Matemática
Fatorar uma expressão algébrica significa escrevê-la na forma de um produto de expressões mais simples.
ax + bx + cx = x . (a + b + c)
O fator comum é x.
12x3 - 6x2 + 3x = 3x . (4x2 - 2x + 1)
O fator comum é 3x.
Agrupar os termos de modo que em cada grupo haja um fator comum.
(ax + ay) + (bx + by)
Colocar em evidência o fator comum de cada grupo
a(x + y) + b(x + y)
Colocar o fator comum (x + y) em evidência
(x + y) . (a + b) Þ Este produto é a forma fatorada da expressão dada
(a + b) (a - b)
Ex: x2 - 36 = (x + 6) (x - 6)
Um trinômio é quadrado perfeito quando :
- dois de seus termos são quadrados perfeitos (a2 e b2 )
- o outro termo é igual ao dobro do produto das raízes dos quadrados perfeitos (2ab)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Ex: x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Ex: x2 - 6x + 9 = (x - 3)2
Devemos procurar dois números a e b que tenham soma S e produto P.
x2 + Sx + P = (x + a) (x + b)
Ex: x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)
x2 + 2x - 8 = (x + 4) (x - 2)
x2 - 5x + 6 = (x - 2) (x - 3)
x2 - 2x - 8 = (x - 4) (x + 2)
Sua forma fatorada é :
(a + b) (a2 - ab + b2)
Ex: x3 + 8 = (x + 2) (x2 - 2x + 4)
Sua forma fatorada é :
(a - b) (a2 + ab + b2)
Ex: x3 - 27 = (x - 3) (x2 + 3x + 9)
esta expressão em fatores de uma multiplicação. Para conseguirmos isto utilizamos
algumas técnicas tais como:
1. Fator comum em evidência
2. Agrupamento de termos semelhantes
3. Diferença de dois quadrados
4. Trinômio quadrado perfeito.
5. Trinômio do segundo grau.
Achou alguns nomes acima complicados ? Não se preocupe! Vamos ver, a seguir,
um exemplo de cada uma destas técnicas utilizadas para a fatoração de uma expressão.
coeficientes (o que fica na na frente das variáveis x, y etc), podem ser
divididos por um certo número. Neste caso 12, +4, -8 podem ser divididos
por 4. Então, colocamos o número 4 em evidência, ou seja, antes de um
parênteses, dividimos cada um dos coeficientes por 4 e escrevemos o
resultado no lugar o próprio coeficiente. Veja:
12x2 + 4x3 - 8x4
4 (3x2 + 1x3 - 2x4). Observe que se multiplicarmos o 4 pelos novos coeficientes
3, 1 e -2 iremos ter de volta os coeficientes originais 12, 4 e -8.
Nós escolhemos o 4 para dividir os coeficientes porquê ele é o maior número que
pode dividir cada um dos coeficientes. Não poderíamos ter escolhido, o 8, por exemplo, pois ele é maior que o 4 e não daria para fazer divisão exata, ok ?
Agora precisamos verificar se podemos dividir cada um dos termos que estão dentro
dos parênteses, por um mesmo fator literal (que contém letra). Neste caso podemos
notar que o fator x2 serve para dividir cada uma dos termos da expressão.
Desta forma, escrevemos o x2 antes dos parênteses, ao lado do número 4, e dividimos
cada um dos termos por ele. Veja como fica:
4x2 (3 + 1x - 2x2)
Lembrete: x4 / x3 = x (Divisão de
de mesmba base: repete a base e subtrai
os expoentes.
Observe que se multiplicarmos o 4x2 pelos termos dentro dos parênteses iremos obter
a expressão original 12x2 + 4x3 - 8x4. Desta forma, através da técnica de por o fator
comum em evidência, da fatoração, concluímos que 12x2 + 4x3 - 8x4 = 4x2 (3 + x - 2x2).
colocar algo em evidência como fizemos nos exemplos anteriores. Vejamos:
vamos fatorar xy + xz + ay + az.
Primeiro a gente tenta ver os termos que têm partes iguais. Neste caso o xy e xz
têm algo igual: a letra x e, portanto, a gente pode por o x em evidência, que nem fizemos
no exemplo anterior, e o y e o z dentro dos parênteses. Veja:xy + xz = x(y +z).
Então até agora estamos assim: xy + xz + ay + az = x(y +z) + ay + az.
