O Ciclo Trigonométrico
Matemática

O Ciclo Trigonométrico


      

      A definição das funções trigonométricas pode ser generalizada para um ângulo \theta\, real qualquer através do ciclo trigonométrico. O ciclo trigonométrico é um círculo de raio unitário centrado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Como cada ponto (x,y)\, pertencente ao ciclo está a uma distância 1 da origem, o teorema de Pitágoras afirma que:




x^2 + y^2=1\quad (1)\,

      E, ainda, para cada ângulo \theta\, existe um único ponto P pertencente ao círculo tal que a segmento \overline{OP}\, faz um ângulo \theta\, com o eixo x.

Neste caso, o seno é defido como a projeção do segmento \overline{OP}\, sobre o eixo y. O co-seno é definido como a projeção do segmento \overline{OP}\, com o eixo x. Isto é:




\sin\theta=y\quad \cos\theta=x\quad (2)\,

As outras funções podem ser definidas conforme as relações a seguir:




\begin{array}{rclrcl} \tan \theta &=& \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\quad & \sec \theta &=& \frac{1}{\cos \theta}\\~\\ \csc\, \theta &=& \frac{1}{\sin \theta}\quad & \cot\, \theta &=& \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\end{array}

      Deve-se observar que esta definição, quando restrita aos ângulos agudos, concorda com a definição no triângulo retângulo.

 

Relação Fundamental

      Observa-se diretamente de (1) e (2) a relação fundamental entre o co-seno e o seno de um ângulo \theta\,:




\sin^2\theta+\cos^2\theta =1\,

 

Definições Geométricas

 


      Alternativamente, todas as funções trigonométricas podem ser definidas geometricamente conforme figura acima. Observe que o triângulo OAE é retângulo e o cateto AO é unitário e o cateto AE é oposto ao ângulo \theta\, e portanto, sendo OE a hipotenusa deste triângulo, temos:




\tan\theta=\frac{~~\overline{AE}~~}{\overline{AO}}=\overline{AE},\quad \sec\theta=\frac{~~\overline{OE}~~}{\overline{AO}}=\overline{OE}\,

      O triângulo AOF também é retângulo, sendo o cateto AO unitário, a hipotenusa OF e o ângulo AFO igual a \theta\,, portanto:

\cot\theta=\frac{~~\overline{AF}~~}{\overline{AO}}=\overline{AF},\quad \csc\theta=\frac{~~\overline{OF}~~}{\overline{AO}}=\overline{OF}\,


Fonte: Site Feferraz.Net e Site Sapo Saber













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