Matemática
Sabemos que existem apenas cinco poliedros platônicos. Podemos verificar que isso é verdade através do seguinte argumento:
Fonte: UFRGS - Universidade Federal do Rio Grande do Sul
- Questão 42 ? Processo De Promoção ? Qm ? Professor De Matemática ? See/sp ? 2.015
Carl B. Boyer destina um dos capítulos de seu livro História da Matemática ao desenvolvimento dessa área do conhecimento no período correspondente à época de Aristóteles e de Platão. Nesse capítulo são apresentados os cinco sólidos platônicos...
- Poliedros
Afirmar que poliedro são sólidos formados por faces (partes limitadas de um plano), pode dar uma ideia do que eles sejam, mas não serve absolutamente como definição; aliás, uma das grandes dificuldades para o desenvolvimento desse tema, bem como...
- Poliedros
Poliedros são sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais formadas por três elementos básicos: faces, arestas e vértices. Os Poliedros podem ser convexos e não convexos. Ao estudarmos os poliedros convexos verificamos uma importante relação...
- Relação De Euler
A relação criada pelo matemático suíço Leonhard Euler possui extrema importância na determinação do número de arestas, vértices e faces de qualquer poliedro convexo e alguns não convexos. Essa relação permite que os cálculos sejam realizados...
- Os Sólidos De Platão
Os sólidos de Platão também são denominados de poliedros, pois são formados por faces, arestas e vértices. As faces são constituídas por seções de planos, considerando que entre duas faces temos as arestas, as quais possuem em suas extremidades...
Matemática
Os Poliedros de Platão
O que é um poliedro?
Trata-se de um objeto com muitas faces.
Um poliedro tem “bicosâ€, que são os ângulos poliédricos, e faces planas, que são os polÃgonos.
Um poliedro tem “bicosâ€, que são os ângulos poliédricos, e faces planas, que são os polÃgonos.
Um poliedro que tenha com faces apenas polÃgonos regulares, todos idênticos, e que também apresente todos os bicos (ângulos poliédricos) idênticos entre si é um poliedro regular.
Platão, por volta do século VI antes de Cristo, estudou certa classe de poliedros; que vieram posteriormente, ser conhecidos como os poliedros de Platão, entre os quais se incluem os poliedros regulares.
De um poliedro de Platão, exige-se que:
* Todas as faces sejam polÃgonos, regulares ou não, mas com o mesmos número de lados;
* Todos os bicos sejam formados com o mesmo número de arestas.
* Todas as faces sejam polÃgonos, regulares ou não, mas com o mesmos número de lados;
* Todos os bicos sejam formados com o mesmo número de arestas.
Por que só existem cinco Poliedros Platônicos?
A "Teoria" de Platão
Sabemos que no espaço existem apenas cinco poliedros regulares, que são denominados Poliedros Platônicos ou Poliedros de Platão.
Os poliedros regulares são conhecidos assim porque no "Timeu" Platão faz uma associação dos cinco poliedros regulares com os cinco elementos da natureza. Ele associa o Tetraedro como "elemento de origem do Fogo" , o Cubo à Terra, o Octaedro ao Ar, o Icosaedro à Ãgua e o Dodecaedro representaria a imagem do Universo no seu todo.
Verificando que só existem cinco Poliedros Platônicos
Um poliedro diz-se regular se é convexo, isto é, os ângulos de dois lados formados por duas faces consecutivas é menor que 180°, se todas as suas faces são formadas por polÃgonos regulares. Os poliedros que tem essas caracterÃsticas são denominados Poliedros Platônicos, que são os seguintes sólidos:
Sabemos que existem apenas cinco poliedros platônicos. Podemos verificar que isso é verdade através do seguinte argumento:
Em cada vértice de um poliedro teremos o encontro de pelo menos três de suas faces. O ângulo formado por essas faces deverá ser menor que 360° para que esse poliedro seja regular.
Analisando cada caso observamos que:
Para o caso de 3 faces ligadas a um vérice:
- Quando as faces do poliedro forem triângulos (ângulo interno 60°), teremos 3 * 60° = 180°.
-Quando as faces do poliedro forem quadrados (ângulo interno 90°), teremos 3 * 90° = 270°.
-Quando as faces do poliedro forem pentágonos (ângulo interno 108°), teremos 3 * 108° = 324°.
-Quando as faces do poliedro forem hexágonos (ângulo interno 120°), teremos 3 * 120° = 360°, o que contradiz a nossa hipótese.
Logo, verificamos para esse caso que as faces dos poliedros regulares não podem ser formadas por polÃgono regulares com mais de cinco lados.
Para o caso de 4 faces ligadas a um vértice: - Quando as faces do poliedro forem triângulos, teremos 4 * 60° = 240°. -Quando as faces do poliedro forem quadrados, termos 4 * 90° = 360°, o que contradiz a nossa hipótese. Logo, verificamos para esse caso que um poliedro regular construÃdo com 4 faces a partir de um vértice, poderá ter apenas faces triângulares.
Para o caso de 5 faces ligadas ao mesmo vértice: - Quando as faces do poliedro forem triângulos, teremos 5 * 360° = 300°. Do mesmo modo que foi verificado no caso anterior, concluimos que não poderemos ter polÃgonos com mais de 3 lados, com cinco faces ligadas ao mesmo vértice.
Fonte: UFRGS - Universidade Federal do Rio Grande do Sul
- Questão 42 ? Processo De Promoção ? Qm ? Professor De Matemática ? See/sp ? 2.015
Carl B. Boyer destina um dos capítulos de seu livro História da Matemática ao desenvolvimento dessa área do conhecimento no período correspondente à época de Aristóteles e de Platão. Nesse capítulo são apresentados os cinco sólidos platônicos...
- Poliedros
Afirmar que poliedro são sólidos formados por faces (partes limitadas de um plano), pode dar uma ideia do que eles sejam, mas não serve absolutamente como definição; aliás, uma das grandes dificuldades para o desenvolvimento desse tema, bem como...
- Poliedros
Poliedros são sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais formadas por três elementos básicos: faces, arestas e vértices. Os Poliedros podem ser convexos e não convexos. Ao estudarmos os poliedros convexos verificamos uma importante relação...
- Relação De Euler
A relação criada pelo matemático suíço Leonhard Euler possui extrema importância na determinação do número de arestas, vértices e faces de qualquer poliedro convexo e alguns não convexos. Essa relação permite que os cálculos sejam realizados...
- Os Sólidos De Platão
Os sólidos de Platão também são denominados de poliedros, pois são formados por faces, arestas e vértices. As faces são constituídas por seções de planos, considerando que entre duas faces temos as arestas, as quais possuem em suas extremidades...