Segundo, a gente nota também que o ay e o az têm parte comum: a letra a. Então
fazemos a mesma coisa: ay + az = a (y + z). Desta forma a expressão original
xy + xz + ay + az é igual a x(y +z) + a (y + z). Finalmente notamos que (y + z) é
comum a x e a, então fazemos novamente a mesma coisa. Colocamos o (y + z) em
evidência e o x e o a dentro dos parênteses. Veja: (y + z) (x + a). Observe que se
fizermos esta multiplicação obteremos a expressão original pois (y + z) (x + a) = xy + xz + ay + az.
o resultado de um produto notável do tipo produto da soma pela diferença.
Neste caso, percebemos que a expressão x2 - y2 é o resultado do desenvolvimento
do produto notável (x + y )( x - y ).
Então ao invés de escrevermos x2 - y2 simplesmente escrevemos os fatores
(x + y )( x - y ) pois x2 - y2 = (x + y )( x - y ).
nada mais é que o resultado de um produto notável do tipo a mais b ao quadrado.
Neste caso, percebemos que a expressão x2 +2xy + y2 é o resultado do desenvolvimento
do produto notável (x + y )2.
Então ao invés de escrevermos x2 +2xy + y2 simplesmente escrevemos (x + y )2 pois
x2 +2xy + y2 = (x + y )2.
segundo grau. No exemplo acima, se observarmos atentamente, notaremos
que -7 é a soma das raízes da equação e 12 é o produto destas raízes.
Lembrete: Numa equação do segundo grau a soma das raízes é dada por
-b/a e o produto é dado por c/a, sabendo-se que neste caso a=1, b=7,
e c=12, fica fácil perceber que a Soma é -7/1=-7 e o Produto é 12/1 = 12.
Agora que sabemos a soma (-7) e o produto (12) calculamos por tentativa,
dois número cuja soma seja -7 e o produto seja 12...é claro que os números
são -3 e -4 pois (-3) + (-4) = -7 e (-3).(-4) = 12. Daí escrevemos os fatores
(x - primeira raiz ).(x - segunda raiz) = (x - (-3).(x - (-4) = (x + 3) (x + 4).
Note que efetuando a multiplicação dos fatores (x + 3) (x + 4) obteremos
a expressão original x2 +7x +12.
Ex: ax + ay = a.(x+y)
Existem vários casos de fatoração como:
Observe o polinômio:
ax + ay » Ambos os termos apresentam o fator a em evidência.
Assim: ax + ay = a.(x+y)
Forma fatorada
Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:
a.(x+y) + b.(x+y)
Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência:
(x+y).(a+b)
Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)
Assim: x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)
Por exemplo, os trinômios (a2 + 2ab + b2 ) e ( a2 - 2ab + b2 ) são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
- Fatoração
Fatorar uma expressão algébrica é modificar sua forma de soma algébrica para produto; fatorar uma expressão é obter outra expressão que a) seja equivalente à expressão dada; b) esteja na forma de produto. Na maioria dos casos, o resultado de...
- Fatoração
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalvesemail [email protected] www.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.accbarrosogestar.blogspot.com.br WWW.profantoniocarneiro.com ...
- FatoraÇÃo
Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores. Ex: ax + ay = a.(x+y) Existem vários casos de fatoração como: 1) Fator Comum em evidênciaQuando os termos apresentam fatores comuns Observe...
- Fatoração
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalvesemail [email protected] www.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.accbarrosogestar.blogspot.com.br ...
- FatoraÇÃo
Fatorar uma expressão algébrica é modificar sua forma de soma algébrica para produto; fatorar uma expressão é obter outra expressão que a) seja equivalente à expressão dada; b) esteja na forma de produto. Na maioria dos casos, o resultado...
Matemática
Fatoração
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email [email protected]
www.ensinodematemtica.blogspot.com.br
www.accbarrosogestar.blogspot.com.br
WWW.profantoniocarneiro.com
Fatorar uma expressão algébrica significa escrevê-la na forma de um produto de expressões mais simples.
Casos de fatoração:
FATOR COMUMax + bx + cx = x . (a + b + c)
O fator comum é x.
12x3 - 6x2 + 3x = 3x . (4x2 - 2x + 1)
O fator comum é 3x.
AGRUPAMENTO
ax + ay + bx + byAgrupar os termos de modo que em cada grupo haja um fator comum.
