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Matemática

Método De Resolução Das Equações de Sebá (Parte 2 de 3)

Por: Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá)

Este artigo foi enviado pelo professor Sebá envolvendo a resolução de equações dos tipos:

Estas equações foram batizadas como Equações de Sebá, que elaborou dois teoremas e os batizou-os como Teoremas de Sebá. A primeira parte pode ser lida aqui.

A seguir, veremos a demonstração e exemplos para o segundo teorema; em seguida, veremos uma generalização para o teorema. No terceiro artigo da série, veremos algumas aplicações no mercado financeiro.

Teorema de Sebá 2: A equação Aⁿ + Bⁿ + Cⁿ = D^m admite soluções naturais para m e n primos entre si.

Demonstração

Seja a equação:

sendo a, b, c, d, n e m inteiros positivos. Multiplicando ambos os membros da equação (1) por:

obtém-se:

Substituindo o valor de da (1) em (2), obtém-se:

ou

Se escolhermos valores para a, b e c,e substituirmos na (3), obtém-se valores inteiros positivos para A, B, C e D.

Método de Resolução da Equação de Sebá do Tipo Aⁿ + Bⁿ + Cⁿ = D^m

Exemplo 1: Seja encontrar pelo menos duas soluções em inteiros positivos para a equação:

Considere a equação:

Multiplicando ambos os membros da equação acima por:

temos:

Comparando a equação (5) com a equação (4), devemos decompor m em potências de 3 e m + 1 em potências de 2. Isso só será possível se m e m + 1 forem, respectivamente, múltiplos de 3 e 2. Logo:

Assim, a equação (5) fica:

Logo, as soluções da equação dada são obtidas fazendo:

Por exemplo, se a = 1, b = 1 e c = 2, temos que:

Verificação:

Vejamos algumas ternas geradas a partir da Equação de Sebá:

Observem que, se k = 1, os valores de D² aumentam muito quando variamos os valores de a,b e c; e que aumentam vertiginosamente quando k = 2.

Equação de Sebá Estendida

A equação A₁ⁿ + A₂ⁿ + A₃ⁿ + A_kⁿ + = B^m admite soluções naturais para m e n primos entre si.

Demonstração:

Seja a equação:

sendo A, B, k, m e n inteiros positivos. Multiplicamos ambos membros da equação (6) por:

Obtém-se:

Substituindo o valor de B^m da equação (6) em (7), obtém-se:

ou

Exemplo 2: Seja encontrar a solução para A₁³ + A₂³ + A₃³ = B⁴_.

Seja a equação:

Vamos considerar a equação:

Multiplicando ambos os membros da equação acima por:

Obtemos:

Comparando a equação (9) com a equação (8), devemos decompor m em potências de 3 e m + 1 em potências de 4. Isso só será possível se m e m + 1 forem, respectivamente, múltiplos de 3 e 4. Logo:

Assim, a equação (9) fica:

Logo, as soluções da equação dada são obtidas fazendo:

Por exemplo, se x = y = z = 1, temos que:

Substituindo na equação original:

Quando k = 2, recai ao primeiro teorema; para k = 3, caímos no teorema 2. A resolução acima vale para generalizarmos para k > 3, seguindo o mesmo raciocínio.

Na terceira parte desta série, veremos aplicações dos Teoremas de Sebá no mercado financeiro

Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB, além de colaborador deste blog. Foram feitas algumas alterações do manuscrito original para melhor exposição.

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Veja mais:

Método de Resolução das Equações de Sebá (Parte 1 de 3)
Método de Resolução das Equações de Sebá (Parte 3 de 3) Aplicação no Mercado Financeiro
Método de Sebá para Resolução de Alguns Casos Particulares de Equações Diofantinas Lineares

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