Matemática
Nesta série de postagens estamos demonstrando o algoritmo da divisão:
- Questão 9 ? Professor De Matemática ? Seap ? Paraná ? 2.013
Considere a seqüência an = logb1 ?5 + logb2 ?5 + ... + logbn ?5 onde b1 = a (a > 1) e bk+1 = ( bk )2 , k = 1 , ... , n ? 1. Determine o valor de a para o qual a10 =...
- ...::definição De Função Do 1º Grau E Zero De Uma Função Do 1º Grau::...
FUNÇÃO DO 1º GRAU Prof. Esp. Deivison da Silva e Silvae-mail:[email protected]...
- O Algoritmo Da Divisão Parte Ii
Nesta série de postagens estamos nos dedicando a demonstrar o algoritmo da divisão: Se a é um número inteiro qualquer e b é um número inteiro maior do que zero, então existem dois números inteiros q e r tais...
- Post De Número 260
É com muita felicidade, que nós do Clave de Pi chgamos a marca de nosso post de numero 260. Agradecemos a todos que acessam nosso blog, pois sem vocês nada existiria. Também agradecemos a todos que comentam em nosso blog, aos nossos parceiros e todos...
- Fatoração
Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah GonçalvesE Biologia na rede privada de Salvador-BahiaProfessor Antonio Carlos carneiro Barrosoemail [email protected] HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com eHTTP://accbarroso60.wordpress.com...
Matemática
O Algoritmo da Divisão Parte III
Nesta série de postagens estamos demonstrando o algoritmo da divisão:
Se aé um número inteiro qualquer e bé um número inteiro maior do que zero, então existem dois números inteiros qe rtais que a= bq+ r, onde 0 ? r < b. Além disso, qe rsão únicos.
Na primeira postagem demonstramos a existência de q e r, na segunda demonstramos a dupla desigualdade 0 ? r < b e nesta, que é a terceira, vamos mostrar que q e r, satisfazendo as condições do enunciado acima, são únicos (em outros termos: vamos demonstrar a unicidade deq e r).
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Para cumprir nosso propósito vamos precisar de um "resultado preliminar" que enunciamos abaixo, mas antes lembremos que dizer que "o inteiro d é divisível pelo inteiro c" significa que "existe um inteiro t tal que d = ct" (isto entre aspas é uma definição. Exemplo: o número 20 é divisível por 5, pois existe um inteiro t tal que 20 = 5t. Neste caso temos t = 4).
Resultado preliminar:Se dé um inteiro diferente de zero divisível por c, então a diferença |d| ? |c| nunca é negativa (note que isto equivale a dizer que todo inteiro não nulo é "maior do que" ou "igual a" seu divisor; em símbolos |d| ? |c|) Exemplos: ?20é um número inteiro diferente de zero divisível por 10. É fácil ver que a diferença |?20| ? |10| é positiva (e, portanto, não negativa); 8 é divisível por 8 e também é óbvio que |8| ? |8| não é negativa (pois é nula).
Observação: apesar de ser, em certo sentido, intuitivo, o "resultado preliminar" é uma proposição demonstrável: se d é divisível por c, então (por definição) existe um inteiro t tal que d = ct. Segue desta última igualdade que |d| = |ct| = |c|?|t| = |c|?|t| + 0 = |c|?|t| + |c| ? |c| = |c| + |c|?(|t| ? 1). Assim concluímos que |d| = |c| + |c|?(|t| ? 1) e, por conseguinte, |d| ? |c| = |c|?(|t| ? 1). Agora nosso trabalho se reduz em mostrar que o número |c|?(|t| ? 1) nunca é negativo. Ora, para ser negativo deveríamos ter (|t| ? 1) < 0 (pois |c| é positivo e para um produto ser negativo um, e apenas um, de seus fatores tem que ser negativo). Mas se (|t| ? 1) < 0 então tem que valer |t| < 1. Observe que |t| não pode ser negativo (pela própria definição de valor absoluto) e ao mesmo tempo é um inteiro menor do que um. O único inteiro menor do que 1 que existe é o zero, assim tem que ser |t| = 0, por isso, t = 0, donde segue que d = 0 (pois, d = ct). Mas isto é um absurdo, pois d foi suposto diferente de zero. Resumindo: se a diferença |d| ? |c| é negativa, então d = 0 o que não pode ocorrer, logo a diferença não é negativa e o resultado está demonstrado.
