Número de Divisores Positivos de um Número Natural
Matemática

Número de Divisores Positivos de um Número Natural


 Por Profº Paulo Marques

       Os divisorespositivos de um número natural n são todos os números naturais p > 0 tais que n dividido por p resulta num outro número natural m. Diz-se então que p divide n e indica-se p | n . É claro que n = p.m  
 
Exemplos: 
os divisores positivos de 2 são 1 e 2.; 
os divisores positivos de 3 são 1 e 3; 
os divisores positivos de 4 são 1, 2 e 4; 
os divisores positivos de 5 são 1 e 5; 
os divisores positivos de 6 são 1, 2, 3 e 6; 
os divisores positivos de 7 são 1 e 7; 
os divisores positivos de 8 são 1,2.4 e 8; 
os divisores positivos de 9 são 1,3 e 9; 
os divisores positivos de 10 são 1, 2, 5 e 10; 
os divisores positivos de 11 são 1 e 11; 
os divisores positivos de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12, 
e assim sucessivamente.

Notas:Quando um número natural só possui como divisores, ele próprio e a unidade (1), ele é dito um número primo. Assim, são números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ... Existem infinitos números primos e isto pode ser demonstrado. A primeira demonstração deste fato singular deve-se a Euclides (matemático grego que viveu no ano 300 DC).
 
Exemplo: 
Quantos são os divisores positivos de 120?
 
Os divisores positivos de 120 serão: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 e 120, num total de 16 divisores.
 
Vamos mostrar uma forma de encontrar o número de divisores positivos de 120, utilizando um raciocínio conhecido com Princípio Fundamental da Contagem:

Fatorando o número 120, teremos: 120 = 8 . 3 . 5 = 2 3 . 3 . 5 = 2 3. 3 1 . 5 1

Observe que sendo120 = 2 3 . 3 1 . 5 1 , é claro que os divisores de 120 terão que necessariamente serem números da forma 2 x . 3 y . 5 z onde x = 0, 1, 2 ou 3; y = 0 ou 1 ; z = 0 ou 1.

Portanto, existem 4 valores possíveis para x, 2 valores possíveis para y e 2 valores possíveis para z. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número total de possibilidades será então dada pelo produto
4.2.2 = 16. Resposta: 120 possui 16 divisores positivos.

Exemplo:
Determine o número de divisores positivos de 1800.

Inicialmente devemos fatoraro número 1800.

1800 = 2 3 . 3 2 . 5 2

Os divisores de 1800 serão então da forma 2 x. 3 y . 5 z , onde x = 0, 1, 2 ou 3;  y = 0, 1 ou 2;                   z = 0, 1 ou 2. Existem então 4 valores possíveis para x, 3 valores possíveis para y e 3 valores possíveis para z . Pelo Princípio Fundamental da Contagem , o número total de possibilidades será então igual a 4.3.3 = 36. Portanto, o número 1800 possui 36 divisores positivos.

O uso do raciocínio acima, nos permite enunciar a seguinte regra prática:

Dado um número natural n cuja forma fatorada é n = 2 x . 3 y . 5 z. ... ,
o número de divisores positivos de n será igual ao produto 
 (x + 1).(y + 1) . (z + 1) . ...

Exemplos:
a) 12 = 2 2. 3 1 \ número de divisores positivos de 12 = (2+1).(1+1) = 6
b) 150 = 2 1. 3 1 . 5 2 \ número de divisores positivos de 150 = (1+1).(1+1).(2+1) = 12

1 ? Qual o número de divisores positivos de 1.000.000 ?

1.000.000 = 10 6 = (2 . 5) 6 = 2 6 . 5 6 
 
Logo, teremos: Número de divisores positivos de 1000000 = (6+1).(6+1) = 49
Portanto, 1.000.000 possui 49 divisores positivos.

2 ? Qual o número de divisores de 5.000.000 ?

5.000.000 = 5 . 10 6 = 5 . (2 . 5) 6= 5 . 2 6 . 5 6 = 2 6 . 5 7
 
Portanto, o número de divisores positivos de 5.000.000 será igual a:
n = (6+1) . (7+1) = 7 . 8 = 56
Portanto, 5.000.000 possui 56 divisores positivos.

3 - Qual o número de divisores positivos de 100.000.000 ?

100.000.000 = 10 8 = (2 . 5) 8 = 2 8. 5 8

Portanto, o número de divisores positivos de 100.000.000 será igual a:
n = (8+1) . (8+1) = 9.9 = 81
Portanto, 100.000.000 possui 81 divisores positivos.





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