Matemática

Números Racionais: Dízimas Periódicas e Série Geométrica

Autor: Profº Americo Tavares - Site Teoremas e Problemas (Grifo Meu)

Exemplo: Prove que qualquer número representado por uma dízima periódica é racional.

Se considerar, como exemplo, o número $0,\overline{150}$ , em que a barra, nesta notação, significa que o grupo de $3$ dígitos $150$ se repete indefinidamente:

$0,\overline{150}=0,150\,150\,150\,\ldots$

posso escrevê-lo na forma:

$0,\overline{150}=\dfrac{150}{10^{3}}+\dfrac{150}{10^{6}}+\dfrac{150}{10^{9}}+\cdots$

e calcular agora a soma da progessão geométrica de razão $10^{-3}$ e primeiro termo 0,150

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{150}{10^{3n}}=\dfrac{0,150}{1-10^{-3}}=\dfrac{150}{10^{3}-1}=\dfrac{50}{333}$ .

No segundo exemplo tomo o número $0,3\overline{150}$ como ilustrativo do caso em que a dízima não começa imediatamente a seguir à vírgula. Assim, usando o resultado anterior:

$0,3\overline{150}=0,3+0,1\times 0,\overline{150}=0,3+0,1\times \dfrac{50}{333}=\dfrac{1049}{3330}$ .

No último exemplo, considero $-2,3\overline{150}$ . Será:

$-2,3\overline{150}=-\left( 2,3\overline{150}\right)=-\left( 2+0,3\overline{150}\right)=-\left( 2+\dfrac{1049}{3330}\right)=-\dfrac{7709}{3330}.$

O caso geral é simplesmente o de uma dízima periódica com $p$ dígitos, bastando, como se viu, mostrar a propriedade para os números do tipo $0,\overline{a_{p-1}a_{p-2}\ldots a_{1}a_{0}}$ , porque os outros são uma consequência imediata.

O número cujos dígitos são os que estão sob a barra tem o valor inteiro

$N=10^{0}a_{0}+10^{1}a_{1}+\cdots +10^{p-1}a_{p-1}$

Sendo assim, usando o mesmo raciocínio do primeiro exemplo, tem-se:

$0,\overline{a_{p-1}a_{p-2}\ldots a_{1}a_{0}}=\dfrac{N}{10^{p}}+\dfrac{N}{10^{2p}}+\cdots =\dfrac{N/10^{p}}{1-10^{-p}}=\dfrac{N}{10^{p}-1}.$

Exemplo de aplicação: $x=0,151515\ldots \;\;y=1,2151515\ldots$

Para $x=0,\overline{15}$ , $N=10^{0}\times 5+10^{1}\times 1=15,x=\dfrac{15}{10^{2}-1}=\dfrac{15}{99}.$ De $x$ deduz-se $y$

$y=1,2\overline{15}=1+0,2+0,1x=\dfrac{12}{10}+\dfrac{1}{10}\dfrac{15}{99}=\dfrac{401}{330}$ .

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