(ax + ay) + (bx + by)
Colocar em evidência o fator comum de cada grupo
a(x + y) + b(x + y)
Colocar o fator comum (x + y) em evidência
(x + y) . (a + b) Þ Este produto é a forma fatorada da expressão dada
DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS
A expressão a2 - b2 representa a diferença de dois quadrados e sua forma fatorada é :(a + b) (a - b)
Ex: x2 - 36 = (x + 6) (x - 6)
TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
a2 + 2ab + b2Um trinômio é quadrado perfeito quando :
- dois de seus termos são quadrados perfeitos (a2 e b2 )
- o outro termo é igual ao dobro do produto das raízes dos quadrados perfeitos (2ab)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Ex: x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Ex: x2 - 6x + 9 = (x - 3)2
TRINÔMIO DO 2O GRAU
Trinômio do tipo x2 + Sx + PDevemos procurar dois números a e b que tenham soma S e produto P.
x2 + Sx + P = (x + a) (x + b)
Ex: x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)
x2 + 2x - 8 = (x + 4) (x - 2)
x2 - 5x + 6 = (x - 2) (x - 3)
x2 - 2x - 8 = (x - 4) (x + 2)
SOMA DE DOIS CUBOS
A expressão a3 + b3 representa a soma de dois cubos.Sua forma fatorada é :
(a + b) (a2 - ab + b2)
Ex: x3 + 8 = (x + 2) (x2 - 2x + 4)
DIFERENÇA DE DOIS CUBOS
A expressão a3 - b3 representa a diferença de dois cubos.Sua forma fatorada é :
(a - b) (a2 + ab + b2)
Ex: x3 - 27 = (x - 3) (x2 + 3x + 9)
Fonte: www.sosmatematica.com
Fatoração
Quando a gente fatora uma expressão, na verdade, a gente esta transformandoesta expressão em fatores de uma multiplicação. Para conseguirmos isto utilizamos
algumas técnicas tais como:
1. Fator comum em evidência
2. Agrupamento de termos semelhantes
3. Diferença de dois quadrados
4. Trinômio quadrado perfeito.
5. Trinômio do segundo grau.
Achou alguns nomes acima complicados ? Não se preocupe! Vamos ver, a seguir,
um exemplo de cada uma destas técnicas utilizadas para a fatoração de uma expressão.
1. Fator comum em evidência: 12x2 + 4x3 - 8x4
Nesta técnica a gente verifica cada um dos termos, procurando ver se oscoeficientes (o que fica na na frente das variáveis x, y etc), podem ser
divididos por um certo número. Neste caso 12, +4, -8 podem ser divididos
por 4. Então, colocamos o número 4 em evidência, ou seja, antes de um
parênteses, dividimos cada um dos coeficientes por 4 e escrevemos o
resultado no lugar o próprio coeficiente. Veja:
12x2 + 4x3 - 8x4
4 (3x2 + 1x3 - 2x4). Observe que se multiplicarmos o 4 pelos novos coeficientes
3, 1 e -2 iremos ter de volta os coeficientes originais 12, 4 e -8.
Nós escolhemos o 4 para dividir os coeficientes porquê ele é o maior número que
pode dividir cada um dos coeficientes. Não poderíamos ter escolhido, o 8, por exemplo, pois ele é maior que o 4 e não daria para fazer divisão exata, ok ?
1. Fator comum em evidência (Continuação) :
12x2 + 4x3 - 8x4 = 4 (3x2 + 1x3 - 2x4)Agora precisamos verificar se podemos dividir cada um dos termos que estão dentro
dos parênteses, por um mesmo fator literal (que contém letra). Neste caso podemos
notar que o fator x2 serve para dividir cada uma dos termos da expressão.
Desta forma, escrevemos o x2 antes dos parênteses, ao lado do número 4, e dividimos
cada um dos termos por ele. Veja como fica:
4x2 (3 + 1x - 2x2)
Lembrete: x4 / x3 = x (Divisão de
de mesmba base: repete a base e subtrai
os expoentes.
Observe que se multiplicarmos o 4x2 pelos termos dentro dos parênteses iremos obter
a expressão original 12x2 + 4x3 - 8x4. Desta forma, através da técnica de por o fator
comum em evidência, da fatoração, concluímos que 12x2 + 4x3 - 8x4 = 4x2 (3 + x - 2x2).
2. Agrupamento dos termos semelhantes: xy + xz + ay + az
Esta técnica de fatoração consiste em juntar os termos que são iguais e tentarcolocar algo em evidência como fizemos nos exemplos anteriores. Vejamos:
vamos fatorar xy + xz + ay + az.
Primeiro a gente tenta ver os termos que têm partes iguais. Neste caso o xy e xz
têm algo igual: a letra x e, portanto, a gente pode por o x em evidência, que nem fizemos
no exemplo anterior, e o y e o z dentro dos parênteses. Veja:xy + xz = x(y +z).
Então até agora estamos assim: xy + xz + ay + az = x(y +z) + ay + az.
