Matemática
Observamos ainda que para demonstrar a segunda desigualdade acima mencionada vamos utilizar a técnica de demonstração conhecida como "redução ao absurdo" que, grosso modo, consiste em (1) supor que a conclusão a que se quer chegar seja falsa, (2) deduzir, por meio de procedimentos matemáticos legítimos, uma contradição e (3) concluir que a suposição feita é verdadeira (ou seja, que a conclusão pretendida não é falsa, pois não pode haver contradições na matemática).
- ...::definição De Função Do 1º Grau E Zero De Uma Função Do 1º Grau::...
FUNÇÃO DO 1º GRAU Prof. Esp. Deivison da Silva e Silvae-mail:[email protected]...
- O Algoritmo Da Divisão Parte Iii
Nesta série de postagens estamos demonstrando o algoritmo da divisão: Se aé um número inteiro qualquer e bé um número inteiro maior do que zero, então existem dois números inteiros qe rtais que a= bq+ r, onde 0 ? r < b. Além disso, qe rsão...
- Uma Aplicação Do Princípio Da Boa Ordenação (ou "o Algoritmo Da Divisão Parte I")
Hoje dou início a uma série de postagens cujo objetivo é apresentar a demonstração do algoritmo da divisão, explicando-a em detalhes. A parte de hoje é particularmente interessante devido ao fato de fazer uso do "Princípio da Boa Ordenação"....
- Post De Número 260
É com muita felicidade, que nós do Clave de Pi chgamos a marca de nosso post de numero 260. Agradecemos a todos que acessam nosso blog, pois sem vocês nada existiria. Também agradecemos a todos que comentam em nosso blog, aos nossos parceiros e todos...
- Fatoração
Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah GonçalvesE Biologia na rede privada de Salvador-BahiaProfessor Antonio Carlos carneiro Barrosoemail [email protected] HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com eHTTP://accbarroso60.wordpress.com...
Matemática
O Algoritmo da Divisão Parte II
Nesta série de postagens estamos nos dedicando a demonstrar o algoritmo da divisão:
Se a é um número inteiro qualquer e b é um número inteiro maior do que zero, então existem dois números inteiros q e r tais que a = bq + r, onde 0 ? r < b. Além disso, q e r são únicos.
Na primeira postagem da série demonstramos a existência dos inteiros q e r tais que a = bq + r (utilizamos, para tanto, o princípio da boa ordenação - o que, evidentemente, justifica o nome alternativo daquela postagem).
Na postagem de hoje vamos mostrar que 0 ? r < b. Isto faremos em duas etapas: em primeiro lugar vamos mostrar que 0 ? r e, em segundo lugar, que r < b.
Na demonstração de ambas as desigualdades, ainda vamos utilizar o conjunto S = {y, tal que y = a ? bx, onde x ? ? e y ? 0} definido na primeira parte da demonstração. Além disso, continuaremos a chamar o menor elemento deste conjunto de r e continuaremos a escrever r = a ? bq (isto significa que a argumentação seguinte é uma continuação da argumentação lá apresentada - por isso recomendamos o leitor ler aquela antes desta).
Observamos ainda que para demonstrar a segunda desigualdade acima mencionada vamos utilizar a técnica de demonstração conhecida como "redução ao absurdo" que, grosso modo, consiste em (1) supor que a conclusão a que se quer chegar seja falsa, (2) deduzir, por meio de procedimentos matemáticos legítimos, uma contradição e (3) concluir que a suposição feita é verdadeira (ou seja, que a conclusão pretendida não é falsa, pois não pode haver contradições na matemática).
Vamos, então, à demonstração:
Como r pertence a S, tem-se imediatamente r ? 0 ou, equivalentemente, 0 ? r (pois o conjunto S, em virtude de sua própria definição, só contém números positivos).
Agora, supõe por absurdo que seja r ? b.
Segue-se desta suposição que r ? b ? 0. Uma vez que r = a ? bq obtém-se r ? b = a ? bq ? b = a ? b(q + 1). Segue-se do que foi visto neste parágrafo que o número a ? b(q + 1) pertence a S (de fato: o número a ? b(q + 1) é positivo (pois é igual a r ? b que é positivo) e além disso "se encaixa" na definição de S - basta colocar (q + 1) = x).
Observe agora que r ? b é menor do que r. De fato, uma vez que b > 0 (em virtude do enunciado da proposição) obtém-se ?b < 0 (bastar somar ?b a ambos os lados da desigualdade) donde segue (desta vez somando r a ambos lados) que ?b + r < 0 + r ou, equivalentemente, que r ? b < r.
Mas se r ? b é menor do que r então S contém um elemento menor do que r (pois a ? b(q + 1) = r ? b) - o que é um absurdo, pois r é o menor elemento de S! Obtemos, assim, uma contradição que resulta da hipótese de ser r ? b, logo tem que ser r < b.
Resumindo: se r ? b, então S possui um elemento menor do que o seu menor elemento - o que não pode acontecer (pois é uma contradição). Como esta implicação é matematicamente válida (pois nenhuma regra foi violada), o elo fraco da argumentação deve ser a hipótese de que r ? b. Concluímos assim que não vale r ? b e que, portanto, r < b é, de fato, verdadeiro.
Ficou, assim, demonstrado que 0 ? r e que r < b ou, equivalentemente, que 0 ? r < b.
Na próxima postagem da série mostramos que q e r são únicos.
Referências: na última postagem da série.
Agora, supõe por absurdo que seja r ? b.
Segue-se desta suposição que r ? b ? 0. Uma vez que r = a ? bq obtém-se r ? b = a ? bq ? b = a ? b(q + 1). Segue-se do que foi visto neste parágrafo que o número a ? b(q + 1) pertence a S (de fato: o número a ? b(q + 1) é positivo (pois é igual a r ? b que é positivo) e além disso "se encaixa" na definição de S - basta colocar (q + 1) = x).
Observe agora que r ? b é menor do que r. De fato, uma vez que b > 0 (em virtude do enunciado da proposição) obtém-se ?b < 0 (bastar somar ?b a ambos os lados da desigualdade) donde segue (desta vez somando r a ambos lados) que ?b + r < 0 + r ou, equivalentemente, que r ? b < r.
Mas se r ? b é menor do que r então S contém um elemento menor do que r (pois a ? b(q + 1) = r ? b) - o que é um absurdo, pois r é o menor elemento de S! Obtemos, assim, uma contradição que resulta da hipótese de ser r ? b, logo tem que ser r < b.
Resumindo: se r ? b, então S possui um elemento menor do que o seu menor elemento - o que não pode acontecer (pois é uma contradição). Como esta implicação é matematicamente válida (pois nenhuma regra foi violada), o elo fraco da argumentação deve ser a hipótese de que r ? b. Concluímos assim que não vale r ? b e que, portanto, r < b é, de fato, verdadeiro.
Ficou, assim, demonstrado que 0 ? r e que r < b ou, equivalentemente, que 0 ? r < b.
Na próxima postagem da série mostramos que q e r são únicos.
Observação_____________________________________________________
>>>Dados quaisquer dois números b e r só existem três possibilidades, as quais que se excluem mutuamente (o que significa que apenas uma delas ocorre): (i) b = r, (ii) b < r e (iii) r < b. Foi por isso que, na demonstração acima, quando afirmamos que por não valer nem i e nem ii (isto é, não valer r ? b) deveria valer iii. Esta propriedade é conhecida como tricotomia._______________________________________________________________
Referências: na última postagem da série.
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