Matemática

Irracionalidade do número "e"

Na postagem anterior mostramos a existência do número de Euler, agora prosseguiremos avançando nosso estudo desse número tão fascinante, e iremos mostrar que o número [;e;]

é irracional, começaremos definindo irracionalidade.

Definição: Um número da forma $[;$$\frac{a}{b}$$;]$ , com $[;a,b\in\mathbb{Z};]$ e $[;b\neq 0;]$ , é chamado racional. Um número é irracional quando não é racional.

Exemplo: O número $[;\sqrt{2};]$ é irracional.

Prova: Se $[;\sqrt{2};]$ fosse racional então existiriam $[;a,b\in\mathbb{Z};]$ , com [;mdc(a,b)=1;]

tal que

$[;\sqrt{2}=\frac{a}{b};]$

Assim, elevando ambos os membros ao quadrados temos:

$[;2=\displaystyle\frac{a^2}{b^2};]$

Portanto,

, isso significa que [;a^2;]

é par, logo [;a;]

também é par (olhe a Observação 1), desse modo [;a=2k;]

, $[;k\in\mathbb{Z};]$ , substituido em [;(1);]

, temos:

Assim,

também é par, e analogamente ao caso anterior, [;b;]

é par.

Absurdo, pois [;mdc(a,b)=1;]

, logo $[;\sqrt{2};]$ não pode ser expresso na forma $[;\frac{a}{b};]$ , logo $[;\sqrt{2};]$ é irracional.

Observação 1: Dado $[;x\in\mathbb{Z};]$ , se [;x^2;]

é par, então [; x ;]

também é par.
Demonstração: Suponha que [; x;]

fosse ímpar, assim [;x=2k +1;]

, $[;k\in\mathbb{Z};]$ , e elevando essa última igualdade ao quadrado temos que:

$[;x^2=\left(2k+1\right)^2;]$

$[;x^2=2\left(2k^2+2k\right) +1;]$

, onde $[;j\in\mathbb{Z};]$ e [;j=2k^2+2k;]

Logo,

é ímpar, contradição, pois [;x^2;]

é par, essa contradição partiu do momento em que consideramos [; x;]

sendo ímpar, logo, se [;x^2;]

é par, então [; x;]

também é par.

Lema: O número de Euler pode ser calculado através da seguinte sequência

$[;e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots;]$

Demonstração: Sabemos que $[;\displaystyle e=lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n;]$ (Se não se lembra clique aqui), considere o seguinte número:

$[;x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n;]$

Note que $[;lim_{n\to\infty}x_n=e;]$ , assim, usando o teorema do binõmio de Newton, temos que:

$[;x_n=1+n\cdot\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}\cdot\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}\cdot\frac{1}{n^3}+\cdots +\frac{1}{n^n};]$

$[;\displaystyle =1+1+\frac{1}{1\cdot 2}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots +\frac{1}{n^n};]$
Se $[;n\to\infty;]$ , então $[;\frac{1}{n}\to 0;]$ , logo $[;1-\frac{1}{n}\rightarrow 1;]$ , assim

$[;lim_{n\to\infty}{x_n}= 1+1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\cdots;]$

$[;e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots;]$

Teorema: O número de Euler, [;e;]

, é irracional.

Demonstração: Pelo Lema anterior, o número de Euler pode ser calculado através da sequência:

$[;e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots;]$

Suponhamos, por absurdo que [;e;]

seja racional, dessa forma, $[;e=\frac{p}{q};]$ , com $[;p,q\in\mathbb{Z},q\neq 1;]$ (pois [;e;]

não é inteiro). Assim, cada termo da série inicial é racional, logo o resto da série, dado por:

$[;e-\sum_{n=0}^{q} \frac{1}{n!}=\sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{1}{n!};]$

também é racional.

Assim, para $[;n \geq q+1;]$ temos que:

$[;\frac{1}{n!}=\frac{1}{q!}\frac{1}{(q+1)\cdots n}\leq \frac{1}{q!}\frac{1}{(q+1)^{n-q}};]$

Isso nos diz que

$[;\sum_{n=q+1}^{\infty}\frac{1}{n!}\leq \frac{1}{q!}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(q+1)^k=\frac{1}{q!}\frac{1}{q}};]$

A última igualdade decorre da fórmula para a soma de uma série geométrica. Portanto,

$[;0<e-\sum_{n=0}^{q}\frac{1}{n!}\leq \frac{1}{q!}\frac{1}{q};]$

Multiplicando por [;q!;]

temos:

$[;0<q!\left(e-\sum_{n=0}^{q}\frac{1}{n!}\right)\leq\frac{1}{q}<1;]$

O termo central, pela nossa hipótese, é inteiro pois todos os denominadores da expressão entre parênteses são cancelados por [;q!;]

. Mas isso é um absurdo, pois não existe inteiro entre [;0;]

. Dessa forma, temos que [;e;]

é irracional.

Até mais !

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