
Se somarmos as duas raízes X’ + X’’, teremos:
X’ + X’’ = - b + √∆ + - b - √∆ → √∆ e - √∆ = 0
2 .a 2 .a
X’ + X’’ = - 2b → simplifica o 2 do numerador com o do denominador.
2a
X’ + X’’ = - b
a
Se multiplicarmos as duas raízes X’ . X’’, temos:
X’ . X’’ = (-b)2 + b√∆ - b√∆ - (√∆)2 → Eliminar os parênteses e operar termos
4a2 semelhantes.
X’ . X’’ = b2 - ∆ → ∆ = b2 – 4ac
4a2
X’ . X’’ = b2 – (b2 – 4ac) → eliminar os parênteses
4a2
X’ . X’’ = b2 – b2 + 4ac → eliminar os termos opostos.
4a2
X’ . X’’ = 4ac
4a2
X’ . X’’ = c
a
Dada a equação n2 – 7n +10 = 0, para saber qual é a soma e o produto das suas raízes não é necessário que saibamos o valor delas, basta usar as demonstrações acima:
Primeiro devemos identificar seus coeficientes a = 1 ; b = -7 ; c = 10.
X’ + X’’ = - b = - (-7) = 7
a 1
X’ . X’’ = c = 10 = 10
a 1
Quando resolvemos uma equação, independente do seu grau, seu resultado é chamado de raiz da equação, por exemplo, se tivermos que resolver a equação 2x2 – 1 = 0 o resultado encontrado será o valor ou valores de x que também é conhecido como raiz da equação.
Especificamente no caso da equação do segundo grau, o resultado poderá ser duas raízes reais iguais, duas raízes reais diferentes ou nenhuma raiz real.
Veja alguns exemplos de equações que irá obter uma, duas e nenhuma raiz real.
Antes de iniciarmos a resolução das equações vamos relembrar a fórmula utilizada na resolução de equações do 2º grau, a fórmula de Báskara.
X = - b ± √ ∆ sendo que ∆ = b2 – 4 . a . c
2 . a
Exemplo 1:
t2 – 6t = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 1
b = - 6
c = 0
Agora vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = (-6)2 – 4 . 1 . 0
∆ = 36 - 0
∆ = 36 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)
X = - b ± √ ∆
2 . a
X = - ( -6) ± √36
2 . 1
X = + 6 ± 6
2
X’ = 6 + 6 = 12 = 6
2 2
X’’ = 6 – 6 = 0 = 0
2 2
Portanto, as raízes encontradas foram 6 e 0 (duas raízes reais diferentes).
Exemplo 2:
4x2 – 28x + 49 = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 4
b = - 28
c = 49
Agora, vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = (-28)2 – 4 . 4 . 49
∆ = 784 - 784
∆ = 0 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)
X = - b ± √ ∆
2 . a
X = - (-28) ± √0
2 . 4
X = 28 ± 0
8
X’ = 28 + 0 = 28 = 3,5
8 8
X’’ = 28 – 0 = 28 = 3,5
8 8
Portanto, as raízes encontradas foram 3,5 e 3,5 (duas raízes reais iguais).
Exemplo 3:
(y – 3)2 = - 1
Antes de indicar os coeficientes devemos organizar a equação:
y2 – 2 . y . (-3) + (-3)2 = - 1
y2 + 6y + 9 + 1 = 0
y2 + 6y + 10 = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 1
b = 6
c = 10
Agora, vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = 62 – 4 . 1 . 10
∆ = 36 – 40
∆ = - 4 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)
X = - b ± √ ∆
2 . a
X = - 6 ± √-4 (não existe raiz real de índice par e radicando negativo)
2
Portanto, essa equação não tem raiz real.
• Relação do valor de ∆ com as raízes da equação
O valor de ∆ indica quantas raízes reais terá a equação. Quando ∆ for:
∆ > 0 a equação terá duas raízes reais diferentes.
∆ < 0 a equação terá nenhuma raiz real.
