Matemática

Tentando dar uma Demostração para o Último Teorema de Fermat (Parte 2)

Olá caros leitores, quem acompanhou a última postagem (Tentando dar uma Demonstração para o Último Teorema de Fermat (Parte 1)) viu toda trajeória deste incrível teorema, que agora se chama Teorema de Fermat-Wiles devido a demonstração do mesmo pelo matemático britânico Andrews Wiles, e como prometido irei apresentar a vocês uma tentativa para demonstrar o último teorema de Fermat utilizando recursos mais acessíveis.
Este artigo foi enviado pelo Prof. Sebá (Sebastião Vieira do Nascimento) e é com muito prazer que aqui eu o apresento esta demonstração:

Primeiramente apresentamos alguns casos particulares do Último Teorema de Fermat:

Lema 1 (Caso n=4). Não há solução inteira positiva para a equação

Prova: Basta ver que

$[;x^4+y^4=z^4\Leftrightarrow\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2=\left(z^2\right)^2;]$

e considerar a terna [;x^2,y^2,z^2;]

Em geral podemos provar o caso [;n=4k;]

onde $[;k\in\left{1,2,3,\ldots\right};]$ .

Lema 2 (Caso n=4k). Não há solução inteira positiva para a equação

$[;x^{4k}+y^{4k}=z^{4k};]$

Prova: Basta notar que

$[;x^{4k}+y^{4k}=z^{4k}\Leftrightarrow (x^k)^4+(y^k)^4=(z^k)^4;]$

e considerar a terna [;(x^k)^2,(y^k)^2,(z^k)^2;]

Na verdade podemos ir mais além: Se [;n;]

é um inteiro que possui um fator primo [;p;]

ímpar, então se provarmos que [;x^p+y^p=z^p;]

não tem solução inteira positiva, teremos provado que $[;x^{kp}+y^{kp}=z^{kp};]$ também não possui solução inteira, onde [;p=kp;]

Teorema de Sebá:
A equação [;A^n+B^n=C^m;]

tem solução em inteiros positivos para [;n;]

primos entre si ( [;mdc(m,n)=1;]

Demonstração: Seja [;a^n+b^n=c^m;]

, com

inteiros positivos.

Multiplicando ambos os membros de [;a^n+b^n=c^m;]

por

, obtêm-se:

$[;(a^n+b^n)(a^n+b^n)^m=c^m(a^n+b^n)^m\qquad (1);]$

Como

, logo, substituindo o valor de [;c^m;]

, obtêm-se:

$[;(a^n+b^n)(a^n+b^n)^m=(a^n+b^n)^{m+1};]$

$[;a^n(a^n+b^n)^m+b^n(a^n+b^n)^m=(a^n+b^n)^{m+1}\qquad (2);]$

Se escolhermos valores para [;a;]

tal que $[;a\leq b;]$ ou $[;a\geq b;]$ , e substituirmos em [;(2);]

, obtém-se valores inteiros positivos para [;A,B;]

Exemplo: Divida um quadrado em dois cubos diferentes.

Temos a seguinte situação:

Note que o expoente de [;A;]

, fazendo

temos:

$[;a^3(a^3+b^3)^m+b^3(a^3+b^3)^m=(a^3+b^3)^{m+1}\qquad (3);]$

Como na equação [;A^3+B^3=C^2;]

, o membro da direita tem expoente [;3;]

e o da esquerda, expoente [;2;]

, temos que encontrar dois números [;m;]

que seja possível decompor [;m;]

em potência de [;3;]

em potência de [;2;]

. Isso só será possível se [;m;]

forem, respectivamente, múltiplo de [;3;]

Logo,

Substituindo os valores de [;m;]

, temos:

$[;a^3(a^3+b^3)^{6k-3}+b^3(a^3+b^3)^{6k-3}=(a^3+b^3)^{6k-2}\qquad (4);]$

A equação acima é uma SOLUÇÃO GERAL para o problema.

Seja

. Substituindo os valores de [;k,a;]

temos:

Solução:

Acima temos uma SOLUÇÃO PARTICULAR para o problema.

Se escolhermos [;k=2;]

, e substituirmos em [;(4);]

temos:

Solução:

Temos acima outra SOLUÇÃO PARTICULAR

Utilizaremos o processo acima para mostrar que a equação [;x^p+y^p=z^p;]

não tem solução em inteiros positivos para [;p;]

primo maior que [;2;]

Afirmação: A equação [;x^p+y^p=z^p;]

para

primo não possui solução em inteiros positivos.

Demostração: Sem perda de generalidade, vamos escrever a equação [;x^p+y^p=z^p;]

da seguinte forma: [;a^p+b^p=c^p;]

.Onde

é um primo maior que [;2;]

Multiplicando ambos os membros de [;a^p+b^p=c^p;]

p or

, obtêm-se:

$[;(a^p+b^p)(a^p+b^p)^m=(a^p+b^p)^mc^p\qquad (I);]$

Como

, logo, substituindo o valor de [;c^p;]

temos:

$[;(a^p+b^p)(a^p+b^p)^m=(a^p+b^p)^{m+1};]$

$[;a^p(a^p+b^p)^m+b^p(a^p+b^p)^m=(a^p+b^p)^{m+1}\qquad (II);]$

Seja, por exemplo, dividir um cubo em dois cubos:

Como na equação [;x^3+y^3=z^3;]

os expoentes de [;x,y;]

são do 3º grau, fazemos [;p=3;]

, assim:

$[;a^3(a^3+b^3)^m+b^3(a^3+b^3)^m=(a^3+b^3)^{m+1}\qquad (III);]$

Tomando

e substituindo em [;(III);]

, temos:

$[;(2)^m+(2)^m=(2)^{m+1}\qquad (IV);]$

Seguimos a mesma linha de raciocínio quando resolvemos [;x^3+y^3=z^2;]

Como na equação [;x^3+y^3=z^3;]

, o membro da direita tem expoente [;3;]

e o da esquerda também tem expoente [;3;]

, logo, por [;(IV);]

, temos que encontrar dois números [;m;]

também em potência de [;3;]

. Isso só seria possível se [;m;]

fossem ambos múltiplos de [;3;]

, o que é impossível, haja vista que se $[;m=3\Rightarrow m+1=4;]$ e obteríamos a equação [;A^3+B^3=C^4;]

que possui solução em inteiros (verifique). Como não é possível encontrar dois números [;m;]

que sejam múltiplos de [;p=3;]

, logo, também não é possível encontrar dois números [;m;]

que sejam ambos múltiplos de [;p>3;]

. Portanto, se a equação de Fermat não tem solução para [;p>2;]

(primo), então fica assim provado que

$[;x^{kp}+y^{kp}=z^{kp};]$

também não possui solução inteira para [;p=kp;]

Portanto, dado um número qualquer $[;\alpha\in\mathbb{Z},\alpha>2;]$ então a equação

$[;x^{\alpha}+y^{\alpha}=z^{\alpha};]$

não possui solução inteira, pois existe [;p;]

primo tal que $[;\alpha=kp;]$ , vimos anteriormente que não existe solução para [;p;]

primo e seus múltiplos.

* Este artigo foi enviado pelo leitor e colaborador Prof. Sebastião Vieira do Nascimento (Prof. Sebá). Agradeço a colaboração!

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