JUra? Multiplicação Egípcia
Olá pessoal,
A partir desta semana, sempre utilizando o tópico ?JUra??, irei mostrar algumas curiosas técnicas para a multiplicação de dois números naturais, colhidas ao longo da história da matemática.
Essas técnicas poderão ser muito interessantes para uso em classe, como alternativas aos algoritmos tradicionais para alunos que tenham alguma dificuldade ou mesmo como motivação ou curiosidade para uma aula de matemática.
Hoje, vamos começar pela multiplicação egípcia, no entanto, meses atrás, já havia postado aqui no blog a técnica de multiplicação utilizada pelos russos, conhecida como multiplicação russa, caso queira conhecê-la também, clique aqui.
Que tal agora conhecer como os egípcios multiplicavam???
Vamos lá???
Os egípcios usavam uma técnica bem simples baseada na duplicação de números naturais (achar o dobro). O método funcionava da seguinte forma:
1) Escrevemos duas colunas de números sendo que a primeira começa por 1 e a segunda por um dos fatores da multiplicação desejada.
2) Vamos duplicando os números dessas duas colunas, até que a soma dos números da coluna começada pelo 1 dê um resultado maior ou igual ao outro fator.
3) Escolhemos, na coluna começada pelo 1, os valores que somados dêem resultado igual ao outro fator.
4) Somamos os números da outra coluna, correspondentes aos valores que foram escolhidos na etapa anterior.
Está complicado??? Ainda não entendeu nada??? Tudo bem? Vejamos dois exemplos:
1) 21 x 43
? Primeiro vamos começar as duas colunas. A primeira com o número 1 e a segunda com um dos fatores. Vamos escolher o menor (21).
? Agora vamos dobrar os valores dessas duas colunas, até que a soma dos valores da primeira coluna seja igual ou maior a 43.
? Agora vamos escolher, na primeira coluna, os valores que somados dão exatamente 43, que é o outro fator dessa multiplicação.
32 + 8 + 2 + 1 = 43
? Finalmente, basta somarmos os números da outra coluna, correspondentes aos que foram destacados anteriormente.
Logo, 21 x 43 = 903.
Vejamos o segundo exemplo:
2) 12 x 51
? Primeiro vamos começar as duas colunas. A primeira com o número 1 e a segunda com o fator 12.
? Agora vamos dobrar os valores dessas duas colunas, até que a soma dos valores da primeira coluna seja igual ou maior a 51.
? Agora vamos escolher, na primeira coluna, os valores que somados dão exatamente 51.
32 + 16 + 2 + 1 = 51
? Finalmente, basta somarmos os números da outra coluna, correspondentes aos que foram destacados anteriormente.
Logo, 12 x 51 = 612.
A justificativa desse método é muito simples e está baseada em duas propriedades: Na decomposição de um número natural em uma soma de potências de base dois (propriedade do sistema binário) e na propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.
No exemplo anterior, 12 x 51, o que fizemos foi descobrir quais as potências de 2 que somadas geravam o número 51. No caso, obtivemos os números 32, 16, 2 e 1.
No passo seguinte, o que fizemos foi substituir o número 51 por essa soma de potências de 2, ou seja, a multiplicação foi transformada em:
12 x 51 = 12 x (32 + 16 + 2 + 1)
Aplicando agora a propriedade distributiva da multiplicação, em relação à adição, teremos:
12 x 51 = 12 x 32 + 12 x 16 + 12 x 2 + 12 x 1 = 384 + 192 + 24 + 12, que são exatamente os números selecionados na segunda coluna do método.
Assim, dessa forma bastante criativa e interessante, os antigos Egípcios transformavam uma multiplicação de números naturais em cálculo de dobros (que é simples mentalmente) e em adições.
Texto extraído do livro ?A Magia da Matemática?, da Editora Ciência Moderna.
Nas próximas semanas postarei as técnicas de multiplicação utilizadas na Índia e na China. Aguardem!
Um abraço!
Ju
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