∆ = 0 a equação terá duas raízes reais iguais. Quando resolvemos uma equação, independente do seu grau, seu resultado é chamado de raiz da equação, por exemplo, se tivermos que resolver a equação 2x2 – 1 = 0 o resultado encontrado será o valor ou valores de x que também é conhecido como raiz da equação.
Especificamente no caso da equação do segundo grau, o resultado poderá ser duas raízes reais iguais, duas raízes reais diferentes ou nenhuma raiz real.
Veja alguns exemplos de equações que irá obter uma, duas e nenhuma raiz real.
Antes de iniciarmos a resolução das equações vamos relembrar a fórmula utilizada na resolução de equações do 2º grau, a fórmula de Báskara.
X = - b ± √ ∆ sendo que ∆ = b2 – 4 . a . c
2 . a
Exemplo 1:
t2 – 6t = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 1
b = - 6
c = 0
Agora vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = (-6)2 – 4 . 1 . 0
∆ = 36 - 0
∆ = 36 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)
X = - b ± √ ∆
2 . a
X = - ( -6) ± √36
2 . 1
X = + 6 ± 6
2
X’ = 6 + 6 = 12 = 6
2 2
X’’ = 6 – 6 = 0 = 0
2 2
Portanto, as raízes encontradas foram 6 e 0 (duas raízes reais diferentes).
Exemplo 2:
4x2 – 28x + 49 = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 4
b = - 28
c = 49
Agora, vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = (-28)2 – 4 . 4 . 49
∆ = 784 - 784
∆ = 0 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)
X = - b ± √ ∆
2 . a
X = - (-28) ± √0
2 . 4
X = 28 ± 0
8
X’ = 28 + 0 = 28 = 3,5
8 8
X’’ = 28 – 0 = 28 = 3,5
8 8
Portanto, as raízes encontradas foram 3,5 e 3,5 (duas raízes reais iguais).
Exemplo 3:
(y – 3)2 = - 1
Antes de indicar os coeficientes devemos organizar a equação:
y2 – 2 . y . (-3) + (-3)2 = - 1
y2 + 6y + 9 + 1 = 0
y2 + 6y + 10 = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 1
b = 6
c = 10
Agora, vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = 62 – 4 . 1 . 10
∆ = 36 – 40
∆ = - 4 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)
X = - b ± √ ∆
2 . a
X = - 6 ± √-4 (não existe raiz real de índice par e radicando negativo)
2
Portanto, essa equação não tem raiz real.
• Relação do valor de ∆ com as raízes da equação
O valor de ∆ indica quantas raízes reais terá a equação. Quando ∆ for:
∆ > 0 a equação terá duas raízes reais diferentes.
∆ < 0 a equação terá nenhuma raiz real.
∆ = 0 a equação terá duas raízes reais iguais. Quando resolvemos uma equação, independente do seu grau, seu resultado é chamado de raiz da equação, por exemplo, se tivermos que resolver a equação 2x2 – 1 = 0 o resultado encontrado será o valor ou valores de x que também é conhecido como raiz da equação.
Especificamente no caso da equação do segundo grau, o resultado poderá ser duas raízes reais iguais, duas raízes reais diferentes ou nenhuma raiz real.
Veja alguns exemplos de equações que irá obter uma, duas e nenhuma raiz real.
Antes de iniciarmos a resolução das equações vamos relembrar a fórmula utilizada na resolução de equações do 2º grau, a fórmula de Báskara.
X = - b ± √ ∆ sendo que ∆ = b2 – 4 . a . c
2 . a
Exemplo 1:
t2 – 6t = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 1
b = - 6
c = 0
Agora vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = (-6)2 – 4 . 1 . 0
∆ = 36 - 0
∆ = 36 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)
X = - b ± √ ∆
2 . a
X = - ( -6) ± √36
2 . 1
X = + 6 ± 6
2
X’ = 6 + 6 = 12 = 6
2 2
X’’ = 6 – 6 = 0 = 0
2 2
Portanto, as raízes encontradas foram 6 e 0 (duas raízes reais diferentes).