Observação: apesar de ser, em certo sentido, intuitivo, o "resultado preliminar" é uma proposição demonstrável: se d é divisível por c, então (por definição) existe um inteiro t tal que d = ct. Segue desta última igualdade que |d| = |ct| = |c|?|t| = |c|?|t| + 0 = |c|?|t| + |c| ? |c| = |c| + |c|?(|t| ? 1). Assim concluímos que |d| = |c| + |c|?(|t| ? 1) e, por conseguinte, |d| ? |c| = |c|?(|t| ? 1). Agora nosso trabalho se reduz em mostrar que o número |c|?(|t| ? 1) nunca é negativo. Ora, para ser negativo deveríamos ter (|t| ? 1) < 0 (pois |c| é positivo e para um produto ser negativo um, e apenas um, de seus fatores tem que ser negativo). Mas se (|t| ? 1) < 0 então tem que valer |t| < 1. Observe que |t| não pode ser negativo (pela própria definição de valor absoluto) e ao mesmo tempo é um inteiro menor do que um. O único inteiro menor do que 1 que existe é o zero, assim tem que ser |t| = 0, por isso, t = 0, donde segue que d = 0 (pois, d = ct). Mas isto é um absurdo, pois d foi suposto diferente de zero. Resumindo: se a diferença |d| ? |c| é negativa, então d = 0 o que não pode ocorrer, logo a diferença não é negativa e o resultado está demonstrado.
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Dito isto, vamos para a prova da unicidade. Começamos supondo que existam r'e q'tais que a= bq' + r' com0 ? r'< b. Vamos concluir, a partir desta suposição, que r' = r e q' = q.
Como 0 ? r < b, obtém-se (multiplicando tudo por ?1) ?b < ?r ? 0. Temos, então, quatro desigualdades:
0 ? r' r' < b
?b < ?r ?r ? 0
Somando os termos das desigualdades obtemos:
0 ? b < r'? r r'? r < b + 0
Da primeira e da segunda desigualdade tiramos, respectivamente, ?(r' ? r) < b e r' ? r< b , o que pode ser escrito como |r' ? r| < b. Note que como |r' ? r| é positivo (pois está em módulo), qualquer número maior do que ele também será positivo. Concluímos assim que b é positivo e, portanto (em virtude da definição de valor absoluto), que |b| = b. Sendo assim nossa conclusão é que |r' ? r| < |b|.Agora, como a= bq+ r e a = bq' + r' concluímos que bq' + r' = bq+ r. Manipulando algebricamente esta última igualdade, podemos chegar ao ponto de escrevê-la do seguinte modo:
r'? r = b(q ? q')
Da igualdade acima concluímos que a diferença r' ? r é divisível por b (pois existe um inteiro t tal que multiplicado por b resulta emr' ? r. Neste caso t = q ? q'). Deste modo (em virtude do que nos diz o "resultado preliminar") se r' ? r for diferente de zero, então a diferença |r' ? r|? |b| será não negativa, ou seja, teremos |r' ? r| ? |b| ? 0, donde segue que |r' ? r| ? |b|. Mas esta última desigualdade é um absurdo (pois já vimos que |r' ? r| < |b|). Como o absurdo decorre da hipótese de r' ? r ser diferente de zero concluímos que ela deve ser falsa, isto é, tem que ser r' ? r = 0. Segue-se disto duas coisas: em primeiro lugar r' = r e, em segundo lugar, q' = q (a primeira consequência é evidente, a segunda decorre do fato de ser r' ? r = b(q ? q'); com efeito, colocandor' ? r = 0 nesta última igualdade vem b(q ? q')= 0. Uma vez que se um produto é nulo um de seus fatores é, necessariamente, nulo e levando em conta que b não pode ser nulo (pois, por hipótese, é positivo) segue-se q ? q'= 0 e, por conseguinte, q' = q).
Observação: as demonstrações acima fazem uso de diversas propriedades dos conceitos de valor absoluto (ou módulo) e da relação de ordem <. Nesta exposição, supomos tudo isso conhecido, mas esperamos ter oportunidade futura de tratar sobre isso, aqui no BLOG MANTHANO.
Note que o algoritmo do modo como foi enunciado supõe b > 0. Na próxima postagem da série ele será generalizado, mostrando-se que as mesmas conclusões valem nos casos em que b é negativo.
Referências: na última postagem da série.
Erros podem ser relatados aqui.
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Considere a seqüência an = logb1 ?5 + logb2 ?5 + ... + logbn ?5 onde b1 = a (a > 1) e bk+1 = ( bk )2 , k = 1 , ... , n ? 1. Determine o valor de a para o qual a10 =...
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