Matemática

Método De Resolução Das Equações de Sebá (Parte 1 de 3)

Por: Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá)

Este artigo foi enviado pelo professor Sebá envolvendo a resolução de equações dos tipos:

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Por ser um estudo extenso, resolvi dividi-lo em três partes para que fique mais fácil a leitura.

As equações acima foram criadas e batizadas como Equações de Sebá, que elaborou dois teoremas e os batizou-os como Teoremas de Sebá. A seguir, veremos primeiro a demonstração para o primeiro dos dois teoremas. No segundo artigo da série, veremos o segundo teorema e na terceira parte, veremos a Equação de Sebá estendida e algumas aplicações no mercado financeiro.

Teorema de Sebá 1: A equação Aⁿ+ Bⁿ = C^m admite soluções naturais para m e n primos entre si.

Demonstração:

Seja a equação:

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sendo a, b, c, n e m inteiros positivos. Multiplicando ambos os membros da equação (1) por:

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obtém-se:

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Substituindo o valor de da (1) em (2), obtém-se:

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Se escolhermos valores para a e b tal que a ≤ b ou a ≥ b, e substituirmos na (3), obtém-se valores inteiros positivos para A, B e C.

Método de Resolução da Equação de Sebá do Tipo Aⁿ+ Bⁿ= C^m

Exemplo 1: Seja dividir um quadrado em dois cubos de várias maneiras diferentes. Seja a equação:

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Considere a equação:

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Multiplicando ambos os membros da equação acima por:

clip_image002[24]

temos:

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Comparando a equação (5) com a equação (4), devemos decompor m em potências de 3 e m + 1 em potências de 2. Isso só será possível se m e m + 1 forem, respectivamente, múltiplos de 3 e 2. Logo:

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Assim, a equação (5) fica:

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Logo, as soluções da equação dada são obtidas fazendo:

clip_image002[38]

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Por exemplo, se a = 1 e b = 3, temos que:

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Verificação:

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Vejamos algumas ternas geradas a partir da Equação de Sebá:

Observem que, se k = 1, os valores de C² aumentam muito quando variamos os valores de a e b; e que aumentam vertiginosamente quando k = 2.

Exemplo 2: Seja dividir uma biquadrada em maneiras diferentes.

De forma análoga ao exemplo anterior, para a equação:

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Consideremos a equação:

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Multiplicando ambos os membros da equação acima por:

clip_image002[72]

temos:

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Comparando a equação (7) com a equação (6), devemos decompor m em potências de 3 e m + 1 em potências de 4. Isso só é possível se m e m + 1, respectivamente, forem múltiplos de 3 e 4. Logo:

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Assim, a equação (7) fica:

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Logo, as soluções da equação dada são obtidas fazendo:

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Verificação:

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Vejamos algumas ternas geradas a partir da Equação de Sebá:

Assim como ocorre para uma equação quadrada como soma de dois cubos, esta, uma biquadrada como soma de dois cubos, os valores crescem rapidamente.

Nos próximo artigo veremos a resolução das equações de Sebá do tipo:

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Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB, além de colaborador deste blog. Foram feitas algumas alterações do manuscrito original para melhor exposição.

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