Exemplo 2:
4x2 – 28x + 49 = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 4
b = - 28
c = 49
Agora, vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = (-28)2 – 4 . 4 . 49
∆ = 784 - 784
∆ = 0 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)
X = - b ± √ ∆
2 . a
X = - (-28) ± √0
2 . 4
X = 28 ± 0
8
X’ = 28 + 0 = 28 = 3,5
8 8
X’’ = 28 – 0 = 28 = 3,5
8 8
Portanto, as raízes encontradas foram 3,5 e 3,5 (duas raízes reais iguais).
Exemplo 3:
(y – 3)2 = - 1
Antes de indicar os coeficientes devemos organizar a equação:
y2 – 2 . y . (-3) + (-3)2 = - 1
y2 + 6y + 9 + 1 = 0
y2 + 6y + 10 = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 1
b = 6
c = 10
Agora, vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = 62 – 4 . 1 . 10
∆ = 36 – 40
∆ = - 4 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)
X = - b ± √ ∆
2 . a
X = - 6 ± √-4 (não existe raiz real de índice par e radicando negativo)
2
Portanto, essa equação não tem raiz real.
• Relação do valor de ∆ com as raízes da equação
O valor de ∆ indica quantas raízes reais terá a equação. Quando ∆ for:
∆ > 0 a equação terá duas raízes reais diferentes.
∆ < 0 a equação terá nenhuma raiz real.
∆ = 0 a equação terá duas raízes reais iguais. Quando resolvemos uma equação, independente do seu grau, seu resultado é chamado de raiz da equação, por exemplo, se tivermos que resolver a equação 2x2 – 1 = 0 o resultado encontrado será o valor ou valores de x que também é conhecido como raiz da equação.
Especificamente no caso da equação do segundo grau, o resultado poderá ser duas raízes reais iguais, duas raízes reais diferentes ou nenhuma raiz real.
Veja alguns exemplos de equações que irá obter uma, duas e nenhuma raiz real.
Antes de iniciarmos a resolução das equações vamos relembrar a fórmula utilizada na resolução de equações do 2º grau, a fórmula de Báskara.
X = - b ± √ ∆ sendo que ∆ = b2 – 4 . a . c
2 . a
Exemplo 1:
t2 – 6t = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 1
b = - 6
c = 0
Agora vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = (-6)2 – 4 . 1 . 0
∆ = 36 - 0
∆ = 36 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)
X = - b ± √ ∆
2 . a
X = - ( -6) ± √36
2 . 1
X = + 6 ± 6
2
X’ = 6 + 6 = 12 = 6
2 2
X’’ = 6 – 6 = 0 = 0
2 2
Portanto, as raízes encontradas foram 6 e 0 (duas raízes reais diferentes).
Exemplo 2:
4x2 – 28x + 49 = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 4
b = - 28
c = 49
Agora, vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = (-28)2 – 4 . 4 . 49
∆ = 784 - 784
∆ = 0 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)
X = - b ± √ ∆
2 . a
X = - (-28) ± √0
2 . 4
X = 28 ± 0
8
X’ = 28 + 0 = 28 = 3,5
8 8
X’’ = 28 – 0 = 28 = 3,5
8 8
Portanto, as raízes encontradas foram 3,5 e 3,5 (duas raízes reais iguais).
Exemplo 3:
(y – 3)2 = - 1
Antes de indicar os coeficientes devemos organizar a equação:
y2 – 2 . y . (-3) + (-3)2 = - 1
y2 + 6y + 9 + 1 = 0
y2 + 6y + 10 = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 1
b = 6
c = 10
Agora, vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = 62 – 4 . 1 . 10
∆ = 36 – 40
∆ = - 4 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)
X = - b ± √ ∆
2 . a
X = - 6 ± √-4 (não existe raiz real de índice par e radicando negativo)
2
Portanto, essa equação não tem raiz real.
• Relação do valor de ∆ com as raízes da equação
O valor de ∆ indica quantas raízes reais terá a equação. Quando ∆ for:
∆ > 0 a equação terá duas raízes reais diferentes.
∆ < 0 a equação terá nenhuma raiz real.
∆ = 0 a equação terá duas raízes reais iguais.
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