Segundo, a gente nota também que o ay e o az têm parte comum: a letra a. Então
fazemos a mesma coisa: ay + az = a (y + z). Desta forma a expressão original
xy + xz + ay + az é igual a x(y +z) + a (y + z). Finalmente notamos que (y + z) é
comum a x e a, então fazemos novamente a mesma coisa. Colocamos o (y + z) em
evidência e o x e o a dentro dos parênteses. Veja: (y + z) (x + a). Observe que se
fizermos esta multiplicação obteremos a expressão original pois (y + z) (x + a) = xy + xz + ay + az.
3. Diferença de dois quadrados: x2 - y2
Esta técnica consiste em notar que a expressão, ou parte dela, nada mais é queo resultado de um produto notável do tipo produto da soma pela diferença.
Neste caso, percebemos que a expressão x2 - y2 é o resultado do desenvolvimento
do produto notável (x + y )( x - y ).
Então ao invés de escrevermos x2 - y2 simplesmente escrevemos os fatores
(x + y )( x - y ) pois x2 - y2 = (x + y )( x - y ).
4. Trinômio quadrado perfeito: x2 +2xy + y2
Assim como o caso anterior, esta técnica consiste em notar que a expressão, ou parte dela,nada mais é que o resultado de um produto notável do tipo a mais b ao quadrado.
Neste caso, percebemos que a expressão x2 +2xy + y2 é o resultado do desenvolvimento
do produto notável (x + y )2.
Então ao invés de escrevermos x2 +2xy + y2 simplesmente escrevemos (x + y )2 pois
x2 +2xy + y2 = (x + y )2.
5. Trinômio do segundo grau: x2 +7x +12
Nesta última técnica, procuramos identificar na expressão, um trinômio dosegundo grau. No exemplo acima, se observarmos atentamente, notaremos
que -7 é a soma das raízes da equação e 12 é o produto destas raízes.
Lembrete: Numa equação do segundo grau a soma das raízes é dada por
-b/a e o produto é dado por c/a, sabendo-se que neste caso a=1, b=7,
e c=12, fica fácil perceber que a Soma é -7/1=-7 e o Produto é 12/1 = 12.
Agora que sabemos a soma (-7) e o produto (12) calculamos por tentativa,
dois número cuja soma seja -7 e o produto seja 12...é claro que os números
são -3 e -4 pois (-3) + (-4) = -7 e (-3).(-4) = 12. Daí escrevemos os fatores
(x - primeira raiz ).(x - segunda raiz) = (x - (-3).(x - (-4) = (x + 3) (x + 4).
Note que efetuando a multiplicação dos fatores (x + 3) (x + 4) obteremos
a expressão original x2 +7x +12.
Fonte: www.interaula.com
Fatorção
Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores.Ex: ax + ay = a.(x+y)
Existem vários casos de fatoração como:
1) Fator Comum em evidência
Quando os termos apresentam fatores comunsObserve o polinômio:
ax + ay » Ambos os termos apresentam o fator a em evidência.
Assim: ax + ay = a.(x+y)
Forma fatorada
Exs : Fatore:
2) Fatoração por agrupamento
Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.Como por exemplo:
ax + ay + bx + byOs dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:
a.(x+y) + b.(x+y)
Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência:
(x+y).(a+b)
Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)
Exs: Fatore:
3) Fatoração por diferença de quadrados:
Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadradoAssim: x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)
Exs: Fatore:
4) Fatoração do trinômio quadrado perfeito:
O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito.Por exemplo, os trinômios (a2 + 2ab + b2 ) e ( a2 - 2ab + b2 ) são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Fonte: www.vestibular1.com.br
- Fatoração
Fatorar uma expressão algébrica é modificar sua forma de soma algébrica para produto; fatorar uma expressão é obter outra expressão que a) seja equivalente à expressão dada; b) esteja na forma de produto. Na maioria dos casos, o resultado de...
- Fatoração
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalvesemail [email protected] www.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.accbarrosogestar.blogspot.com.br WWW.profantoniocarneiro.com ...
- FatoraÇÃo
Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores. Ex: ax + ay = a.(x+y) Existem vários casos de fatoração como: 1) Fator Comum em evidênciaQuando os termos apresentam fatores comuns Observe...
- Fatoração
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalvesemail [email protected] www.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.accbarrosogestar.blogspot.com.br ...
- FatoraÇÃo
Fatorar uma expressão algébrica é modificar sua forma de soma algébrica para produto; fatorar uma expressão é obter outra expressão que a) seja equivalente à expressão dada; b) esteja na forma de produto. Na maioria dos casos, o resultado...