Matemática
Seja a reta limitada dada AB. É preciso, então, sobre a reta AB construir um triângulo equilátero.
- Equação Reduzida Da Circunferência
Da mesma forma que equacionamos uma reta é possível também representarmos uma circunferência na forma de equações, utilizando seu centro e um ponto genérico da circunferência. Veja a representação em um plano cartesiano de uma circunferência...
- Equação Da Circunferência
Da mesma forma que equacionamos uma reta é possível também representarmos uma circunferência na forma de equações, utilizando seu centro e um ponto genérico da circunferência. Veja a representação em um plano cartesiano de uma circunferência...
- Ângulos No Círculo
Definimos como círculo a região limitada por uma circunferência de raio r e de diâmetro 2r. Elementos de um círculo ou circunferência Dada uma região circular, podemos ter: raio, diâmetro, corda, centro, arcos. Veja a figura: segmento de reta...
- Como Achar O Centro Do Círculo, Por Euclides
No livro $III$ dos Elementos, Proposição $1$, Euclides nos mostra como achar o centro de um círculo dado de maneira muito elementar e elegante. Proposição $1$ do Livro $III$: Achar o centro do círculo dado. Seja o círculo $C_1$. Tracemos através...
- Semelhança No Círculo
Sejam $O$ um ponto do plano e $r$ um número real positivo. O círculo de centro $O$ é o conjunto dos pontos que estão a uma distância $\leq r$ do ponto $O$. Ou seja, o círculo de centro $O$ e raio $r$ é a reunião de todos os pontos da reta de comprimento...
Matemática
Solução: como "construir um triângulo equilátero sobre a reta limitada dada"?
[veja o problema]
Consideremos a solução apresentada por Euclides:
Seja a reta limitada dada AB. É preciso, então, sobre a reta AB construir um triângulo equilátero.Fique descrito, por um lado, com o centro A, e, por outro lado, com a distância AB, o círculo BCD, e, de novo, fique descrito, por um lado, com o centro B, e, por outro lado, com a distância BA, o círculo ACE, e, a partir do ponto C, no qual os círculos se cortam, até os pontos A, B, fiquem ligadas as retas CA, CB.
E, como o ponto A é centro do círculo CDB, a AC é igual à AB; de novo, como o ponto B é centro do círculo CAE, a BC é igual à BA. Mas a CA foi também provada igual à AB; Portanto, cada uma das CA, CB é igual à AB. Mas as coisas iguais à mesma coisa são também iguais entre si; portanto, também a CA é igual à CB, portanto, as três CA, AB, BC são iguais entre si.
Portanto, o triângulo ABC é equilátero, e foi construído sobre a reta limitada dada AB.
[Portanto, sobre a reta limitada dada, foi construído um triângulo eqüilátero]; o que era preciso fazer. (Trad. Bicudo)
Hoje, para construir um triângulo equilátero na prática, diríamos: faça um círculo com centro em A e raio AB e outro, de mesmo raio, com centro em B. Seja C a intersecção dos círculos. Ligue o ponto A ao ponto C e o ponto B ao ponto C. Os segmentos AB e AC são iguais, pois são raios do mesmo círculo. O mesmo acontece com os segmentos AB e BC, que também são raios do mesmo circulo e portanto iguais. Então temos: AB = AC e AB = BC que acarreta AC = BC, ou seja: AB = AC = BC. O triângulo equilátero está construído.
(Contudo note que "construir dois círculo de mesmo raio" pode não ser a mesma coisa para você do que foi para Euclides - o compasso euclidiano fechava ao ser tirado do papel, logo transportar medidas era mais trabalhoso. Na última referência há um texto sobre construções euclidianas).
(Contudo note que "construir dois círculo de mesmo raio" pode não ser a mesma coisa para você do que foi para Euclides - o compasso euclidiano fechava ao ser tirado do papel, logo transportar medidas era mais trabalhoso. Na última referência há um texto sobre construções euclidianas).
