Matemática
Considere o triângulo ABC na figura abaixo:
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA
b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cosB
c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cosC
Exemplo 1: Num triângulo dois lados de medidas 4cm e 8cm formam entre si um angulo de 60º. Qual a medida do outro lado?
Ora, sendo x a medida do terceiro lado, teremos:
x2 = 42 + 82 – 2.4.8.cos60º = 16 + 64 – 2.4.8.(1/2), já que cos60º = 1/2.
x2 = 16 + 64 – 32 = 48 = 16.3; logo, poderemos escrever:
x2 = 42.3 Þ x = 4Ö3 cm
Exemplo 2: Determine o comprimento do lado de um hexágono regular inscrito num círculo de raio R.
R = raio do círculo.
Sabemos que um hexágono regular possui 6 lados de medidas congruentes, ou seja de medidas iguais. Observe que o angulo A é igual a 60º. Logo, o lado PQ do hexágono regular será dado pelo teorema dos cosenos por:
PQ2 = R2 + R2 – 2.R.R.cos60º = 2R2 – R2 (Obs: cos60º = 1/2)
PQ2 = R2, de onde conclui-se: PQ = R.
CONCLUSÃO:
A medida do lado de um hexágono regular inscrito num círculo de raio R é igual a R. Esta é uma propriedade importantíssima dos hexágonos regulares.
Vale a pena memorizar esta propriedade dos hexágonos regulares.
- Lei Dos Senos
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalvesemail [email protected] www.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.accbarrosogestar.blogspot.com.br WWW.profantoniocarneiro.com ...
- Hexágono
Hexágono é uma figura plana que possui 6 lados, sendo regular esses lados deverão ser todos iguais (mesma medida), portanto, hexágono regular é uma figura plana que possui 6 lados com a mesma medida. O hexágono regular circunscrito numa circunferência...
- Área Do Hexágono Regular
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalvesemail [email protected] www.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.accbarrosogestar.blogspot.com.br WWW.profantoniocarneiro.com ...
- Apótema
Considerando um círculo e um polígono inscrito de n lados, definimos como apótema de uma figura poligonal o segmento de reta que parte do centro da figura formando com o lado um ângulo de 90º, isto é, podemos dizer que o apótema é perpendicular...
- Fórmulas Para A área De Um Triângulo
Veremos neste post $4$ fórmulas para calcular a área de um triângulo. Todas elas dependem de pelo menos um dos lados do triângulo. Primeiramente, determinaremos a área do paralelogramo, que servirá como base para as demonstrações subsequentes....
Matemática
Lei dos Cossenos
Considere o triângulo ABC na figura abaixo:
AH = altura do triângulo em relação à base CB.
Medidas dos lados: AC = b, AB = c e CB = a.
Medidas dos lados: AC = b, AB = c e CB = a.
Podemos escrever no triângulo AHB:
AH2 + HB2 = c2 (Teorema de Pitágoras).
AH2 + HB2 = c2 (Teorema de Pitágoras).
Analogamente, podemos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo AHC:
b2 = CH2 + AH2Mas, CH = CB – HB = a – HB
Portanto: b2 = (a - HB)2 + AH2b2 = a2 – 2.a.HB + HB2 + AH2Observe que HB2 + AH2 = AB2 = c2Então fica: b2 = a2 + c2 – 2.a.HB
No triângulo retângulo AHB, podemos escrever:
cosB = cateto adjacente/hipotenusa = HB/c
Daí, HB = c.cosB
Substituindo, fica:
b2 = a2 + c2 – 2.a.c. cosB
Portanto: b2 = (a - HB)2 + AH2b2 = a2 – 2.a.HB + HB2 + AH2Observe que HB2 + AH2 = AB2 = c2Então fica: b2 = a2 + c2 – 2.a.HB
No triângulo retângulo AHB, podemos escrever:
cosB = cateto adjacente/hipotenusa = HB/c
Daí, HB = c.cosB
Substituindo, fica:
b2 = a2 + c2 – 2.a.c. cosB
Da fórmula acima, concluímos que num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o dobro do produto das medidas desses lados pelo coseno do angulo que eles formam.
Isto é o TEOREMA DOS COSENOS – TC.
Analogamente, poderemos escrever:
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA
c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cosC
Em resumo: a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA
c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cosC
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA
b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cosB
c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cosC
Exemplo 1: Num triângulo dois lados de medidas 4cm e 8cm formam entre si um angulo de 60º. Qual a medida do outro lado?
Ora, sendo x a medida do terceiro lado, teremos:
x2 = 42 + 82 – 2.4.8.cos60º = 16 + 64 – 2.4.8.(1/2), já que cos60º = 1/2.
x2 = 16 + 64 – 32 = 48 = 16.3; logo, poderemos escrever:
x2 = 42.3 Þ x = 4Ö3 cm
Exemplo 2: Determine o comprimento do lado de um hexágono regular inscrito num círculo de raio R.
R = raio do círculo.
Sabemos que um hexágono regular possui 6 lados de medidas congruentes, ou seja de medidas iguais. Observe que o angulo A é igual a 60º. Logo, o lado PQ do hexágono regular será dado pelo teorema dos cosenos por:
PQ2 = R2 + R2 – 2.R.R.cos60º = 2R2 – R2 (Obs: cos60º = 1/2)
PQ2 = R2, de onde conclui-se: PQ = R.
CONCLUSÃO:
A medida do lado de um hexágono regular inscrito num círculo de raio R é igual a R. Esta é uma propriedade importantíssima dos hexágonos regulares.
Vale a pena memorizar esta propriedade dos hexágonos regulares.
- Lei Dos Senos
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalvesemail [email protected] www.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.accbarrosogestar.blogspot.com.br WWW.profantoniocarneiro.com ...
- Hexágono
Hexágono é uma figura plana que possui 6 lados, sendo regular esses lados deverão ser todos iguais (mesma medida), portanto, hexágono regular é uma figura plana que possui 6 lados com a mesma medida. O hexágono regular circunscrito numa circunferência...
- Área Do Hexágono Regular
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalvesemail [email protected] www.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.accbarrosogestar.blogspot.com.br WWW.profantoniocarneiro.com ...
- Apótema
Considerando um círculo e um polígono inscrito de n lados, definimos como apótema de uma figura poligonal o segmento de reta que parte do centro da figura formando com o lado um ângulo de 90º, isto é, podemos dizer que o apótema é perpendicular...
- Fórmulas Para A área De Um Triângulo
Veremos neste post $4$ fórmulas para calcular a área de um triângulo. Todas elas dependem de pelo menos um dos lados do triângulo. Primeiramente, determinaremos a área do paralelogramo, que servirá como base para as demonstrações subsequentes....