Matemática

Euclides e a Geometria Dedutiva

Derrotada a batalha de Queronéia pelas forças do rei Filipe, a Grécia torna-se parte do império macedônio no ano $338a.C.$. Dois anos depois, com a morte de Filipe, seu filho Alexandre assume o poder, então com $20$ anos de idade. Ao morrer, cerca de $13$ anos depois, Alexandre incorporara ao seu império grande parte do mundo civilizado de então. Dessa forma a cultura grega, adotada pelos macedônios (em cuja formação populacional predominava o elemento grego), foi estendida ao Oriente antigo. Em sua arrancada expansionista, Alexandre fundou muitas cidades. Uma delas, em especial, teria um papel extraordinário na história da Matemática: Alexandria, no Egito.

Com a morte de Alexandre, o domínio sobre o Egito passou às mãos de Ptolomeu, um de seus líderes militares. E uma das primeiras e talvez mais importante obra de Ptolomeu foi criar em Alexandria, junto ao museu (templo às musas), o primeiro modelo do que viriam a ser as universidades, séculos depois. Nesse centro, intelectuais do mundo inteiro, trabalhando ali em tempo integral, dedicavam-se às pesquisas e ao ensino às custas dos cofres do Estado. Ponto alto da instalação era uma biblioteca, que chegou a ter no auge de seu esplendor, perto de $700$ mil rolos de papiro. Muitos grandes matemáticos trabalharam ou se formaram no Museu. Dentre eles, o primeiro talvez, e um dos mais notáveis, foi Euclides $(c. 300 a.C.)$.

Quase nada se sabe sobre a vida de Euclides, salvo algumas poucas informações esparsas. Mesmo sobre sua formação matemática não há nenhuma certeza: é possível que tenha sido feita em Atenas, na Academia de Platão. Papus de Alexandria $(séc. IV)$ deixou registrados elogios à sua modéstia e consideração para com os outros. Mas sua presença de espírito talvez possa ser avaliada pela história segundo a qual, a uma indagação de Ptolomeu sobre se não haveria um caminho mais curto para a Geometria (que o proposto por Euclides), teria respondido: "Não há nenhum caminho real na Geometria". Ou seja, perante a Geometria todos são iguais, até reis poderosos como Ptolomeu.

Embora autor de outros trabalhos, a fama de Euclides praticamente repousa sobre seus Elementos, o mais antigo texto da Matemática grega a chegar completo a nossos dias. Obra em treze livros, apesar de na sua maior parte ser uma compilação e sistematização de trabalhos anteriores sobre a matemática elementar da época, seu êxito foi enorme. Haja vista suas mais de mil edições impressas em todo o mundo, desde a primeira em $1482$, um feito editorial talvez só superado pela Bíblia.

Os Elementos dedicam um bom espaço à teoria dos números (três livros), mas com o enfoque geométrico que permeia toda a obra. Euclides representava os números por segmentos de reta, assim como representava o produto de dois números por um retângulo. Contudo, a argumentação usada por ele independe da geometria. Há também no texto um pouco de álgebra geométrica, onde, por exemplo, algumas raízes dadas na forma de segmentos de retas.

Mas, sem dúvida, o forte dos Elementos é a Geometria. A partir de cinco noções comuns, cinco postulados específicos e algumas definições, centenas de teoremas ($467$ em toda a obra) são deduzidos, alguns de grande profundidade. Além de ser o mais antigo texto de matemática na forma axiomático-dedutiva a chegar a nossos dias, nele Euclides foi muito feliz na escolha e no enunciado de seus postulados básico. E soube usá-los com proficiência. Assim, não é sem motivo que os Elementos, por dois milênios, além de texto fundamental de Geometria, foi o modelo de boa matemática.

Falhas em suas estruturações lógica foram sendo achadas ao longo do tempo. Por exemplo, a questão da continuidade não foi focalizada, o que levava Euclides a usar pressupostos não explicitados sobre o assunto. Tudo isso porém chegar a ser irrelevante em face da grandiosidade da obra e de sua influência científica.

Texto de Hygino H. Domingues

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V9 - Geometria Plana - Osvaldo Dolce e José Nicolau Pompeo

Veja mais:

Quadriláteros Notáveis
Os Elementos de Euclides
O Algoritmo de Euclides para Determinação do MDC
O Teorema de Pitágoras Segundo Euclides - A Proposição I-47
Lobachevsky e as Geometrias Não-Euclidianas

- Questão 41 ? Processo De Promoção ? Quadro Do Magistério ? Professor De Educação Básica Ii ? Matemática ? São Paulo
Carl Boyer, em seu livro História da Matemática, apresenta e discute ideias de Euclides de Alexandria, que é o autor de Os Elementos. Para Boyer, os Elementos ?não só constituem a mais antiga obra matemática grega importante a chegar até nós,...

- Solução: Como "construir Um Triângulo Equilátero Sobre A Reta Limitada Dada"?
[veja o problema] Consideremos a solução apresentada por Euclides: Seja a reta limitada dada AB. É preciso, então, sobre a reta AB construir um triângulo equilátero.Fique descrito, por um lado, com o centro A, e, por outro lado, com a distância...

- Como "construir Um Triângulo Equilátero Sobre A Reta Limitada Dada"?
Quando um estudante perguntou para que servia o estudo da geometria, Euclides disse a seu escravo que desse três moedas ao estudante, ?pois ele precisa ter lucro com o que aprende? (Boyer, p.69) Considere o seguinte problema: Construa, com régua e...

- Lobachevsky E As Geometrias Não-euclidianas
Tudo começou com Euclides, cerca de $300a.C.$, em sua obra-prima Os Elementos a geometria foi construída sobre cinco postulados:$I-$ Fique postulado traçar uma reta a partir de todo ponto até todo ponto.$II-$ Também prolongar uma reta limitada,...

- Elementos De Euclides
Os Elementos de Euclides (grego: Στοιχεῖα) é um tratado matemático e geométrico consistindo de 13 livros escrito pelo matemático grego Euclides em Alexandria por volta de 300 a.C.. Ele engloba uma coleção de definições, postulados (axiomas),...

Matemática