Toda a obra de Euclides possui demonstrações similares a esta. Embora os postulados, noções comuns e definições não sejam, em sua totalidade, aceitos hoje (devido á falta de rigor em alguns pontos) percebe-se claramente que as demonstrações possui um elevado e admirável grau de lógica.
Observe que Euclides usa nessa ordem: o postulado 3, o postulado 1, a definição 15, a 1ª noção comum, e a definição 20:
Seja a reta limitada dada AB. É preciso, então, sobre a reta AB construir um triângulo equilátero.
Fique descrito, por um lado, com o centro A, e, por outro lado, com a distância AB, o círculo BCD, e, de novo, fique descrito, por um lado, com o centro B, e, por outro lado, com a distância BA, o círculo ACE, e, a partir do ponto C, no qual os círculos se cortam, até os pontos A, B, fiquem ligadas as retas CA, CB.
E, como o ponto A é centro do círculo CDB, a AC é igual à AB; de novo, como o ponto B é centro do círculo CAE, a BC é igual à BA. Mas a CA foi também provada igual à AB; Portanto, cada uma das CA, CB é igual à AB. Mas as coisas iguais à mesma coisa são também iguais entre si; portanto, também a CA é igual à CB, portanto, as três CA, AB, BC são iguais entre si.
Portanto, o triângulo ABC é equilátero, e foi construído sobre a reta limitada dada AB.
[Portanto, sobre a reta limitada dada, foi construído um triângulo eqüilátero]; o que era preciso fazer.
Eis acima um belo (e muito antigo!) exemplo de matemática dedutiva. Que aqueles que lecionam matemática não a apresentem a seus alunos como um conjunto de dogmas e cuidem de não deixar despercebido este importante aspecto: a dedução lógica (veja, por exemplo, os mandamentos para professores de matemática, em particular o sétimo)
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Referências:
BOYER, Carl B. História da Matemática. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. (Tradução de Elza F. Gomide)
EUCLIDES. Os Elementos. São Paulo: Editora UNESP, 2009. (Tradução de Irineu Bicudo)
EUCLIDES. Euclid?s Elements of Geometry, 2008. (traduzido por Richard Fitzpatrick)
EUCLIDES. Elementos de Geometria. São Paulo: Edições Cultura, 1944. (tradução de Frederico Commandino)
EVES, Howard. Geometria. São Paulo: Actaul, 1992. (Tópicos de História da Matemática para uso em Sala de Aula) (Traduzido por Hygino H. Domingues)
*Caso eles existam, apreciarei se erros de qualquer natureza (conceitual, de digitação, de escrita, matemáticos ou não) sejam apontados. Entre em contato aqui.
*Caso eles existam, apreciarei se erros de qualquer natureza (conceitual, de digitação, de escrita, matemáticos ou não) sejam apontados. Entre em contato aqui.
- Equação Reduzida Da Circunferência
Da mesma forma que equacionamos uma reta é possível também representarmos uma circunferência na forma de equações, utilizando seu centro e um ponto genérico da circunferência. Veja a representação em um plano cartesiano de uma circunferência...
- Equação Da Circunferência
Da mesma forma que equacionamos uma reta é possível também representarmos uma circunferência na forma de equações, utilizando seu centro e um ponto genérico da circunferência. Veja a representação em um plano cartesiano de uma circunferência...
- Ângulos No Círculo
Definimos como círculo a região limitada por uma circunferência de raio r e de diâmetro 2r. Elementos de um círculo ou circunferência Dada uma região circular, podemos ter: raio, diâmetro, corda, centro, arcos. Veja a figura: segmento de reta...
- Como Achar O Centro Do Círculo, Por Euclides
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Sejam $O$ um ponto do plano e $r$ um número real positivo. O círculo de centro $O$ é o conjunto dos pontos que estão a uma distância $\leq r$ do ponto $O$. Ou seja, o círculo de centro $O$ e raio $r$ é a reunião de todos os pontos da reta de comprimento...